ريا صيات التعليم الثانوي نظام ا قررات م صار العلوم الطبيعية الطبعة التجريبية ه م

Transcript

1 ريا صيات التعليم الثانوي نظام ا قررات م صار العلوم الطبيعية الطبعة التجريبية ه م قررت وزارة التربية والتعليم بالمملكة العربية ال صعودية تدري س هذا الكتاب وطبع على نفقتها يوز ان ا وال يبا

2 riginal Title: Precalculus 011 & Algebra 010 B: John A. Carter, Ph. D Prof. Gilbert J. Cuevas Roger Da, Ph. D Carol E. Mallo, Ph. D Luajean Bran Berchie Hollida, Ed. D Prof. Viken Hovsepian Ruth M.Case CNSULTANTS Mathematical Content Prof. Viken Hovsepian Grant A. Fraser, Ph.D Arthur K. Waman, Ph.D Gifted and talented Shelbi K. Cole رياضيات التعليم الثانوي- نظام المقرات - مسار العلوم الطبيعية اأعد الن صخة العربية: صركة العبيكان لالأبحا والتطوير التحرير والمراجعة والمواءمة التعريب والتحرير اللغوي Mathematical Fluenc Robert M. Capraro Reading and Writing Releah Cossett Lent Lnn T. Havens Graphing Calculator Ruth M. Case Jerr J. Cummins Test Preperation Christopher F. Black Science/Phsics Jane Bra Nelson Jim Nelson English Edition Copright 010 the McGraw Hill Companies Inc All rights reserved Arabic Edition is published b beikan under agreement with The McGraw Hill Companies Inc 008 رق ا تاالمة تهكنت ز ة م ا ة اتس إة ملج تاالمة تام ب ة مته اة تامل لن اي سجثهلر ملج يس إة م جمل ه ال ثق ل ه سه بلكالاة تك س تر ت تا جل تج نق ث تج يس تج ت ساة س تض تجإلنت تكا ج ن ة تج م لن ة بهل ث ذا تاج س بلان سخ ث إ ب تج تاج ست تج تاجخز ن من تانليس تكذن ا ا ن ته سج جل

3

4

5 م ملاة تا ل س لا من تاه تا تا رت س ة تهج سل س ة تاج م ا الا ث س تإج سل م سج لا ا ل من تا ال لا تاجم ه ة مهل ج ا نه ة ر ا تاجا ر تاهتس يا سلا ا تاجملم م م ت تا لة ل ة مجا لل مل من منا ته جهل تا ا ر مة لا تا م ن تاتس ا ن بجنه ة تاه ترا تالتس ة ا ل بلج ه ة ا ر ل ث ق تاجنه ة تاتسلم ة إلن ج زترة تاج ب ة تاجم ن ا تاهنل تا رت س ة ث مق مجمل منل تا ل س لا ب ض ت من تاه ر ة تهبج ت ة سم ل اير قلض بهخ جلا تاجم ا تااي تا س ل بم تكا م سلف تج تنم ث تا ل تاهجق مة تم تاج تاجتس تات مل انل س ث ج تث ر ثة تاهلاة بلج سلا جنل ل بلجنمل تا ج ز جه تاالا قل ا م همل جالا مممل من يل مل م ق من ر للا تجنتساة مجن اة إهل إ تا ج ا ج تن ممهة ث م تا ل س لا م همل جهث ث هل لج تاج تب تا ف ب ن م ج تا ل س لا ب ن تاه ت تاهتس يا تا ل ة متس ة ج تبة ب س رة تاه ج ا س ت ن تكب تز ا ر تاهجم ث اه لا تاجم تاجم ته جهل بلاهملرتا تا ل س ة تاج مه ا تب تاه ج تا ل س تم من إي مج لمي من ب نمل مملرتا تاج ت س تا ل س مملرتا تا س تا ل س مملرتا جه تال لنلا ن همل ل تام تاجا مملرتا ل ا س ته جهل بجنا ا تا تج س ر تاهتس يا تك سج ت ت ل تاهخج اة ث إ ا ة تاجا ث تاهتس يا تا ل س ة تا ل ة ر مل ته جهل بج تاجقن ة ث تاه ت تا ل س ة تاهخج اة ته جهل بج تج سلا مجن اة ث ق تااي بهل جنل س م تاا ا تاا ا ة ب نم ا هم ث س ف تات ة تا ج تاها رة تاهنل ثلكن تاهتلل تاملاه ة ث ت تاجا رتا اه تإلة مته اة مج لم ة من تاه تا تاجم ه ة تاهجن اة تاج تا تاا ا تاا ا ة ب ن تااي بلهك سلثة تكا تال مت لا تاه ت تاجم ه ة تاج ث ا الا ث سة تاجقن لا تا ثة تاج ت س تاهلن ا تاههلر سة مهل إ ا ر ث اه ة تاجم تاجم تم مجا لل م ل ت جهلمم ا ذ تجن انلجم تااي هجازت نل تا ج تكذ نق ن ن ثل ة مجمة تجإث تاهلاة ام م هم تاج ث ا ت

6 المتجهات التهي ة للف صل الخام س مقدمة في المتجهات المتجهات في الم صتوى االإحداثي ال صرب الداخلي اختبار منت صف الف صل المتجهات في الف صاء الثالثي االأبعاد ال صرب الداخلي وال صرب االتجاهي للمتجهات في الف صاء 1 دليل الدرا صة والمراجعة اختبار الف صل االإحداثيات القطبية واالأعداد المركبة التهي ة للف صل ال صاد س 5-1 االإحداثيات القطبية 5 - ال صورة القطبية وال صورة الديكارتية للمعادالت 1 - االأعداد المركبة ونظرية ديموافر 70 دليل الدرا صة والمراجعة اختبار الف صل

7 االحتمال واالإح صاء التهي ة للف صل ال صابع 87 الدرا صات التجريبية والم صحية وبالمالحظة 88-1 معمل الحا صبة البيانية: تقويم البيانات المن صورة 9 تو صع -1 التحليل االإح صائي 9 - االحتمال الم صرو 99 - اختبار منت صف الف صل االحتمال والتوزيعات االحتمالية 10 - التوزيع الطبيعي معمل الجبر: القانون التجريبي والم ينات 115 تو صع -5 التوزيعات ات الحدين 11 - دليل الدرا صة والمراجعة اختبار الف صل النهايات واال صتقاق التهي ة للف صل الثامن 19-1 تقدير النهايات بياني ا 10 - ح صاب النهايات جبري ا 19 ا صتك صا - معمل الحا صبة البيانية: ميل المنحنى 19 - المما س وال صرعة المتجهة 150 اختبار منت صف الف صل الم صتقات الم صاحة تح المنحنى والتكامل 15 - النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل 17 دليل الدرا صة والمراجعة اختبار الف صل ال صي والرموز

8 المتجهات Vectors ار ست ت سجمهلل ر سل تاهث ثلا ا تاهث تج ج تامه لا ا تاهجتملا تجمث مل ث تهجن هة تهكر تف ة تاثنل ة تاثيف ة ت جهبملا جت م سق مجت ا مجت ت تجإج مجتم ل بل سجمهلل مجتم تا ر ة جت تا س تا ت تازت ة ب ن مجتم ن ث تهجن هة تهكر تف ة تاثنل ة تاثيف ة ت جهبملا جت تا س ته تل اهجتم ن ث تاا سلض تج سجمه تا س تاق ل س تاثيف هك تلا رت مج تز لا تا سا ريا صة: سجمه تاهجتملا انه جة تاجغ تا ث تا لة ث ه ن مثي ت سجمهلامل اج م س ة س اة ت تل ر إة رم رمل ها تكذت رإ س تكا تهجمل ب س اة رم m/s تا م ب س اة 0 م مق تر ل بزت ة 0m/s تهجثق قراءة صابقة: ت تج انل ن تا ر س تاها اتا تهج سل س ة ث ت تاا س ت سجمه مل ا جنل بهل تاا س ت ث جم ه س ف 8 الف صل 1 تاهجتملا

9 التهي ة للف صل 1 ت صخي س اال صتعداد: نل ب ين ا جلجإ من تاهجا للا تا سلبقة 1 تج ان تج س ة ته جللر تا س ته أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط اآلتية ثم أوجد إحداثيي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. (-5, ), (-5, 8) ) (1, ), (-, ) ) 1 (-, -1), (-, -8) ) (, -9), (-, -7) ) أوجد قيمة في كل مما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر. 9 9 ) ) ) 8 ) بالون: أ طلق بالون يحتوي على هواء ساخن في الفضاء. إذا كان البالون مربوطا ا بحبلين مشدودين يمسك بكل منهما شخص يقف على سطح األرض والمسافة بين الشخصين 5 ft بحيث كان قياس الزاوية بين كل من الحبلين واألرض 0 فأوجد طول كل من الحبلين إلى أقرب جزء من عشرة. أوجد جميع الحلول الممكنة لكل مثلث مما يأتي إن أمكن وإذا لم يوجد ح ل فاكتب اليوجد ح ل مقر با ا أطوال األضالع إلى أقرب عدد صحيح وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. مراجعة المفردات قانون الم صافة في الم صتوى االإحداثي (Distance Formula in the Coordinate Plane) تاه سلثة ب ن تانقاج ن ) A( 1, 1 ), B(, AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) الن صبة المثلثية ratio) (trigonometric ن سلة قلرن ب ن ا س م ن ث تاهث تاقل تازت ة الدوال المثلثية للزوايا (trigonometric functions of angels) اج ن θ زت ة م س مة ث تا س تاق ل س ق تانقاة ( )P, ا س تنجمل مل بل سجمهلل ن ة ث ثل ر س ه ن تك تلا r )تاه سلثة من تانقاة P تكا نقاة تهج س ( بل سجمهلل تا س غة ن r = ÇÇÇÇ + تا تل تاهث ث ة تا ست ا زت ة θ مم ثة sin θ = r cos θ = r tan θ =, 0 csc θ = r, 0 sec θ = r, 0 cot θ =, 0 P(, ) r إهل لج قانون جيوب التمام Cosines) (Law of تكذت إلنت تج سي ABC تاج تج تاملa, b, c قلب تاز ت ل ذتا تاق ل سلا A, B, C ا تاج ثلكن تامي لا ته ة ن ة س a = b + c - bc cos A b = a + c - ac cos B c = a + b - ab cos C θ a = 10, b = 7, A = 18 a = 15, b = 1, A = 17 a = 0, b = 19, A = 91 ) 9 ) 1 0 ) 1 1 ) 1 B c a A b C تج س ة م ة تك سلث ة ا تاه الف صل 1 تاجم ة ا ا س 9

10 في المتجهات مقدمة Introduction to Vectors تعتمد المحاولة الناجحة لتسجيل هدف في كرة القدم على عدة عوامل منها سرعة الكرة بعد ضربها واتجاه حركتها. ويمكنك وصف كل من هذين العاملين باستعمال كمية واحدة ت سمى متجها ا. المتجهات يمكن وصف الكثير من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة بقيمة عددية واحدة وعندئذ ت سمى كمية قياسية )عددية( ويدل هذا العدد على مقدار الكمية أو قياسها. أما الكمية المتجهة فهي كمية لها مقدار واتجاه فمثلا سرعة الكرة المتجهة نحو المرمى جنوبا ا تمثل كل من: مقدار سرعة الكرة واتجاه حركتها ولذلك فهي كمية متجهة. 1 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي:. 15 mi / h يسير قارب بسرعة )a بما أن لهذه الكمية قيمة هي 15 mi / h وليس لها اتجاه لذا فإن هذه السرعة كمية قياسية. b( يسير شخص على قدميه بسرعة 75 m / min باتجاه الغرب. بما أن لسرعة الشخص قيمة هي 75 m/min واتجاها ا للغرب لذا فهي كمية متجهة.. 0 km قطعت سيارة مسافة قدرها c( بما أن لهذه الكمية قيمة هي 0 km وليس لها اتجاه لذا فإن هذه المسافة كمية قياسية. حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: 1A( تسير سيارة بسرعة 0 mi / h وبزاوية 15 باتجاه شرق الجنوب mi / h هبوط مظلي رأسي ا إلى األسفل بسرعة 1B( ار ست ت سجمهلل ر سل تاهث ثلا ث ر تاهث تج تامه لا ا تاهجتملا بل سجمهلل مق ل س تا س تجمث مل ن س ل تجر تاهجت تكا م إلج تاهجملم ن تجر م سل ال ق ة ا تاهجتملا تا ه ة تاهجتمة vector quantit نقاة تال ت ة initial point نقاة تانمل ة terminal point تا س تاق ل س standard position ته تل direction تاا ل )تاهق تر( magnitude ته تل تا بم quadrant bearing ته تل تا ق ق true bearing تاهجتملا تاهج تز ة parallel vectors تاهجتملا تاهج لث ة equivalent vectors تاهجتملن تاهجملإ سلن opposite vectors تاه س ة resultant تاهث لا ة triangle method تهج سي مج تز لا ة parallelogram method تاهجت تا سا zero vector تاه إللا components تاه إللا تاهجملم ة rectangular components تحديد الكميات المتجهة. 0 N دفع طفل مزلجة بقوة مقدارها 1C( يمكن تمثيل المتجه هندسي ا بقطعة مستقيمة متجهة أو سهم يظهر كل من المقدار واالتجاه. ويمث ل الشكل المجاور القطعة المستقيمة المتجهة التي لها نقطة البداية A ونقطة النهاية B. ويرمز لهذا المتجه بالرمز AB ÆÆÆ أو a أو. a إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة األصل فإن المتجه يكون في الوضع القياسي. ويعب ر عن اتجاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع االتجاه األفقي )االتجاه الموجب للمحور (. فمثلا : اتجاه المتجه a هو 5. أما طول المتجه فيمث له طول القطعة المستقيمة في الشكل المجاور إذا كان مقياس الرسم هو 1 cm = 5 ft/s فإن طول المتجه a وي رمز له بالرمز a يساوي 5. أو. 1 ft/s A a A a 5 1 cm = 5 ft/sec B B 10 الف صل 1 تاهجتملا

11 W N 15 v φ S E ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضا ا باستعمال زاوية االتجاه الربعي φ وت قرأ فاي وهي قياس اتجاهي بين 0 و 90 شرق أو غرب الخط الرأسي )خط شمال جنوب(. فمثلا زاوية االتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 5 شرق الجنوب وت كتب. S 5 E كما يمكن استعمال زاوية االتجاه الحقيقي حيث ت قاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءا ا من الشمال. وي قاس االتجاه الحقيقي بثلثة أرقام فمثلا ي كتب االتجاه الذي يحد د زاوية قياسها 5 من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال االتجاه الحقيقي على الصورة 05. زاوية االتجا الحقيقي تكذت تج اا ل س زت ة بثيفة تجر ل ا م تج م إللا ت تل ة تك سلث ة ثلكنمل زت ة ت تل رق ق ثهثي زت ة ته تل تا ق ق ا هجت تاهتل ر ث تاتس v 15 تمثيل المتج هند صي ا N 0 استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: a a = 0 ft /s )a باتجاه 00. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 10 ft/s وارسم سهما ا طوله 10 0 أو cm بزاوية قياسها 0 من الشمال وباتجاه عقارب الساعة. W 1 cm = 10 ft/s E S v 10 v = 75 N )b بزاوية قياسها 10 مع االتجاه األفقي. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 5 N وارسم سهما ا طوله 5 75 أو cm في الوضع القياسي وبزاوية قياسها 10 مع االتجاه الموجب للمحور. 1 cm = 5 N W. S 0 W باتجاه z = 0 mi / h )c استعمل مقياس الرسم 1 in = 0 mi / h وارسم سهما ا طوله = 1.5 in 0 0 بزاوية قياسها 0 باتجاه غرب الجنوب. استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: z 1 in = 0 mi/h 0 N S E t = 0 ft/s )A باتجاه 05.. S 5 E باتجاه u = 15 mi/h )B m = 0 N )C بزاوية قياسها 80 مع االتجاه األفقي. الطول ه ن تجن هث ل تاهجت م سلثة تج س اة تج ة تكذت مث تاهجت ه هث ا ثلكن س اة تاه سلثة تاهقا اة a b عند إجرائك العمليات على المتجهات فإنك بحاجة إلى األنواع الشائعة اآلتية من المتجهات: c d المتجهات المتوازية لها االتجاه نفسه أو اتجاهان متعاكسان وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلا في الشكل المجاور. a ǁ b ǁ c ǁ e ǁ f e f المتجهات المتكافئة لها االتجاه نفسه والطول نفسه. ففي الشكل المجاور,a c لهما الطول واالتجاه نفسيهما فهما متكافئان ويعب ر عنه بالرموز:. a = c الحظ أن a b ألن b a d, a ألن لهما اتجاهين مختلفين. المتجهان المتعاكسان لهما الطول نفسه لكن اتجاهيهما متعاكسان. يكتب المتجه المعاكس للمتجه a على الصورة -a. ففي الشكل المجاور. e = -a الدر س مق مة ث تاهجتملا 11

12 عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها ا يسمى المحص لة. ويكون لمتجه المحص لة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين األصليين عند تطبيقهما واحدا ا تلو اآلخر. ويمكن إيجاد المحص لة هندسي ا باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع. اإيجاد المح صلة قاعدة المثلث قاعدة متوازي االأ صال a b هك تلا م س ة تاهجتم ن a, b ت ل تاخا ن ته ج ن هك تلا م س ة تاهجتم ن a, b ة ته تاخا تا ت ل a b b الخطوة 1 تج تن س لب ل ا هجت b ب جق نقاة ب ت ج م نقاة نمل ة تاهجت a الخطوة 1 تج تن س لب ل ا هجت b ب جق نقاة ب ت ج م نقاة ب ت ة تاهجت. a a b a b a a + b الخطوة م س ة تاهجتم ن a, b تاهجت تاه س من نقاة ب ت ة a تكا نقاة نمل ة b الخطوة تجإه ر س مج تز تهج سي تا. a, b س مل الخطوة م س ة تاهجتم ن تاهجت تا هث ا مج تز تهج سي a a + b b اإيجاد مح صلة متجهين ريا صة الم صي: قطع عبد الل ه في سباق للمشي مسافة 10 m باتجاه N 50 E ثم مسافة 80 m باتجاه الشرق. كم يبع د عبد الله عن نقطة البداية وفي أي اتجاه يكون افترض أن المتجه p يمث ل المشي 10 m في االتجاه N 50 E وأن المتجه q يمث ل المشي 80 m باتجاه الشرق. ارسم شكلا يمث ل p, q باستعمال مقياس الرسم. 1cm = 50 m استعمل مسطرة ومنقلة لرسم سهم طوله. cm ويصنع زاوية قياسها 50 شرق الشمال لي مث ل المتجه p وارسم سهما ا آخر طوله = 1. cm باتجاه الشرق لي مث ل المتجه.q N p 50. cm E 1 cm = 50 m N q 1. cm E المح صلة جا ت سجمهلل تهج سي مج تز لا ة هك تلا م س ة تجإث من مجتم ن تكالاة تا س تجإث من م ة ا ت من تهج سم ث تا لاة ت سجمهلل قة تاهث هك تلا م س ة فيفة مجتملا ثلجإث ذا ب س نقاة ب ت ة مجت ان نقاة نمل ة تاهجت تا ت سلق قاعدة المثلث الطريقة قاعدة متوازي األضلع الطريقة 1 v 1 v v اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p ثم ارسم متجه المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية p ثم أكمل متوازي األضلع وارسم قطره الذي يمث ل المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. v 1 + v + v p q p + q p q p + q N p + q.7 cm 1 cm = 50 ft E نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. ق س طول p + q باستعمال المسطرة ثم ق س الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الخط الرأسي شمال - جنوب كما في الشكل المجاور. تجد أن طول المتجه يساوي.7 cm تقريبا ا وي مث ل = 185 m وعليه يكون عبد الله على بعد 185 m من نقطة البداية باتجاه. N E 1 الف صل 1 تاهجتملا

13 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع. ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي. a b )B )A v w C( لعبة اأطفال: رمى طفل كرة صغيرة في لعبة مخصصة لألطفال بسرعة 7 in/s باتجاه 10 فارتدت باتجاه 055 وبسرعة. in/s أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها. )قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة واالتجاه إلى أقرب درجة( عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه فإن المحصلة هي المتجه الصفري.ويرمز له بالرمز 0 أو 0 وطوله صفر وليس له اتجاه. وتشبه عملية طرح المتجهات عملية طرح األعداد. إليجاد p - q اجمع معكوس q إلى p أي أن (-q). p - q = p + ويمكن كذلك ضرب المتجه في عدد حقيقي. a -a a + (-a) = 0 تكذت س تاهجت v ث ا ا رق ق k ثلكن ل تاهجت ج k v k v ا ت تل بلكيسلرة k تكذت إلنت > 0 k ثلكن ت تل k v ت تل v نا س تكذت إلنت < 0 k ثلكن ت تل k v ا س ت تل. v المتجهات المتوازية في االتجا نف ص م س ة نل جه مجتم ن تج تجإث امل ته تل نا س تج تل مته تاهجتملا ت تل مل ت تل تاهجتملا تهج س ة نا س صرب المتج في عدد حقيقي a m/sec a + b 5 m/sec b m/sec - ارسم المتجه - حيث, متجهان كما في الشكل المجاور. ثم مث ل المتجه + أعد كتابة المتجه - على صورة حاصل جمع متجهين ) (- برسم متجه طوله أمثال المتجه وباالتجاه نفسه كما في الشكل ولتمثيل المتجه - ارسم متجها ا طوله طول وفي اتجاه معاكس التجاه كما في الشكل 1.1. ثم استعمل قاعدة المثلث لرسم متجه المحصلة كما في الشكل ال صكل ال صكل 1.1. ال صكل ارسم المتجه الذي ي مث ل كال مما يأتي : m - 1 p )B a - c + b )A p العمليات على المتجهات المتجهان المتوازيان المتعاك صان ان جه مجتم ن مج تز ن مجملإ س ن ثلكن ل تاه س ة تاق هة تاها قة ا ا ا ب ن ا تاهجتم ن ت تل مل ت تل تاهجت تهجإل ه a + b d a 7d b d m a b c الدر س مق مة ث تاهجتملا 1

14 تطبيقات المتجهات يمكن استعمال جمع المتجهات وحساب المثلثات في حل مسائل حياتية على المتجهات تتضمن مثلثات غير قائمة الزاوية كما في مسائل الملحة الجوية والبحرية. فمن المهم مثلا تحديد السرعة واالتجاه الذي يجب أن تنطلق فيه الطائرة أو السفينة لتتغل ب على القوى األخرى مثل الرياح وتكون السرعة النسبية للم رك بة هي المحص لة الناتجة عن سرعة انطلق المركبة والقوى األخرى المؤثرة عليها. مالحة جوية: ت حل ق طائرة بسرعة مقدارها 10 عقد باتجاه 050 وتهب الرياح بسرعة 78 عقدة من االتجاه 15 أوجد محص لة سرعة الطائرة واتجاه حركتها بالنسبة لسطح األرض. الخطوة 1 ارسم شكلا ي مث ل سرعة الطائرة والرياح كما في الشكل 1.1. ثم اسحب متجه حركة الرياح كما في الشكل واستعمل قاعدة المثلث إليجاد متجه المحصلة الذي ي مث ل سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض. في المثلث المكو ن من هذه المتجهات في الشكل γ = = 75 g α γ N θ α γ g γ N ا صتعمال المتجهات لح ل م صائل المالحة الزوايا الداخلية المتبادلة مه تن س ل نقاة تال ت ة اهجت ر إة تا ل تكا نقاة نمل ة مجت ر إة تاال ة ا ن مجتم ن مج تز ن قاممهل ل ا ت ثلكن تازت ج ن تاهجللااج ن تانل تج ن من ت تا س مجالبقجلن ال صكل 1.1. ال صكل ال صكل 1.1. الخطوة استعمل قانون جيوب التمام إليجاد g وهو ي مث ل سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض. c = a + b - ab cos γ g = (78)(10) cos 75 تاجهل ج لن ن c = g, a = 78, b = 10, γ = 75 g = 78 ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (78)(10) cos سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض هي 99. عقدة تقريبا ا. بلك تلا تات ر تاج ب م تاه ج ا ا ث ن بلاجل س الخطوة ي مث ل اتجاه المحصلة g بالزاوية θ كما في الشكل (5.1.5) وإليجاد θ أوجد أوالا α باستعمال قانون الجيوب. sin α = sin γ a c sin α 78 = sin sin تات لن ن c = g = 99., a = 78, γ = 75 sin α = sin 75 α = sin بلا بلان سلة تكا α بل سجمهلل تا تاة تام س ة ا ت بلاجل س قياس θ هو - α 50 أي 5. = لذا فإن سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض هي 99. عقدة باتجاه 05 تقريبا ا. 5( صباحة: يسبح سلطان عبر أحد األنهار بسرعة.5 ft/s باتجاه الشرق قاصدا ا الضفة األخرى للنهر في الوقت الذي يؤثر عليه تيار مائي باتجاه الجنوب بسرعة. ft/s أوجد محصلة سرعة سلطان واتجاه حركته. اتجا الرياح ث تاهثلل 5 هر تجن تا ل م من ته تل 15 ا ت ر س تا سم ب ق نقاة تنجمل ا يسهلل جن ان مل م تا ل بل تل 15 ثلكن نقاة ب ت ة تاهجت تاج جن يسهلل ا ق 1 الف صل 1 تاهجتملا

15 r ي سمى المتجهان الل ذان ناتج جمعهما المتجه r مركبتي. r ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه إال أنه من المفيد غالبا ا تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين واحدة أفقية واألخرى رأسية. ففي الشكل المجاور يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية تحرك العربة إلى األمام ورأسية تسحب العربة إلى األعلى. ق س الع صب: يدفع علي عربة قص قياسها 5 مع سطح األرض. العشب بقوة مقدارها 50 N وبزاوية a( ارسم شكالا يوض ح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين. يمكن تحليل قوة الدفع إلى مركبتين أفقية إلى األمام ورأسية إلى األسفل كما في الشكل أدناه. 50 N 5 b( أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. تحليل القوة اإلى مركبتين متعامدتين 50 N 5 تا م بلض ماجل ا سغ تا جا هكيسملل تا س ض ة مق تر ل N تاق ة تاج ف بمل تاتلذب ة تهجر س ة ا تاتسخ س ملال ل ل ق 00 N تاق ة تاهل اة من ها رث تجفقلل ق ل ل 000 N سل تاه س ر Contemporar College Phsics تكو ن كل من القوة ومركبتاها األفقية والرأسية مثلثا ا قائم الزاوية. استعمل تعريف الجيب أو جيب التمام إليجاد مقدار كل قوة منهما. sin 5 = 50 = 50 sin 5 7 تاجهل ج تات م بلا بلان سلة تكا بل سجمهلل ته اة تا ل سلة cos 5 = 50 = 50 cos 5 5 مقدار المركبة األفقية 5 N تقريبا ا ومقدار المركبة الرأسية 7 N تقريبا ا. ( كرة قدم: يركل الع ب كرة قدم من سطح األرض بسرعة مقدارها ft/s وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل أدناه. ft/sec A( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين. B( أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للسرعة. الدر س مق مة ث تاهجتملا 15

16 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: )مثلل 1( دفع صندوق بقوة مقدارها. 15 N تهب الرياح بسرعة 0 عقدة. يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب. ضربت كرة قدم بسرعة. 85 km/h إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل. رمي حجر رأسي ا إلى األعلى بسرعة. 50 ft/s استعمل المسطرة والمنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية. واكتب مقياس الرسم في كل حالة. )مثلل ( حد د مقدار المحصلة الناتجة من جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: )مثلل ) 18 N لألمام ثم 0 N للخلف. 100 m للشمال ثم 50 m للجنوب. 17 mi شرقا ا ثم 1 mi جنوبا ا. 15 m/ s باتجاه زاوية قياسها 0 مع األفقي ثم 9.8 m/ s إلى األسفل. ) 1 8 ) 1 9 ) 0 ) 1 استعمل المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كل عبارة مما يأتي: )مثلل ) h = 1 in/s باتجاه 05. ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 m n p. N 70 W باتجاه g = km/h j = 5 ft/s وبزاوية قياسها 00 مع األفقي. ) 8 ) 9 m - n n + 5 p p + n - m m - n + 1 p d = 8 km وبزاوية قياسها 5 مع األفقي..S 55 E باتجاه R = 0 m n = m/s باتجاه 00. أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة: )مثلل ) طيران صراعي: يقود شخص طائرة شراعية بسرعة مقدارها 5 mi/h باتجاه الغرب. إذا هبت الرياح بسرعة 15 mi/h باتجاه N 0 E فأوجد محص لة سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض. )مثلل ) 5 تيار مائي: يسبح أحمد باتجاه الغرب بسرعة 1.5. m/s أث ر عليه تيار بحري قوي سرعته 1 m/s وباتجاه. S 0 E أوجد محص لة سرعة أحمد واتجاهها. )مثلل 5( ) ) ) ) 5 ) ) 7 c d ) 1 ) 1 a b ) 1 0 ) 1 1 ) 1 m n ) 1 ) 1 5 h k ركوب الزوارق: غادر زورق أحد المواني باتجاه N 0 W فقطع مسافة 1 ميلا بحري ا ثم غي ر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 5 E فقطع مسافة 15 ميلا بحري ا. أوجد ب عد الزورق واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. )مثلل ) ارسم شكالا يوض ح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبتيه المتعامدتين ثم أوجد مقدار كل منهما. )مثلل ( 1 باتجاه 10 مع األفقي. 8 in/s.n 9 E باتجاه 1.5 cm باتجاه 55. in/min ) 8 ) 9 ) 0 ) الف صل 1 تاهجتملا

17 تنظيف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190 N وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل المجاور. )مثلل ( a( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. b( أوجد مقدار كل من المركبة األفقية والمركبة الرأسية. تمثيالت متعددة: ستستقصي في هذه المسألة ضرب متجه في عدد حقيقي. a( بياني ا: ارسم المتجه a على المستوى اإلحداثي بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة األصل. واختر قيمة عددية ل k ثم ارسم متجها ا ناتجا ا عن ضرب k في المتجه األصلي على المستوى اإلحداثي نفسه. وكر ر العملية ألربعة متجهات أخرى,b,c,d e واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. b( جدولي ا: انقل الجدول أدناه إلى دفترك ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a. ) N ) 1 F F ب صتنة: يسحب خالد وجاسم عربة مليئة بالنباتات بقوتين متساويتين تصنع ك ل منهما زاوية قياسها 0 مع محور العربة. إذا كانت محصلة قوة السحب 10 N فأجب عما يأتي: 0 0 a( أوجد القوة التي يسحب بها كل من خالد وجاسم العربة. b( إذا سحب كل منهما العربة بقوة مقدارها 75 N فأوجد محصلة قوة السحب. c( كيف تتأثر هذه المحصلة إذا تقارب خالد وجاسم نقطة النهاية للمتج م صروب ا في العدد k نقطة النهاية للمتج المتج a b c d e c( تحليلي ا: إذا كانت ) b (,a نقطة النهاية للمتجه a فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه k a المتج الموازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في االتجاه بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري. والمتجه الموازن للمتجه a + b هو (b a)- +. b a ) -(a + b) قيادة صيارة: يبع د منزل ناصر عن مدرسته مسافة أفقية مقدارها mi وللوصول إلى مدرسته فإنه يقود سيارته في شارعين مختلفين إذ يسير أوالا بزاوية قياسها 0.9 بالنسبة إلى المسار األفقي على الشارع األول ثم ينعطف بزاوية قياسها 5. على الشارع الثاني كما في الشكل أدناه. أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h باتجاه 15. b = 1 mi/h باتجاه 05. ) ) كرة حديدية: ع ل قت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه ) mi 5. 1 a( أوجد المسافة التي يقطعها ناصر على الشارع األول. b( أوجد المسافة التي يقطعها ناصر على الشارع الثاني. لعب االأطفال: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100 N وباتجاه 1 مع األفقي. أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح. a( إذا كانت T 1, T ت مث لن قوتي الشد في الحبلين وكانت T 1 = T فارسم شكلا ي مث ل وضع التوازن للكرة.. T 1 + أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T b( c( استعمل الشكل في الفقرة b وحقيقة أن محصلة T 1 + T هي المتجه الموازن لوزن الكرة لحساب مقدار كل من. T 1, T ) الدر س مق مة ث تاهجتملا 17

18 أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه األفقية والرأسية والمدى الممكن لزاوية كل منها: األفقية 0. in الرأسية < θ < in 90. األفقية.1 ft الرأسية < θ < 90. ft 0. األفقية. cm الرأسية < θ < cm 70. ارسم ثالثة متجهات,a,b c لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص اآلتية هندسي ا: الخاصية اإلبدالية a + b = b + a الخاصية التجميعية c) (a + b) + c = a + (b + الخاصية التوزيعية k(a + b) = k a + k b حيث - 0.5, =, k م صاألة مفتوحة: لديك متجه مقداره 5 وحدات باالتجاه الموجب لمحور. حل ل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على أال تكون أي منهما أفقية أو رأسية. تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو ليست صحيحة أبدا ا. وبر ر إجابتك. من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي األضلع. تبرير: بفرض أن b a + b a + a( عب ر عن هذه العبارة بالكلمات. b( هل هذه العبارة صحيحة أو خاطئة بر ر إجابتك. اكت صف الخطاأ: حاول كل من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين. a, b أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. أوجد قيمة في كل مما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إن لزم ذلك. )مملرة سلبقة( ح ل كل مثلث فيما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إن لزم ذلك. )مملرة سلبقة( A ح ل المعادلة = 0 sin - cos لجميع قيم. )مملرة سلبقة( B b a 8 C ) 5 0 ) 5 ) 5 1 ) 5 ) 5 ) 5 5 ) 5 نزهة: قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي فقطع مسافة.75 km باتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد ثم سار شماالا قاصدا ا حديقة عامة فقطع مسافة. 5. km حد د موقع الحديقة بالنسبة للمخيم طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن ب عد بزاوية قياسها مع األفقي وبسرعة 8 ft/s كما في الشكل أدناه. أي مما يأتي ي مث ل مقدار المركبتين األفقية والرأسية لسرعة الطائرة ) 8 ) 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 8 ft/sec a b a a + b b a + b 5. ft/s, 0.7 ft/s A 0.7 ft/s, 5. ft/s B 5. ft/s, 90. ft/s C 90. ft/s, 5. ft/s D تبرير: هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويا ا ألحدهما بر ر إجابتك. اكتب: قارن بين قاعدتي متوازي األضلع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين. ) 8 ) 9 18 الف صل 1 تاهجتملا

19 في الم صتوى االإحداثي المتجهات Vectors in the Coordinate Plane تؤث ر الرياح على سرعة الطائرة واتجاه حركتها لذا يستعمل قائد الطائرة مقاييس مدر جة لتحديد السرعة واالتجاه الذي يجب على الطائرة السير فيه لمعادلة أثر الرياح وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستوى اإلحداثي. المتجهات في الم صتوى االإحداثي تعلمت سابقا ا إيجاد طول )مقدار( المحص لة واتجاهها لمتجهين أو أكثر هندسي ا باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم فإننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام اإلحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دقة أكثر أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيدا ا. ويمكن التعبير عن P ÆÆÆ في الوضع القياسي في المستوى اإلحداثي كما في الشكل 1..1 بصورة وحيدة وذلك بإحداثيي نقطة نهايته (. P(, ون ع ب ر عنÆÆÆ P في المستوى اإلحداثي على الصورة,. حيث إن, هما المركبتان المتعامدتان ل P ÆÆÆ لذا ت سمى, الصورة اإلحداثية للمتجه. t p v w P P(, ) ار ست تامه لا ا تاهجتملا بل سجمهلل مق ل س تا س تج ج تامه لا ا تاهجتملا ث تاه سج تهكر تف تجمث مل ب لن ل تجإج تاهجت بل سجمهلل مجتم تا ر ة تا س رة تهكر تف ة component form مجت تا ر ة unit vector تث ا linear combination ال صكل 1.. ال صكل 1..1 وحيث إن المتجهات التي لها الطول واالتجاه نفسيهما متكافئة فإن بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات باإلحداثيات نفسها فمثلا المتجهات,p,t,v w في الشكل 1.. متكافئة إذ يمكن التعبير عن أي منها على الصورة,. وإليجاد الصورة اإلحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي استعمل إحداثيي نقطتي بدايته ونهايته. تا س رة تهكر تف ة ÆÆÆ اAB تا نقاة ب ت ج نقاة )A 1, 1 ) نمل ج B(, ) - 1, - 1 ال صورة االإحداثية لمتج A( 1, 1 ) - 1 B(, ) - 1. B(, -5) ونقطة نهايته A(-, ) الذي نقطة بدايته ÆÆÆ AB أوجد الصورة اإلحداثية ل AB ÆÆÆ = - 1, - 1 = - (-), -5 - تا س رة تهكر تف ة ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) = 7, -7 1 التعبير عن المتج بال صورة االإحداثية بلاا AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: أوجد الصورة اإلحداثية ل A(0, 8), B(-9, -) )1B A(-, -7), B(, 1) )1A الدر س - 1 تاهجتملا ث تاه سج تهكر تف 19

20 v ( 1, 1 ) - 1 (, ) - 1 يمكن إيجاد طول المتجه في المستوى اإلحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين. تكذت إلن v مجتم ل نقاة ب ت ج نقاة ( 1, 1 ) نمل ج (, ) ثلكن ل ما v بلا س غة v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) ثلكن v ة ا هجت تهكر تف تا س رة a, b إلنت تكذت v = ÇÇÇ a + b المعيار سه مق تر تاهجت تجر لن ل مم لر تاهجت طول المتج في الم صتوى االإحداثي اإيجاد طول متج أوجد طول ÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته ) A(-, ونقطة نهايته -5) B(,. لن ن تاه سلثة ب ن نقاج ن ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) بلاجل س AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ [ - (-)[ + ( -5 - ) = Ç التحق علمت من المثال 1 أن -7 7, = ÆÆÆ AB وعليه فإن AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ 7 + ( -7) = Ç 98 أوجد طول AB ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: A(0, 8), B(-9, -) )B A(-, -7), B(, 1) )A تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي والجمع والطرح على المتجهات العمليات نفسها على المصفوفات. العمليات على المتجهات تكذت إلن a = a 1, a, b = b 1, b مجتم ن k ا ا ت رق ق ل ثلكن a + b = a 1 + b 1, a + b جمع متجهين a - b = a 1 - b 1, a - b طرح متجهين k a = k a 1, k a عدد حقيقي في متج صرب أوجد كال مما يأتي للمتجهات 1 -, = w : =, 5, z = -, 0, w + )a بلاجم س بته تاهجتم ن بلكالاة إجلبة تاا إمه ة جه بلاجم س س مجت ث ا ا رق ق جه مجتم ن w + = -, 1 +, 5 = - +, = -, z - )b z - = z + (-) = -, 0 + (-), 5 = -, 0 + -, -10 = -7, -10 العمليات على المتجهات أوجد كال مما يأتي للمتجهات 1 -, = w : =, 5, z = -, 0, w + - z )C -w )B w + z )A التحق بياني ا ه ن تاج ق ب لن ل من كتجلبة مثلل تاا a بل سجمهلل قة لا ة مج تز ت جه سي إهل ث تاتس جتانل (-, 1) (-, ) (, 5) 0 الف صل 1 تاهجتملا

21 متجهات الوحدة ي سم ى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة. ومن المفيد أحيانا ا التعبير عن المتجه غير الصفري v على أنه حاصل ضرب متجه وحدة u بنفس اتجاه v في عدد حقيقي. وإليجاد u اقسم المتجه v على طوله v. u = v v = 1 v v أوجد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه,- = v. = 1 v بل تل ر ة مجت u v v بلاجم س a, b = ÇÇÇÇ a + b بلاجل س س مجت ث ا ا رق ق = 1 -, -, 1 = ÇÇÇÇÇ -, ( -) + = 1 Ç -, 1 = - Ç, 1 Ç 1 ويليام روان هاميلتون ( ) ر تا ل س تهج ان لم ج ن ن ة ث ن ل تهجا تا اج س تهجا تا تاه إلة نتس تام من تاه ل س تا ث مل إ تجن تام من تاهال تهج سل س ة ث تاهجتملا مجه ا تان ة اإيجاد متج وحدة ل نف س االتجا لمتج معطى = بلكنالا تاهقل - Ç 1, Ç التحق بما أن u تمثل حاصل ضرب v في عدد موجب فإن له اتجاه v نفسه. تحق ق من أن طول u هو. 1 لن ن تاه سلثة ب ن نقاج ن بلاجل س بلاجل س u = ( ÇÇÇÇÇÇÇ - Ç 1 ) + ( Ç 1 ) = ÇÇÇÇ = Ç 1 = 1 أوجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه الم عطى في كل مما يأتي: = -, -8 )B w =, - )A ي رمز لمتجهي الوحدة باالتجاه الموجب لمحور واالتجاه الموجب لمحور بالرمزين 1 0, = j i = 1, 0, على الترتيب كما في الشكل. 1.. كما ي سم ى المتجهان i, j متجهي الوحدة القياسيين. bj ai v = a, b ال صكل 1.. ال صكل 1.. ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن أي متجه b v = a, على الصورة v = a i + b j كما في الشكل j i 1 متج الوحدة i ه خ ب ن مجت تا ر ة تام ا i تاجخ i ر ج مجت تا ر ة بخ اتإن مل i ب نهل ج تام ا تاجخ بخ اتإن مل i تا س رة تهكر تف ة بلكالاة إجلبة تاهجت ا س رة نل جه مجتم ن س مجت ث ا ا رق ق 1, 0 = i, 0, 1 = j v = a, b = a, 0 + 0, b = a 1, 0 + b 0, 1 = a i + b j الدر س - 1 تاهجتملا ث تاه سج تهكر تف 1

22 يسمى ناتج الجمع a i + b j توافقا ا خطي ا للمتجهين. i, j وي قصد به كتابة المتجه بداللة متجهي الوحدة. i, j إذا كانت نقطة بداية المتجه DE ÆÆÆ هي ) D(-, و نقطة نهايته 5) E(, فاكتب DE ÆÆÆ بداللة متجهي الوحدة. i, j أوالا أوجد الصورة اإلحداثية ل. DE ÆÆÆ 5 كتابة متج على صورة تواف خطي لمتجهي الوحدة 1 DE ÆÆÆ = - 1, - تا س رة تهكر تف ة ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, 5) بلاجل س = - (-), 5 - =, ثم أعد كتابة المتجه بداللة متجهي الوحدة. تا س رة تهكر تف ة a, b = ai + bj DE ÆÆÆ =, = i + j اكتب المتجه DE ÆÆÆ الم عطى نقطتا بدايته ونهايته بداللة متجهي الوحدة i, j في كل مما يأتي : D(-, -8), E(7, 1) )5B D(-, 0), E(, 5) )5A (a, b) v v sin θ θ v cos θ ال صكل 1..5 ويمكن كتابة المتجه b v =,a باستعمال زاوية االتجاه التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور. فمن الشكل 1..5 يمكن كتابة v على الصورة اإلحداثية أو بداللة متجهي الوحدة,i j كما يأتي: تا س رة تهكر تف ة بلاجم س,i j من ا تث v = a, b = v cos θ, v sin θ = v (cos θ) i + v (sin θ) j أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الذي طوله 10 وزاوية اتجاهه 10 مع األفقي. تا س رة تهكر تف ة ا هجت v ب هاة v, θ cos 10 = - 1 v = 10, θ = 10 Ç, sin 10 = بلاجل س v = v cos θ, v sin θ = 10 cos 10, 10 sin 10 = 10 (- 1 ) = -5, 5 Ç ), 10 ( Ç متج الوحدة سجنج من تا س رة v = v cos θ, v sin θ تجن مجت تا ر ة تا ا نا س ت تل لج v تا س رة اإيجاد ال صورة االإحداثية u = 1 cos θ, 1 sin θ = cos θ, sin θ (-5, 8.7) v 10 التحق مث ل بياني ا 8.7-5, v = -5, 5 Ç علما ا بأن قياس الزاوية التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور هي 10 كما في الشكل المجاور v = ÇÇÇÇÇÇ ( -5) + (5 Ç ) = 10 أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الم عطى طوله وزاوية اتجاهه مع األفقي في كل مما يأتي : v =, θ = 10 )B v = 8, θ = 5 )A الف صل 1 تاهجتملا

23 تستنتج من الشكل (1..5) أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه b v =,a مع االتجاه الموجب لمحور بح ل. tan θ = b a زوايا االتجا للمتجهات v sin θ المعادلة المثلثية = θ tan أو v cos θ 7 (, 7) r =, -5 )b ته تل مملااة زت ة tan θ = a b a =, b = -5 tan θ = -5 θ تكا بلان سلة بلا θ = tan -1 (- 5 θ -51. أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور. ) p = i + 7 j )a ته تل مملااة زت ة tan θ = a b = 7 a =, b = 7 tan θ -1 = tan 7 θ تكا بلان سلة بلا θ.8 θ بل سجمهلل ته اة تا ل سلة أي أن زاوية اتجاه المتجه p هي.8 تقريبا ا كما في الشكل. 1.. بل سجمهلل ته اة تا ل سلة بما أن r يقع في الربع الرابع كما في الشكل 1..7 فإن 08.7 = θ أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهين اآلتيين مع االتجاه الموجب لمحور. -, -8 )7B -i + j )7A.8 ال صكل (, -5) ال صكل تطبي العمليات على المتجهات 5 m/s θ v m/s r v كرة قدم: يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم لألمام بسرعة 5 m/s ليرمي الكرة بسرعة 5 m/s بزاوية 0 مع األفقي. أوجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة. بما أن اللعب يتحرك لألمام بشكل مستقيم فإن الصورة اإلحداثية لهذا المتجه v 1 هي 0,5. وتكون الصورة اإلحداثية لمتجه سرعة الكرة v هي: تا س رة تهكر تف ة ا هجت v الدر س - 1 تاهجتملا ث تاه سج تهكر تف v = 5, θ = 0 بلاجل س v = v cos θ, v sin θ = 5 cos 0, 5 sin 0 19., 1.1 اجمع المتجهين v v 1 جبري ا لتجد متجه محصلة السرعة. r مجت تاه س ة بلاجم س بلاته r = v 1 + v = 5, , 1.1 =., 1.1 r = ÇÇÇÇÇ. وتكون زاوية اتجاه طول متجه المحصلة هو المحصلة مع األفقي هي θ حيث: a, b =., 1.1 ر tan θ = b tan θ = 1.1 a. θ تكا بلان سلة بلا θ = tan.. أي أن محصلة سرعة الكرة هي 9.1 m/s وتصنع زاوية قياسها. مع األفقي. 8( كرة قدم: أوجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة إذا تحرك اللعب إلى األمام بسرعة 7. m/s

24 أوجد الصورة اإلحداثية ÆÆÆ وطول AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: )تاهثلهن,1( A(, -7), B(-, 9) ) A(-, 1), B(, 5) ) 1 A(-, ), B(1, 10) ) A(10, -), B(, -5) ) A ( 1, -9 ), B (, 5 ) A(.5, -), B(-, 1.5) ) 5 ) إذا كان -, = h f = 8, 0, g = -, -5, فأوجد كال مما يأتي: )مثلل ) f + h f - g - h g - f + h ) 8 h - g ) 7 ) 1 0 f + g - h ) 9 ) 1 h - f + 5g ) 1 1 فيزياء: ي ستعمل مخطط القوى لتوضيح أثر القوى المختلفة على جسم. ويمث ل المخطط أدناه القوى التي تؤثر على طفل ينزلق على منحدر لألسفل. )مثلل ) 10 N 8 N 9 N 7 N 170 N a( اعتبر أن النقطة الخضراء التي ت مث ل الطفل هي نقطة األصل واكتب كل متجه على الصورة اإلحداثية. b( أوجد الصورة اإلحداثية لمتجه المحصلة الذي يسب ب انزالق الطفل لألسفل. أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: )مثلل ( v = 9, - ) 1 5 v = -, 7 ) 1 v =, ) 1 7 v = -8, -5 ) 1 v = 1, 7 ) 1 9 v = -1, -5 ) 1 8 اكتب DE ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي بداللة متجهي الوحدة : i, j )مثلل ) 5 تجديف: يجدف شخص بقاربه في نهر باتجاه عمودي على الشاطي بسرعة 5 mi/h ويؤث ر عليه تيار مائي باتجاه مجرى النهر سرعته. mi/h )مثلل ) 5 a( أوجد إلى أقرب جزء من عشرة السرعة التي يتحرك بها القارب. b( أوجد زاوية اتجاه حركة القارب بالنسبة للشاطي إلى أقرب درجة. أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه v الم عطى طوله وزاوية اتجاهه مع االتجاه الموجب لمحور في كل مما يأتي: )مثلل ) v = 1, θ = 0 ) 8 v = 1, θ = 0 ) 7 v = 15, θ = 15 ) 0 v =, θ = 15 ) 9 أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور : (مثال )7 -i + 5j ) i + j ) 1-5, 9 ) -i - j ) مالحة جوية: تطير طائرة باتجاه الشرق بسرعة مقدارها. 00 mi/h وتهب الرياح بسرعة مقدارها 85 mi/h باتجاه. S 59 E )مثلل ) 8 N mi/h 85 mi/h a( أوجد محص لة سرعة الطائرة. b( أوجد زاوية اتجاه مسار الطائرة. مالحة جوية: تطير طائرة بسرعة مقدارها 80 mi/h باالتجاه. N 8 E وبسبب الرياح فإن محصلة سرعة الطائرة بالنسبة لسطح األرض أصبحت 518 mi/h باتجاه. N 79 E a( ارسم شكلا ي مث ل هذا الموقف. b( ما مقدار سرعة الرياح واتجاهها بي ن إذا كان AB ÆÆÆ, CD ÆÆÆ الم عطاة نقطتا البداية والنهاية لكل منهما فيما يأتي متكافئين أو ال. وإذا كانا متكافئين فأثبت أن ÆÆÆ AB = CD ÆÆÆ وإذا كانا غير ذلك فاذكر السبب. A(, 5), B(, 9), C(-, -), D(-, 0) ) ) 5 ) ) 7 A(1, -), B(0, -10), C(11, 8), D(10, 1) ) 8 D(9, -), E(-7, ) ) 1 D(, -1), E(5, -7) ) 0 D(9.5, 1), E(0, -7.) ) D(, 11), E(-, -8) ) D ( 1 8, ), E (-, ) 1 ) 5 D(-, -), E(9, 5) ) 7) الف صل 1 تاهجتملا

25 تحد : إذا كانت زاوية اتجاه, هي () فأوجد قيمة بداللة. برهان: إذا كان a = 1, 1, b =,, c =, فأثبت الخصائص اآلتية: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) k (a + b) = ka + kb حيث k عدد حقيقي. a ka = k حيث k عدد حقيقي. ان صحاب: يمكنك سحب شكل هندسي باستعمال المتجه b,a وذلك بإضافة a إلى اإلحداثي وإضافة b إلى اإلحداثي. a( حد د المتجه الذي ي ستعمل لسحب FGH إلى F G H في الشكل المجاور. )b إذا استعمل المتجه - -, لسحب F G H فمث ل بياني ا كل من F'G'H' وصورته. F G H. F G H إلى FGH حد د المتجه الذي ي ستعمل لسحب c( أوجد نقطة نهاية ممكنة لكل متجه مما يأتي إذا علمت طوله ونقطة بدايته: Ç 7, (-1, ) 10, (-, -7) ا لة ت صوير: ع ل قت آلة تصوير معدة لمتابعة حدث رياضي بثلثة حبال كما في الشكل المجاور إذا كان الشد في كل حبل يمث ل متجها ا فأجب عما يأتي: دمى االأطفال: يقوم محمد بسحب دميته بقوة مقدارها 1.5 N بواسطة نابض مثب ت بها. )تا ر س 1-1 ) a( إذا كان النابض يصنع زاوية 5 مع سطح األرض. فأوجد مقدار كل من المركبتين الرأسية واألفقية للقوة. b( إذا رفع محمد النابض وأصبح يصنع زاوية قياسها 78 مع سطح األرض. فأوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 5 0 ) 5 1 استعمل مجموعة المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كال مما يأتي: )تا ر س - 1 )1 F G 100 N F' G' 1 51 H H' 1000 N 700 N 9 ) 9 ) 0 ) 1 ) a( أوجد الصورة اإلحداثية لكل متجه. m n p b( أوجد الصورة اإلحداثية لمتجه المحصلة المؤثر على آلة التصوير. P 1 p + n ) 5 n - m ) 5 p + n - m ) 5 5 m - n ) 5 c( أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى. قوة: تؤث ر قوة الجاذبية g وقوة االحتكاك على صندوق في وضع السكون موضوع على سطح مائل ويبي ن الشكل أدناه المركبتين المتعامدتين للجاذبية األرضية )الموازية للسطح والعمودية عليه(. ما الوصف الصحيح لقوة االحتكاك ليكون هذا الوضع ممكنا ا g θ تبرير: إذا كان a, b متجهين متوازيين فاكتب معادلة متجه ت بي ن العلقة بين.a, b تبرير: إذا أ عطيت طول متجه ونقطة بدايته فصف المحل الهندسي للنقاط التي يمكن أن ت مث ل نقطة نهايته. )إرشاد: المحل الهندسي هو مجموعة من النقاط تحقق شرطا ا معي نا ا(. ما طول المتجه الذي نقطة بدايته (5,) ونقطة نهايته (-,-) 0 R S Ç 8 C Ç A ÇÇ 10 D Ç B ما مساحة المثلث المجاور إذا علمت أن PR = RS 18 Ç D 18 Ç C 9 Ç B 9 Ç A ) 5 ) 5 7 ) ) ) 5 الدر س - 1 تاهجتملا ث تاه سج تهكر تف 5

26 الداخلي ال صرب Dot Product B(b 1, b ) b a BA A(a 1, a ) تحمل كلمة الشغل معان متعددة في الحياة اليومية إال أن لها معنى محددا ا في الفيزياء وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في المسافة التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي. ال صرب الداخلي القيا صي( تعلمت في الدرس - 1 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان المتعامدان a, b في الوضع القياسي وكان BA ÆÆÆ المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن b BA ÆÆÆ = a +. مجت ل م بج ب تاا ث ن با تهج ت س بجته تا ا تاه بمة a = ÇÇÇÇ a 1 + a, a = a 1 + a, b = ÇÇÇÇ b 1 + b, b = b 1 + b BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد ÆÆÆ BA. = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( a 1 - b 1 ) + ( a - b ) = ( a 1 - b 1 ) + ( a - b ) = a 1 - a 1 b 1 + b 1 + a - a b + b = ( a 1 + a ) + ( b 1 + b ) - ( a 1 b 1 + a b ) = a + b - ( a 1 b 1 + a b ) الحظ أن العبارتين b a + b - ( a 1 b 1 + a b ) a + متكافئتان إذا وفقط إذا كان = 0. a 1 b 1 + a b وي سم ى التعبير a 1 b 1 + a b الضرب الداخلي للمتجهين a, b وي رمز له بالرمز a b وي قرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b أو ي قرأ اختصارا ا. a dot b إله a = a 1, a, b = b 1, b ن ا هجتم تا ت تا س م ف ار ست اه ج تاته رق ق ا ا ا ث س تا تاهجتملا ن س ل جل ل تج تا س تا ت اهجتم ن تج سجمه ث تك تلا تازت ة ب ن ن تاهجتم ن تج م سق مجت ا ت تا س تا ت dot product تاهجتملن تاهجملم تن rthogonal vectors م سق مجت vector projection تاتسغ work ال صرب القيا صي سه تا س تا ت ث بم س تهجر لن بلا س تاق ل س ال صرب الداخلي لمتجهين في الم صتوى االإحداثي a b = a 1 b 1 + a b الحظ أنه خلفا ا لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عددا ا وليس متجها ا. ويتعامد متجهان غير صفريين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرا ا. ويقال للمتجهين الل ذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: متجهان متعامدان. المتجهان المتعامدان a b إلن = 0 تكذت ثق تكذت مجملم ن a, b ن تا سا تاهجتملن ن على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي الصفر أي أن : = 0 a 1, a = 0 a a 0 0, إال أن المتجه الصفري ال يعامد أي متجه آخر ألنه ليس له طول أو اتجاه. الف صل 1 تاهجتملا

27 1 ا صتعمال ال صرب الداخلي في التحق من تعامد متجهين u أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. u =, 5, v = 8, )b u =,, v = -, )a v u v = (8) + 5() = بما أن 0 v u فإن u, v غير متعامدين كما هو موض ح في الشكل. 1.. u v = (-) + () = 0 بما أن = 0 v u فإن u, v متعامدان كما هو موض ح في الشكل أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. ال صكل 1..1 u v u = -, -, v = 9, - )1B u =, -, v = -5, 1 )1A يحقق الضرب الداخلي الخصائص اآلتية : خ صائ س ال صرب الداخلي ال صكل 1.. تكذت إلنت u, v, w مجتملا إلن k ا ا ت رق ق ل ثلكن تاخ سل س ته ة س ة u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = k u v = u k v 0 u = 0 u u = u تاخل س ة تهكب تا ة ة تاج ز ل س ل س ة تا س ث ا ا رق ق تا سا تاهجت ث تا ت ة تا س ل س تامي ة ب ن تا س تا ت ل تاهجت تكفللا تجن u u u = تثج س تجن u = u 1, u تا س تا ت بلا جلبة ا س رة م ب ج ر ) ( u 1 + u ÇÇÇÇ u 1 + u = u u u = u 1 + u = ( ÇÇÇÇÇ ( u 1 + u ) ) = u س ف ل ن تاخ سل س تاثي تهج ا ث تهج س ة 5 الداخلي الإيجاد طول متج ال صرب ا صتعمال استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول 1-5, = a. بما أن a = a a فإن a = ÇÇ a a. a = -5, 1-5, 1 = ÇÇÇÇÇÇÇÇ -5, 1-5, 1 بلاجل س = ÇÇÇÇÇ ( -5) + 1 = 1 استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول كل من المتجهات اآلتية : c = -1, -7 )B b = 1, 1 )A b θ a الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a, b هي الزاوية بين هذين المتجهين عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور. حيث إن θ π 0 أو 180 θ 0. ويمكن استعمال الضرب الداخلي إليجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين. الدر س - 1 تا س تا ت 7

28 b - a a θ b تكذت إلنت θ تازت ة ب ن مجتم ن سا ن a, b ثلكن cos θ = a b a b تكذت إلن a,,b b - a تج سي مث إهل ث تاتس تجاي ثلكن تاجهل ج لن ن u = u u تا ت س ا ة تاج ز ل س u u = u با a + b من تاا ث ن بق سهة تاا ث ن ا a - b الزاوية بين متجهين a + b - a b cos θ = b - a a + b - a b cos θ = ( b - a) ( b - a) a + b - a b cos θ = b b - b a - a b + a a a + b - a b cos θ = b - a b + a - a b cos θ = - a b cos θ = a b a b أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: المتجهات المتعامدة والمتجهات المتوازية قلل اهجتم ن تكنمهل مجملم تن تكذت إلنت تازت ة ب نمهل 90 قلل اهجتم ن تجنمهل مج تز لن تكذت إلنت تازت ة ب نمهل 0 تج 180 اإيجاد قيا س الزاوية بين متجهين -, v 15, u cos θ تازت ة ب ن مجتم ن u =,, v = -, )a = u v u v, -, u =,, v = -, cos θ =, -, تاهجت ل ن اهجتم تا ت تا س cos θ = - + Ç 0 Ç 5-18 بلاجل س cos θ = 10 Ç 10 = cos تاجهل ج مم س بل سجمهلل θ Ç 15 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 15 تقريبا ا كما في الشكل أعله. تازت ة ب ن مجتم ن u =, 1, v =, - )b cos θ = u v u v u =, 1, v =, -, 1, - cos θ =, 1, - u v, 1, - تا س تا ت اهجتم ن ل تاهجت بلاجل س بل سجمهلل مم س ج تاجهل cos θ = 9 + (-) 10 Ç Ç 18 cos θ = 1 Ç 5 θ = cos -1 1 Ç 5 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقريبا ا كما في الشكل المجاور. أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u = 9, 5, v = -, 7 )B u = -5, -, v =, )A 8 الف صل 1 تاهجتملا

29 م صقط المتج تعلمت في الدرس أن بإمكانك تحليل متجه إلى مركبتين متعامدتين تكونان غالبا ا أفقية ورأسية إال أنه من المفيد أحيانا ا أن تكون إحدى المركبتين موازية لمتجه آخر. θ v u u w 1 u = w 1 + w w v م صقط u على v تكذت إلن u, v مجتم ن سا ن إلن w 1, w م إلج u ب w 1 م تز ا هجت v إهل ث تاتس تاهتل ر ثلكن سه w 1 م سق تاهجت u ا تاهجت ن v w 1 = ( u v v ) v بهل تجن w 1 م تز ا هجت v ثلكن بلكم لننل إجلبة w 1 ا س رة رل س س ا ا ث تاهجت v تج ا تاقل تاهث بل سجمهلل w 1 = w 1 v تجن تج v بل تل v تا ر ة ث مجت ا ا س رل س س رة تازت ة تا تج سيا ج w 1, w, u تاجهل نت w 1 إهل تاجهل ج م ب س إي تاا ث ن ث تام ا v u u v cos θ = u v ا ت cos θ = u v u v بلا بلان سلة تكا w 1 cos θ u v cos θ = w 1 u = u v w 1 u u v = v w 1 w = u v 1 v v رق ق ث ا ا س إ ل س w 1 هك تلا w 1 = w 1 v سجمه ته ن تاه إلة تامه ا ة سه تاهجت w تاه إلة تامه ا ة ا هجت u ا v w 1 = u v v, v = v v بلا س w 1 = w 1 v w = u v v 1 v v w = ( u v v ) v 1 أوجد مسقط, = u على -5 5, = v ثم اكتب u على صورة ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على. v الخطوة أوجد. w الخطوة 1 أوجد w 1 )مسقط u علىv.) بما أن u = w 1 + w فإن w = u - w 1 w = u - w 1 =, - = 5, 5 u = 1, - 1 w 1 1, , 5 = 1 w كما في الشكل 1.. = ( u v v ) v, 5, -5 = 5, -5 5, -5 = 5 5, = 1, - 1 1, - 1 أي أن مسقط u على v هو v على u اإيجاد م صقط ) أوجد مسقط 1, = u على 5 8, = v ثم اكتب u على صورة ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على v. w 1 w u =, v = 5, 5 ال صكل 1.. الدر س - 1 تا س تا ت 9

30 بالرغم من أن مسقط u على v هو متجه يوازي v فإنه ليس من الضروري أن يكون لهذا المتجه اتجاه v نفسه كما يوضح المثال اآلتي. أوجد مسقط -, = u على, = v ثم اكتب u على صورة ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على. v الحظ أن الزاوية بين المتجهين u, v منفرجة لذا فإن مسقط u على v يقع على متجه يعاكس اتجاه المتجه v كما في الشكل 1.. الخطوة أوجد. w الخطوة 1 أوجد مسقط u على. v بما أن u = w 1 + w فإن : w = u - w 1 =, , - = 9, - w 1 = ( u v v ) v, -, =,, = u = - 1, = 1 w ويكون -,, -, = - 1, - أي أن مسقط u على v هو )5 أوجد مسقط -, = u على 1, = v ثم اكتب u بوصفه ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على. v إذا مث ل المتجه u قوة فإن مسقط u على v يمث ل تأثير هذه القوة باتجاه. v فمثلا : إذا كنت تدفع صندوقا ا على أرض مائلة باتجاه v بقوة مقدارها u كما في الشكل 1..5 فإن مسقط u على v يمث ل القوة التي تدفع الصندوق باتجاه. v v w 1 0 F صيارات: تقف سيارة وزنها 1000 N على مرتفع يميل عن األفقي بزاوية 0 كما في الشكل المجاور. إذا أ هملت قوة االحتكاك فما القوة المطلوبة لتمنع السيارة من االنزالق لألسفل وزن السيارة هو قوة جذب األرض لها 1000-,0 = F. وإليجاد القوة اللزمة لمنع السيارة من الحركة لألسفل وهي - w 1 أوجد مسقط F على متجه وحدة v باتجاه المرتفع. الخطوة 1 أوجد متجه وحدة v باتجاه المرتفع. = θ v ب هاة v ة ا هجت تهكر تف تا س رة v = v (cos θ), v (sin θ) v = 1, θ = 0 = 1(cos 0 ), 1(sin 0 ) = Ç, 1 الخطوة أوجد w 1 وهي مسقط F على متجه الوحدة. v v ا F م سق w = ( F v 1 v ) v هجن v مجت ر ة ث ن = 1 v F = 0, -1000, v = م صقط متج باتجا يعاك س اتجا v ا صتعمال م صقط متج الإيجاد قوة Ç 1, تج ج تا س تا ت (F v)v = ( 0, = -500v Ç, 1 ) v 5 فتكون القوة المطلوبة هي (v - w 1 = 500-)- أو. 500 v وبما أن v متجه وحدة فإن مقدار القوة المطلوبة هو 500 N باتجاه المرتفع. ( تزحل : يجلس شخص على عربة مخصصة للتزحلق على منحدر يميل عن األفقي بزاوية 0. أوجد القوة اللزمة لمنع العربة من االنزالق لألسفل إذا كان وزن الشخص والعربة معا ا 80 N مع إهمال قوة االحتكاك. v =, w 1 u =, - w ال صكل 1.. v u ال صكل الف صل 1 تاهجتملا u v

31 من التطبيقات األخرى على مساقط المتجهات حساب الشغل الناتج عن قوة. فإذا كانت F قوة مؤثرة على جسم لتحريكه من النقطة A إلى B كما في الشكل أدناه. وكانت F موازيةا ل ÆÆÆ AB فإن الشغل W الناتج من F يساوي مقدار القوة F مضروبا ا في المسافة من A إلى B أو ÆÆÆ. W = F AB F F θ AB F w 1 A B A B ولحساب الشغل الناتج من قوة ثابتة F بأي اتجاه لتحريك جسم من النقطة A إلى B كما في الشكل المجاور يمكنك استعمال مسقط F على. AB ÆÆÆ تاتسغ م سق لا ة w 1 = F cos θ ا ت cos θ = w 1 F F AB ÆÆÆ cos θ = F ا ت AB ÆÆÆ cos θ = F AB ÆÆÆ F AB ÆÆÆ W = w 1 AB ÆÆÆ = F (cos θ) AB ÆÆÆ = F AB ÆÆÆ أي أنه يمكن حساب هذا الشغل بإيجاد الضرب الداخلي بين القوة الثابتة F والمسافة المتجهة. AB ÆÆÆ -5 5 F صيارة: يدفع شخص سيارة بقوة ثابتة مقدارها 10 N بزاوية 5 كما في الشكل المجاور. أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك السيارة 10 m (بإهمال قوة االحتكاك). استعمل قاعدة مسقط الشغل. AB F w 1 الطريقة 1 مقدار مسقط F على AB ÆÆÆ هو w 1 = F cos θ = 10 cos 5 ومقدار المسافة AB ÆÆÆ هو. 10 تاتسغ م سق لا ة W = w 1 AB ÆÆÆ 7 وحدات ال صغل ر ة ل س تاتسغ ث تان ل تهكنت ز تان ل ث ر تاهج ن ن مج تج ج ل ح صاب ال صغل )(10) (10 cos = بلاجم س استعمل قاعدة الضرب الداخلي للشغل. الصورة اإلحداثية للقوة المتجهة F بداللة مقدار القوة وزاوية االتجاه هي : 5 ) (- sin 10 cos (- 5 ), 10. الصورة اإلحداثية لمتجه المسافة هي 0 10,. الطريقة ا تسغ تا ت تا س لا ة بلاجم س تا س تا ت W = F AB ÆÆÆ = 10 cos (-5 ), 10 sin (-5 ) 10, 0 = [10 cos (-5 )[(10) N أي أن الشخص يبذل 88.5 J من الشغل لدفع السيارة. 7( تنظيف: يدفع إبراهيم مكنسة كهربائية بقوة مقدارها 5. N إذا كان قياس الزاوية بين ذراع المكنسة وسطح األرض 0 فأوجد الشغل بالجول الذي بذله إبراهيم عند تحريك المكنسة مسافة m الدر س - 1 تا س تا ت 1

32 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين v, u ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أو ال. )مثلل ) 1 فيزياء: يدفع طارق برميلا إلى أعلى سطح مائل مسافة 1.5 m بقوة مقدارها 5 N ليضعه في سيارة شحن. إذا كان السطح يميل عن األفقي بزاوية 5 فأوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق قر ب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. )مثلل ) 7 ) 1 u =, -5, v =, u = 9, -, v = 1, ) 1 ) u =, -, v = 7, 5 ) 5 N m u = 11i + 7j, v = -7i + 11j u = -,, v = -5, - ) ) 5 زي الزيتون: يمث ل المتجه 97,0 = u أعداد عبوتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر ويمث ل المتجه 15,7.5 = v سعر العبوة من كل النوعين على الترتيب )مثلل ) 1. u v أوجد )a b( فس ر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة. استعمل الضرب الداخلي إليجاد طول المتجه المعطى. )مثلل ) r = -9, - ) 8 m = -, 11 ) 7 t =, -1 ) 1 0 v = 1, -18 ) 9 أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي وقر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. )مثلل ) أوجد متجها ا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: -, -8, 5 7, - -1, عجلة دوارة: يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة. r v ) ) ) ) 5 ) u = 0, -5, v = 1, - ) ) 1 1 u = 7, 10, v =, - ) 1 u = -,, v =, -10 u = -i + j, v = -i - j ) 1 ) 1 مخيم ك صفي: غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه 5-, = u ي مث ل الطريق الذي سلكه يوسف والمتجه,7- = v ي مث ل الطريق الذي سلكه يحيى فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. )مثلل ) أوجد مسقط u على v ثم اكتب u على صورة مجموع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على. v )تاهثلهن ), 5 a( إذا كان طول نصف قطر العجلة 0 ft وسرعتها ثابتة ومقدارها. 0 ft/s فاكتب الزوج المرتب للمتجه r في الوضع القياسي إذا كان يصنع زاوية قياسها 5 مع األفقي ثم اكتب الزوج المرتب لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة قر ب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. b( ما الطريقة التي يمكن استعمالها إلثبات تعامد المتجه r ومتجه السرعة باستعمال الزوجين المرتبين الل ذين أوجدتهما في الفرع a وأثبت أن المتجهين متعامدان. u = i + j, v = -5i + j ) 1 5 ) 1 u = 5, 7, v = -, ) 1 7 u = i + j, v = -i + 9j.u =,, v = -, 8 عربة اأطفال: يدفع محمد عربه أخته الصغيرة على سطح يميل عن األفقي بزاوية 15. إذا كان وزن الطفلة والعربة معا ا 0 N فأوجد القوة اللزمة لمنع العربة من االنزالق لألسفل مع إهمال قوة االحتكاك مقر بة إلى أقرب جزء من عشرة. )مثلل ) إذا علمت كال من v, u v فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: v =, -, u v = ) 7 v =,, u v = 8 ) 8 ) 1 8 ) 1 9 ) 0 الف صل 1 تاهجتملا

33 مدر صة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100. N إذا بذل الطالب شغلا مقداره 177 J لسحب حقيبته مسافة 1 m فما قياس الزاوية بين قوة السحب واألفقي )بإهمال قوة االحتكاك( اختبر كل زوج من المتجهات في كل مما يأتي من حيث كونها متعامدة أو متوازية أو ليس كليهما. u = -,, v = 9, 8 u = -1, -, v =, أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب ع شر. u = i + 5j, v = -i + j u = i + j, v = -5i - j صغل: حمل سلطان ابن أخيه الذي كتلته 1 kg رأسي ا مسافة مقدارها. 0.9 m إذا علمت أنه يمكن إيجاد قوة الوزن بالنيوتن باستعمال الصيغة F = mg حيث m الكتلة بالكيلو جرام g تساوي 9.8 m/s فكم من الشغل يبذل سلطان لحمل ابن أخيه قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. ت مث ل النقاط (1,8),(7,),(,) رؤوس مثلث أوجد قياسات زواياه باستعمال المتجهات. إذا علمت كال من v,u والزاوية θ بين المتجهين,u v فأوجد قيمة ممكنة للمتجه v قر ب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. u =, -, v = 10, θ = 5 u =,, v = Ç 9, θ = 11 صيارات: تقف سيارة في حالة سكون على سطح يميل بمقدار 9 عن األفقي. على فرض أن القوى المؤث رة على السيارة هي الجاذبية األرضية و 75 N ناتجة عن قوة الفرامل فكم تزن السيارة تقريبا ا اكت صف الخطاأ: يدرس كل من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات عملية تجميعية ألنها إبدالية أي أن: w).(u v) w = u (v ولكن فيصل عارضه. أيهما كان على صواب وض ح إجابتك. تحد : إذا كان v, u متجهين متعامدين فما مسقط u على v اكتب: وض ح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين. برهان: إذا كان u = u 1, u, v = v 1, v, w = w 1, w فأثبت خصائص الضرب الداخلي اآلتية: u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = ku v = u k v برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي 90 فأثبت أن = 0 v u باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين. = c a = 10, 1, b = -5,.8, فأوجد إذا علمت أن 9-, كال مما يأتي: )تا ر س - 1( b - a + c c - a + b a - b + c أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور : )تا ر س - )1 -i - j -9, 5-7, 7 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 5 0 ) 5 1 ) N θ N ) 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 ما قياس الزاوية بين المتجهين -1-1,, 0-9, 90 C 0 A ) D 5 B إذا كان -, = t s =, -, فأي مما يأتي يمث ل r حيث r = t - s -1, 8 C 1, 8 A -1, -8 D 1, B ) 5 تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة اآلتية: إذا كانت f, d, e ت مث ل ثلثية فيثاغورس وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادتين فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فس ر تبريرك. ) 9 الدر س - 1 تا س تا ت

34 اختبار منت صف الف صل الدرو س من -1 1 اإلى - 1 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع قر ب المحصلة إلى أقرب سنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. )تا ر س 1-1 ) أوجد الصورة اإلحداثية وطول المتجه الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. )تا ر س - 1 ) Q(1, -5),R(-7, 8) ) 1 A(-, ),B(,) ) 1 1 أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين,u v وقر ب الناتج إلى أقرب درجة: )تا ر س - 1 ) a b ) f ) 1 g u= 9,-, v= -1, - u= 8,, v= -, u=, -, v=, 8 ) 1 ) 1 ) 1 5 التزلج: يسحب شخص مزلجة على الجليد بقوة مقدارها 50 N بزاوية 5 مع األفقي. أوجد مقدار كل من المركبة األفقية والعمودية للقوة قر ب إلى أقرب جزء من مئة. )تا ر س 1-1 ) ) اختيار من متعدد: إذا كان : -5, 8 = w u =,, v = - 1,, فما ناتج ) v ( u v ) + ( w )تا ر س - 1 ) 15 C - A 8 D -18 B 1. )تا ر س -1 )1 ارسم شكلا ي مث ل المتجه c - d c اكتب BC ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي بداللة متجهي الوحدة. i, j )تا ر س - 1 ) B(10,-), C(-8,) B(, -10 ), C ( 1, 10) d ) B(,-1), C(,-7) ) 5 ) 8 B(1,1), C(-,-9) ) 7 اختيار من متعدد: أي مما يأتي ي مث ل الصورة اإلحداثية ÆÆÆ لAB حيث ) (- 5, A نقطة بدايته و 1) -, B( نقطة نهايته )تا ر س - 1 ) -, 7 C, -1 A -, D 7, - B كرة صلة: ركض راشد باتجاه السلة في أثناء مباراة بسرعة.5 m/s ومن منتصف الملعب صو ب كرة بسرعة 8 m/s بزاوية قياسها مع األفقي. )تا ر س - 1 ) 8 m/s.5 m/s a( اكتب الصورة اإلحداثية للمتجهين الل ذين ي مث لن سرعة راشد ومسار الكرة قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. b( ما السرعة المحصلة واتجاه حركة الكرة قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة وقياس الزاوية إلى أقرب درجة. أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي ثم تحق ق مما إذا كانا متعامدين أو ال: )تا ر س - 1 ), - 7, ) 1 8, -5, ) 1 7, - 10, 5 ) 0 1, - 5, 8 ) 1 9 عربة: يسحب أحمد عربة بقوة مقدارها 5 N وبزاوية 0 مع األفقي كما في الشكل أدناه. )تا ر س - 1 ) 5 N 150 m ما مقدار الشغل الذي يبذله أحمد عندما يسحب العربة a( قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. b( إذا كانت الزاوية بين ذراع العربة واألفقي 0 وسحب أحمد العربة المسافة نفسها وبالقوة نفسها فهل يبذل شغلا أكبر أو أقل فس ر إجابتك. 0 ) 1 ) 1 أوجد مسقط u على v ثم اكتب u على صورة ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على. v )تا ر س - 1 ) u=,, v= 1, ) u = 7, -, v=, 5 ) u= - 1,,v = -, 1 ) 5 u =,8, v= - 9, ) ) ) 9 ) 1 0 الف صل 1 تاهجتملا

35 في الف صاء الثالثي االأبعاد المتجهات Vectors in Three-Dimensional Space يتحد د اتجاه الصاروخ بعد إطلقه بداللة اتجاه في المستوى اإلحداثي وزاوية في الفضاء ت حد د بالنسبة إلى األفقي. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى فل بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلثي األبعاد. االإحداثيات في الف صاء الثالثي االأبعاد المستوى اإلحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي األبعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين هما المحور والمحور اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة األصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى. وتحتاج إلى نظام إحداثي مكو ن من ثالثة أبعاد لتعيين نقطة في الفضاء فنبدأ بالمستوى ونضعه بصورة ت ظهر عمقا ا للشكل كما في الشكل ثم نضيف محورا ا ثالثا ا ي سم ى المحور z يمر بنقطة األصل ويعامد كل من المحورين كما في الشكل 1... ويقسم المحور اإلضافي الفضاء إلى 8 مناطق ي سم ى ك ل منها الث من حيث يمث ل سطح األرض المستوى ويمث ل الجداران المستويين z z كما في الشكل 1... z z z ال صكل z + ال صكل ال صكل 1..1 ت مث ل النقطة في الفضاء بثالثيات مرتبة من األعداد الحقيقية (z,)., ولتعيين مثل هذه النقطة عي ن أوالا النقطة. z حسب المسافة المتجهة التي ي مث لها z ثم تحرك لألعلى أو األسفل موازيا ا للمحور في المستوى,) ( عي ن كال من النقطتين اآلتيتين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (,, ) )a عي ن ( ), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطة على ب عد وحدتين لألعلى من اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. (-,, -5) )b z عي ن ( -), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطة على ب عد 5 وحدات لألسفل من اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. z 1 ار ست تاهجتملا ث تان ل تاثنل تهجبملا ن س ل جل ل تجا ن نقل ل مجتملا ث تان ل تهكر تف تاثيف تهجبملا تجال ان تاهجتملا جل ل تج ج تامه لا ا مل ث تاا سلض تاثيف تهجبملا ن ل تهكر تف لا تاثيف تهجبملا three - dimensional coordinate sstem تاه ر z z-ais تاث هن octant تاثيف تاه تعي ين نقطة في الف صاء ordered triple - (,, ) (-,, -5) عي ن كال من النقاط اآلتية في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (5, -, -1) )1C (,, -) )1B (-, -, ) )1A الدر س - 1 تاهجتملا ث تاا سلض تاثيف تهجبملا 5

36 تشبه عملية إيجاد المسافة بين نقطتين وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء عملية إيجاد المسافة ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى اإلحداثي. z M A( 1, 1, z 1 ) A( 1, 1, z 1 ), B(,, z ) ب ن تانقاج ن تاه سلثة ما بلاقلن ن AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) بلاقلن ن AB ا M تاهنج س نقاة ما قانونا الم صافة ونقطة المنت صف في الف صاء B(,, z ) M ( 1 +, 1 +, z 1 + z ) رحلة: تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين المنصتان بالمرور فوق مناظر طبيعية خالبة. إذا م ثلت بالنقطتين 50) (10, 1,, 0) (70, 9, وكانت اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب عما يأتي: a( أوجد طول السلسلة الالزمة للربط بين المنصتين إلى أقرب قدم. استعمل قانون المسافة بين نقطتين. س ف ل ن لن ن تاه سلثة ث تا س تل 5 الم صافة بين نقطتين ونقطة منت صف قطعة م صتقيمة في الف صاء 0 70 ft 10 ft لن ن تاه سلثة (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) بلاجل س AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (70-10) + (9-1) + (0-50) تاتسل قة تالنل لا س لن سجهج ل ث تهجملإن تاه امة س س بهتسل ة تج زتض من تاه نة إلات س ر تكاخ تا ت تاه ر ر إة أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 10 ft تقريبا ا للربط بين المنصتين. b( أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين. تاهنج س لن ن (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) استعمل قانون نقطة المنتصف في الفضاء. = ( 1 +, 1 +, z 1 + z M ) = (, 1 + 9, ) = (0, 5, 0) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (0,0),5 ( طائرات: تفرض أنظمة السلمة أال تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها. إذا علمت أن طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق وفي لحظة معينة كانت إحداثيات موقعي الطائرتين (8000,50-,50), (0000,00),150 مع العلم أن اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب. A( هل تخالف الطائرتان أنظمة السلمة B( إذا أطلقت ألعا ب نارية وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين فما إحداثيات نقطة االنفجار الف صل 1 تاهجتملا

37 المتجهات في الف صاء إذا كان v متجها ا في الفضاء في وضع قياسي وكانت ) ( v 1, v, v نقطة نهايته فإننا نعب ر عنه بالثلثي المرتب v 1, v, v.كما ي عب ر عن المتجه الصفري بالثلثي 0 0, 0, = 0 وعن متجهات الوحدة القياسية بالثلثيات 1 0, 0, = k i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, كما في الشكل. 1.. ويمكن التعبير عن الصورة اإلحداثية للمتجه v بداللة متجهات الوحدة i, j, k بالصورة v 1, v, v = v 1 i + v j + v k. v z (v 1, v, v ) (0, 0, 1) v k v i j (1, 0, 0) (0, 1, 0) z تعيين متج في الف صاء عي ن موقع كل من المتجهين اآلتيين في الفضاء ومث لهما بياني ا: v =,, - )a عي ن النقطة (-,,) ثم مث ل المتجه v بياني ا بحيث تكون النقطة (-,,) نقطة نهايته. v 1 ال صكل 1.. v (,, - ) z p = i + j + k )b عي ن النقطة (1,), ثم مث ل المتجه p بياني ا بحيث تكون النقطة (1,), نقطة نهايته. p (,, 1 ) عي ن موقع كل من المتجهين اآلتيين في الفضاء ومث لهما بياني ا: u = -,, - )A w = -i - j + k )B z A( 1, 1, z 1 ) B(,, z ) و كما في المتجهات ذات الب عدين نجد الصورة اإلحداثية لقطعة مستقيمة متجهة من ) 1 A( 1, 1, z إلى ) B(,, z وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ وعندها يكون ) 1 ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ + a + a a 1 وهذا يعني أنه إذا كان AB ÆÆÆ = a 1, a, a فإن: ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB ÆÆÆ هو u = AB ÆÆÆ AB ÆÆÆ الدر س - 1 تاهجتملا ث تاا سلض تاثيف تهجبملا 7

38 أوجد الصورة اإلحداثية ÆÆÆ وطول AB الذي نقطة بدايته ) 1 -,, - A ( ونقطة نهايته ) -, B (, ثم أوجد متجه الوحدة ÆÆÆ باتجاه AB. تا س رة تهكر تف ة اهجت ( 1, 1, z 1 ) = (-, -, 1), (,, z ) = (,, -) AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 = -(-), -(-), --1 = 7, 8, -7 وباستعمال الصورة اإلحداثية فإن طول AB ÆÆÆ هو : ÆÆÆ AB = 7, 8, -7 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇ ( -7) = 9 Ç ويستعمل هذا الطول والصورة اإلحداثية إليجاد متجه وحدة u باتجاه AB ÆÆÆ كما يأتي: مجت ر ة بل تلAB ÆÆÆ ÆÆÆ AB = 7, 8, -7, AB = ÆÆÆ 9 Ç u = AB ÆÆÆ AB ÆÆÆ = 7, 8, -7 = 9 Ç 7 Ç 18, Ç 9, -7 Ç 18 التعبير عن المتجهات في الف صاء جبري ا أوجد الصورة اإلحداثية ÆÆÆ وطول AB الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته ثم أوجد متجه الوحدة ÆÆÆ باتجاه AB في كل مما يأتي: A (-1,, ), B (,, 8 ) )B A (-, -5, -5 ), B( -1,, - ) )A إذا ك تبت المتجهات في الفضاء على الصورة اإلحداثية أو بداللة متجهات الوحدة فإنه يمكن أن ت جرى عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي كما هو الحال في المتجهات في المستوى اإلحداثي. العمليات على المتجهات في الف صاء تكذت إلن b = b 1, b, b a = a 1, a, a مجتم ن ث تاا سلض إلن k ا ا ت رق ق ل ثلكن a + b = a 1 + b 1, a + b, a + b جمع متجهين a - b = a + (-b) = a 1 - b 1, a - b, a - b طرح متجهين k a = k a 1, k a, k a عدد حقيقي في متج صرب أوجد كال مما يأتي للمتجهات 5 -, 0, = z : =, -,, w = -1,, -, + z )a 5 -, 0, + -,, = z + بلاجم س س مجت ث ا ا رق ق جه مجتم ن = 1, -, 8 + -, 0, 10 = 8, -, 18 w - z + )b -,, + 5 -, 0, - -, -1, = w - z + بلاجم س س مجت ث ا ا رق ق = -, 8, -8 +, 0, , -18, بته تاهجتملا = 9, -10, -7 5 العمليات على المتجهات في الف صاء أوجد كال مما يأتي للمتجهات 5 -, 0, = z : =, -,, w = -1,, -, + z - w )5B w - 8 z )5A العمليات على المتجهات ا لا تامه سل س تاهجتملا ث تاا سلض تاخ سل س نا سمل ث تاه سج تهكر تف 8 الف صل 1 تاهجتملا

39 عي ن كل نقطة مما يأتي في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: )مثلل ) 1 أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه AB. ÆÆÆ )مثلل ) A(-5, -5, -9), B(11, -, -1) ) 0 A(-, 0, -), B(-, -8, 9) ) 1 A(, 5, 1), B(0, 0, -9) ) (1, -, -) ) 1 (,, 1) ) (-5, -, -) ) (-, -5, ) ) A(-, -7, -1), B(-7, 1, 8) ) (, -, ) ) 5 A(, -5, ), B(1,, -) ) (-1, 1, -1) ) A(8, 1, 7), B(, -, 11) A(, 1, -5), B(7, -1, 0) A(1, -18, -1), B(1, 1, 9) ) 5 ) ) 7 أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا نهايتها وبدايتها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها في كل مما يأتي: )مثلل ) (-, 10, ), (1, 0, 9) ) 7 أوجد كال مما يأتي للمتجهات :. a = -5, -,, b =, -, -7, c = -,, )مثلل ) 5 a - 7b + 8c ) 8 (-,, ), (-9, -, -) (8,, ), (-, -7, 5) (-7,, -5), (-, -5, -8) ) 8 ) 9 ) 1 0 7a - 5b a + 5b - 9c b + c - a 8a - 5b - c -a + b + 7c أوجد كال مما يأتي للمتجهات :. = -9i + j + k, = i - j - 7k, z = -i + j + k z + + z z - - 9z )مثلل ) 5 طيارون: في لحظة ما أثناء تدريب عسكري كانت إحداثيات موقع طائرة (1900,11-,75) وإحداثيات موقع طائرة أخرى (1100,89-),715 علما ا بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام. )مثلل ) a( أوجد المسافة بين الطائرتين مقر بة إلى أقرب قدم. b( عي ن إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين الطائرتين في تلك اللحظة. عي ن موقع كل من المتجهات اآلتية في الفضاء ثم مث له بياني ا: )مثلل ) z ) 9 إذا كانت N منتصف MP فأوجد إحداثيات النقطة P في كل مما يأتي: M(,, 5), N ( 7, 1, ) ) 0 M(-1, -, -9), N(-, 1, -5) ) 1 M(7, 1, 5), N (5, - 1, ) ) ) ) M (, -5, 9 ), N (-, - 1, 11 ) 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 a = 0, -, b = -, -, - c = -1,, - d =, -, - v = i + 8j -k w = -10i + 5k m = 7i -j + k n = i -j -8k ) 1 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 5 ) 1 ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 الدر س - 1 تاهجتملا ث تاا سلض تاثيف تهجبملا 9

40 تطو : ت ط و ع هاشم لحمل بالون كدليل في استعراض رياضي. إذا كان البالون يرتفع 5 ft عن سطح األرض ويمسك هاشم بالحبل الذي ثبت به البالون على ارتفاع ft عن سطح األرض كما في الشكل أدناه فأوجد طول الحبل إلى أقرب قدم. 5 ft 10 ft z ft ft تحق ق مما إذا كانت النقاط الثالث في كل مما يأتي رؤوسا ا لمثلث قائم الزاوية أو متطابق الضلعين أو مختلف األضالع: أوجد مسقط u على v في كل مما يأتي ثم اكتب u على صورة جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على : v )تا ر س - 1 ) u =, 8, v =, -1 u = -1,, v = 5, 1 u = 5,, v =, - أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: )تا ر س - 1 ) A(, -), B(-7, -7) A(-, -8), B(1, ) ) 5 ) 5 7 ) 5 8 ) 5 9 ) 0 A(, 1, ), B(5, -1, 1), C(1,, 1) ) ) 5 A(-5, -1), B(1, ) ) 1 A(,, ), B(,, ), C(,, ) ) A(-1,, ), B(, 5, 1), C(0, -, ) كرات: استعمل قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء لكتابة صيغة عامة لمعادلة كرة مركزها (l,h),k وطول نصف قطرها. r استعمل الصيغة العامة لمعادلة الكرة التي وجدتها في السؤال 8 إليجاد معادلة الكرة المعطى مركزها وطول نصف قطرها في كل مما يأتي: مركزها -1) 7, (0, طول نصف قطرها 1 تبرير: أثبت صحة قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء. )إرشاد: استعمل نظرية فيثاغورس مرتين( تحد : إذا كانت M هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين -1) 8, (, M 1 ( -1,, -5), M فأوجد إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة. M 1 M اكتب: اشرح موقفا ا يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثنائي األبعاد أكثر معقولية وآخر يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثلثي األبعاد أكثر معقولية. اكتب DE ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته بداللة متجهي الوحدة i, j في كل مما يأتي: )تا ر س - 1 ) D (-5,, E ) (- 5, 0 ) D (- 1,, E 7) (-, 5 7) D(9.7, -.), E(-.1, -8.5) ما نوع المثلث الذي رؤوسه النقاط 5.) C(., 1., A(-.,., 5.), B(0.7, 9., 15.), A قائم الزاوية B متطابق الضلعين C متطابق األضلع D مختلف األضلع تطير طائرة بسرعة 100 m/s باتجاه الغرب. إذا علمت أن الرياح تهب من الجنوب بسرعة 0 m/s فما القيمة التقريبية لمقدار محص لة سرعة الطائرة m/s A 95. m/s B 10. m/s C ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 مركزها ) -, (-, طول نصف قطرها ) 9 مركزها -1) 0, (, طول نصف قطرها 1 ) 5 0 مركزها ) -, (5, طول نصف قطرها Ç ) 5 1 ) 5 ) 5 ) 5 ) m/s D 0 الف صل 1 تاهجتملا

41 الداخلي وال صرب االتجاهي للمتجهات في الف صاء ال صرب Dot and Cross Products of Vectors in Space يستعمل طارق المتجهات ليتحقق مما إذا كان خطا سير طائرتين متوازيين أم ال وذلك بمعرفة إحداثيات نقطتي اإلقلع ونقطتين تصلن إليهما بعد فترة زمنية معينة. ال صرب الداخلي في الف صاء يشبه إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء إيجاده لمتجهين في المستوى وكما هو الحال مع المتجهات في المستوى يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرا ا. ث تاا سلض إله a = a 1, a, a, b = b 1, b, b ن ا هجتم تا ت تا س م ف ن a b = a 1 b 1 + a b + a b تاهجتملن تا سا ن a, b مجملم ن تكذت ثق تكذت إلن a b = 0 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين: u =, -,, v =, 7, )b u v = () + (-)(7) + () = 1 + (-1) + 9 = 0 وبما أن = 0 v u فإن u, v متعامدان. u = -7,, -, v = 5, 17, 5 )a u v = -7(5) + (17) + (-)(5) (-15) = 1 وبما أن 0 v u فإن u, v غير متعامدين. ار ست تا س تا ت اهجتم ن ث تاه سج تج تا س تا ت اهجتم ن تازت ة ب نمهل ث تاا سلض تج تا س ته تل ا هجتملا تج سجمه ث تك تلا تاه سلرلا تا ت تا س ته تل أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: cross product مج تز تا سا parallelepiped تا س تاق ل س تاثيف ال صرب الداخلي والمتجهات المتعامدة في الف صاء اإيجاد ال صرب الداخلي لتحديد المتجهات المتعامدة 1 triple scalar product u =, -, -, v = 1,, - )1B u =, -5,, v = 5, 7, 5 )1A وكما هو في المتجهات في المستوى إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b فإن. cos θ = a b a b أوجد قياس الزاوية θ بين u, v إذا كان -, -, = v u =,, -1, إلى أقرب منزلة عشرية. z u v تازت ة ب ن مجتم ن u =,, -1, v = -,, - بلك تلا تا س تا ت ل إ من تاهجتم ن بلاجل س تا بلان سلة تكا θ الدر س تا س تا ت تا س ته تل ا هجتملا ث تاا سلض 1 cos θ = u v u v,, -1 -,, - cos θ =,, -1 -,, - - cos θ = 1 Ç Ç 9 θ = cos -1 - ÇÇ أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقريبا ا. الزاوية بين متجهين في الف صاء ) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين u = -i + j + k, v = i + k إلى أقرب منزلة عشرية.

42 a a b b ال صرب االتجاهي هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء. وبخلف الضرب الداخلي فإن الضرب االتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عددا ا وي رمز له بالرمز a b وي قرأ. a cross b ويكون المتجه a b عمودي ا على المستوى الذي يحوي المتجهين. a, b تكذت إلن a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k ثلكن تا س ته تل ا هجتم ن a, b تاهجت a b = ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 )j + ( a 1 b - a b 1 )k إذا طب قنا قاعدة حساب قيمة محد دة مصفوفة من الرتبة على المحد دة أدناه التي تتضمن متجهات الوحدة,i,j k وإحداثيات كل من a, b نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه. a b a b i = a 1 b 1 j a b k a b ب س مجتملا تا ر ة i, j, k ث تا س 1 ب س تكر تف لا a ث تا س ب س تكر تف لا b ث تا س ال صرب االتجاهي للمتجهات في الف صاء لا ة تهج الر i a 1 b 1 j a b k a b i a 1 b 1 j a b i a 1 b 1 j a b k a b i a 1 b 1 j a b a b = ( a b - a b ) i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين 1 -,, = v u =, -, 1, ثم بي ن أن u v يعامد كال من.u, v u = i - j + k, v = -i + j + k بجال لا ة تك تلا هة م اة م سا ثة من تا لة u v u بلك تلا هة م اة إ م سا ثة من تا لة z v بلاجل س تا س رة تهكر تف ة u v = i - = - j - k i j k = (- - )i - [ - (-)[j + (9 - )k = -5i - j + k = -5, -, نلحظ من التمثيل البياني المجاور أن u v يعامد كل من. u, v وإلثبات أن u v يعامد كل من u, v جبري ا أوجد الضرب الداخلي ل u v مع كل من. u, v (u v) v (u v) u = -5, -, -,, 1 = -5, -,, -, 1 = -5(-) + (-)() + (1) = -5() + (-)(-) + (1) = 15 + (-18) + = 0 = = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرا ا فإن u v عمودي على كل من. v, u اإيجاد ال صرب االتجاهي لمتجهين أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل ممايأتي ثم بي ن أن u v يعامد كال من : u, v ال صرب االتجاهي ا ته تل س تا ال تاهجتملا ث ن ل تهكر تف لا فيف تهجبملا ثق ه ال ا تاهجتملا ث تاه سج فنل تهجبملا u = -, -1, -, v = 5, 1, )B u =,, -1, v = 5, 1, )A الف صل 1 تاهجتملا

43 للضرب االتجاهي تطبيقات هندسية عديدة فمثلا ي عب ر مقدار المتجه v u عن مساحة سطح متوازي األضلع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران كما في الشكل أوجد مساحة سطح متوازي األضالع الذي فيه u = i + j - k, v = i - 5j + k ضلعان متجاوران. الخطوة 1 أوجد u v i j k u = i + j - k, v = i - 5j + k u v = = - بلك تلا هة م اة تاه سا ثة من تا لة -5-5 k بلك تلا هة م اة إ م سا ثة من تا لة ل مجت ث تاا سلض بلاجل س i - 1 = -i - 9j - 1k - j + 1 الخطوة أوجد طول u v u v = ( ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ -) + ( -9) + ( -1) = ÇÇ أي أن مساحة سطح متوازي األضلع في الشكل تساوي 1.91 وحدة مربعة تقريبا ا. م صاحة صطح متوازي اأ صال في الف صاء ) أوجد مساحة سطح متوازي األضلع الذي فيه u = -i -j + k, v = i +j + k ضلعان متجاوران. إذا التقت ثلثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية فإنها تكو ن أحرفا ا متجاورة ل متوازي سطوح وهو عبارة عن مجسم له ستة أوجه كل وجه منها على شكل متوازي أضلع كما في الشكل 1.5. أدناه. إن القيمة المطلقة للضرب القياسي الثالثي لهذه المتجهات ي مث ل حجم متوازي السطوح. ال صرب القيا صي الثالثي تكذت إلن t = t 1 i + t j + t k, u = u 1 i + u j + u k, v = v 1 i + v j + v k z v u ال صكل t (u v) = t 1 u 1 v 1 t u v t u v ثلكن تا س تاق ل س تاثيف م ف إله 5 حجم متوازي ال صطوح أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t = i - j - k, u = i + j - k, v = i - 5j + k أحرف متجاورة. t = i - j - k - - u = i + j - k t (u v) = - v = i - 5j + k 1-5 = - -5 () ( -) + بلك تلا هة م اة تاه سا ثة من تا لة 1-5 ( -) بلاجل س = = أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 1.5. هو (v t u) ويساوي وحدة مكعبة. v t z u )5 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t = j - 5k, u = -i - j + k, v = i + j + k أحرف متجاورة. ال صكل 1.5. الدر س تا س تا ت تا س ته تل ا هجتملا ث تاا سلض

44 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أو ال: )مثلل ) 1 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كل مما يأتي: )مثلل ) 5 t = -1, -9,, u =, -7, -5, v =, -, t =, -, -1, u =, -,, v = -9, 5, - t = i + j - k, u = -i + j + 7k, v = i - j + 8k t = 5i - j + k, u = i - 5j + 7k, v = 8i - j + k ) 0 ) 1 ) ) u =, -9,, v = -8,, 7 u = 5, 0, -, v =, -1, u = -7, -, 1, v = -, 5, -1 u = 11,, -, v = -1,, 8 u = i - j - 5k, v = i - j + k ) 1 ) ) ) ) 5 أوجد متجه ا يعامد المتجه الم عطى في كل مما يأتي: u = 9i - 9j + k, v = i + j - k ), -8, -1, -, 5, - 1, - 7, 0, 8 كيمياء: تقع إحدى ذرتي الهيدروجين في جزيء الماء عند , 55.5, واألخرى عند , -55.5, وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة األكسجين في نقطة األصل. أوجد الزاوية بين المتجهين الل ذين يكو نان رابطة األكسجين الهيدروجين مقر بة إلى أقرب جزء من عشرة. )مثلل ) أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة: )مثلل ) u =, -5, 1, v = -8, -9, 5 u = -8, 1, 1, v = -,, u = 10, 0, -8, v =, -1, -1 u = -i + j + 9k, v = i + j - 10k أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم بي ن أن u v عمودي على كل من : u, v )مثلل ) u = -1,, 5, v =, -, - u =, 7, -, v = -5, 9, 1 u =, -,, v = 1, 5, -8 u = -i - j + 5k, v = 7i + j - k أوجد مساحة سطح متوازي األضالع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: )مثلل ) إذا ع لم كل من v, u v فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: v =, -, -, u v = - v = 1, 0,, u v = 1 v = -, -, -5, u v = 5 تحق ق مما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة: (-1, 7, 7), (-, 9, 11), (-5, 11, 1) (11, 8, -1), (17, 5, -7), (8, 11, 5) حد د ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أو ال: m =, -10,, n =, -15, 9 a =,, -7, b = -, -, اكتب الصورة اإلحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى z وطوله 8 ويصنع زاوية قياسها 0 فوق االتجاه الموجب للمحور. تحق ق مما إذا كان الشكل الرباعي ABCD الم عطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضالع وإذا كان كذلك فأوجد مساحة سطحه وحد د ما إذا كان مستطيالا أو ال: A(, 0, -), B(0,, -1), C(0,, 5), D(,, ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) A(7, 5, 5), B(,, ), C(,, ), D(7, 7, ) ) 7 u = -9, 1,, v =, -5, u =,, -1, v = 7,, - u = i - j + 5k, v = 5i - j - 8k u = i + j - 8k, v = -i + j - 7k ) 7 ) 8 ) 9 ) 1 0 ) 1 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 5 ) 1 ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 الف صل 1 تاهجتملا

45 عر س جوي: أقلعت طائرتان معا ا في عرض جوي أقلعت األولى من موقع إحداثياته (0,-,0) وبعد ثوان وصلت موقعا ا إحداثياته (15,10-,). في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته 0) (0,, وبعد ثوان وصلت موقعا ا إحداثياته 15).(, 10, هل يتوازى خطا سير الطائرتين وض ح إجابتك. أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي والمعطاة نقطتا طرفيها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )تا ر س - 1 ) (1, 10, 1), (-,, -) ) ) 8 (1, -1, -1), (1, 19, -) إذا كان 5 -,, = v u =,, -, فأوجد كال مما يأتي إن أمكن: ) 7 (-,, -9), (10, 10, ) ) 8 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أو ال: )تا ر س - 1 ) u (u v) v (u v) ) 9 ) 0-8, -7 1, -, - 7, 5, - -, 5 ) 1 إذا كانت,v,w u ت مث ل ثالثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور وكان حجمه 7 وحدات مكعبة فما قيمة c أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع ثم حدد إتجاهها بالنسبة لألفقي. )تا ر س 1-1 ) a b ) 9 ) 5 0 ) 5 1 ) 5 z v -, -1, u c, -, 1 w 1, 0, - d ) 5 c تبرير: تحقق مما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك.»ألي متجهين غير صفريين وغير متوازيين يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين«. تحد : إذا كان 5 -, -, = v u =,, c, فأوجد قيمة c التي تجعل. u v = i - j + 10k تبرير: فس ر لماذا ال يمكن تعريف الضرب االتجاهي في المستوى. أي مما يأتي متجهان متعامدان 1, 0, 0, 1,, A 1, -,,, -, B,,,,, C, -5,,,, - D ما حاصل الضرب االتجاهي للمتجهين -,, = v u =, 8, 0, ) 5 ) 5 5 ) ) ) 8i - 18j + 8k A 8i - j + 8k B i - j + 8k C i - 18j + 8k D ) 5 اكتب: بي ن طرق الكشف عن توازي متجهين أو تعامدهما. الدر س تا س تا ت تا س ته تل ا هجتملا ث تاا سلض 5

46 دليل الدرا صة والمراجعة مفاهيم اأ صا صية مقدمة في المتجهات الدر س 1-1( مل ان ت تل تاهجت بلازت ة ب ن تاهجت تهجثق مق تر تاهجت ا نل جه مجتم ن مجت سه تاه س ة ه ن تك تلا بل سجمهلل لا ة تاهث تج لا ة مج تز تهج سي المفردات تاهجت س 10 نقاة تال ت ة س 10 نقاة تانمل ة س 10 تا س تاق ل س س 10 ته تل س 10 تاا ل س 10 ته تل تا بم س 11 ته تل تا ق ق س 11 تاهجتملا تاهج تز ة س 11 تاهجتملا تاهج لث ة س 11 تاهجتملن تاهجملإ سلن س 11 تاه س ة س 1 لا ة تاهث س 1 لا ة مج تز ت جه سي س 1 تاهجت تا سا س 1 تاه إللا س 15 تاه إللا تاهجملم ة س 15 اختبر مفردات تا س رة تهكر تف ة س 19 مجت تا ر ة س 1 تث ا س تا س تا ت س تاهجتملن تاهجملم تن س م سق تاهجت س 9 تاتسغ س 1 ن ل تهكر تف لا تاثيف تهجبملا س 5 تاه ر س z 5 تاث هن س 5 تاثيف تاه س 5 تا س ته تل س مج تز تا سا س تا س تاق ل س تاثيف س حد د ما إذا كانت العبارات اآلتية صحيحة أو خاطئة. وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: ) 1 نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه. ) إذا كان, = b a = -, 1, فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو () + -(1). ) نقطة منتصف AB عندما تكون ) A( 1, 1, z 1 ), B(,, z. ( 1 +, 1 +, z 1 + z هي ) ) طول المتجه r الذي نقطة بدايته ) A(-1, ونقطة نهايته -) B(, هو -,. ) 5 يتكافأ متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه واالتجاه نفسه. ) إذا تعامد متجهان غير صفريين فإن قياس الزاوية بينهما 180. ) 7 لتجد على األقل متجها ا يعامد أي متجهين في الفضاء أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين األصليين. ) 8 طرح متجه يكافي إضافة معكوس المتجه.. v = u u ) 9 إذا كان v متجه وحدة باتجاه u فإن a b a + b a a + b b المتجهات في الم صتوى االإحداثي الدر س - 1( تا س رة تهكر تف ة ا هجت ث تا س تاق ل س, تا س رة تهكر تف ة ا هجت ث تا س تاق ل س تا نقاة ب ت ج نقاة A( 1, 1 ) نمل ج B(, ) - 1, - 1 ما ل تاهجت v = v 1, v بلا س غة v = ÇÇÇÇÇÇ ( v 1 ) + ( v ) تكذت إلن a = a 1, a, b = b 1, b مجتم ن إلن k ا ا ت رق ق ل ثلكن a + b = a 1 + b 1, a + b a - b = a 1 - b 1, a - b k a = k a 1, k a ان تاهجت ا جمل j i مجتم تا ر ة ت سجمهلل ه ن ai + bj تا س رة ا v = a, b ال صرب الداخلي الدر س - 1 ) a = a 1, a ن ا هجتم تا ت تا س م ف a b = a 1 b 1 + a غة b بلا س b = b 1, b تكذت إلنت θ زت ة ب ن مجتم ن سا ن a, b ثلكن cos θ = a b a b المتجهات في الف صاء الثالثي االأبعاد الدر س - 1 ) A( 1, 1, z 1 ) ب ن تانقاج ن تاه سلثة ما بلاقلن ن B (,, z ) AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z 1 ) بلاقلن ن منج سAB نقاة ما M ( 1 +, 1 +, z 1 + z ) ال صرب الداخلي وال صرب االتجاهي لمتجهين في الف صاء الدر س ) a = a 1, a, a ن ا هجتم تا ت تا س م ف a b = a 1 b 1 + a b + a غة b بلا س b = b 1, b, b تكذت إلن a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k ثلكن تا س ته تل ا هجتم ن سل a b a, b ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k الف صل 1 تاهجتملا

47 مراجعة الدرو س 1 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: أوجد محصلة المتجهين,s r مستعمالا قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع. قر ب المحص لة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. 1-1 ) 1 0 تسير سيارة بسرعة 50 mi/h باتجاه الشرق. ) 1 1 شجرة طولها.0 ft مقدمة في المتجهات ال صفحات 18-10( r s أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع. قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. c ) 1 r s r + s قاعدة المثلث اسحب r بحيث تلتقي نقطة نهاية r مع نقطة بداية s فتكون المحصلة هي المتجه الذي يبدأ من نقطة بداية r وينتهي عند نقطة نهاية s. d h ) 1 j r + s قاعدة متوازي االأ صال اسحب s بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية r ثم أكمل متوازي األضلع الذي فيه,r s ضلعان متجاوران فتكون المحصلة هي المتجه الذي يكو ن قطر متوازي األضلع. a b ) 1 r s فيكون طول المحصلة. cm وقياس زاويتها 59 مع األفقي. w ) 1 5 v أوجد طول المحص لة لناتج جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: ) 1 m 70 باتجاه الغرب ثم 150 m باتجاه الشرق. ) 1 7 N 8 للخلف ثم 1 N للخلف. الف صل 1 اا تا رت سة الدر س - 1 تاه تجمة 7

48 دليل الدرا صة والمراجعة أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الذي نقطة بدايته. B(, -1) ونقطة نهايته A(, -) أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: تا س رة تهكر تف ة بلاجم س بلاا AB ÆÆÆ = - 1, - 1 = -, -1 - (-) = 1, 1 المتجهات في الم صتوى االإحداثي ال صفحات 5-19( أوجد طول المتجه باستعمال قانون المسافة. 1- A(-1, ), B(5, ) ) 1 8 A(7, -), B(-9, ) ) 1 9 A(-8, -), B(, 1) ) 0 A(, -10), B(, -5) ) 1 لن ن تاه سلثة بلاجم س بلاجل س AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ [( - )[ + [ -1 - (-)[ = Ç 1. إذا كان -, = t p =, 0, q = -, -, فأوجد كال مما يأتي: q - p ) p + t ) t - p + q ) p + t - q ) 5 أوجد متجه وحدة u باتجاه v في كل مما يأتي: v =, - ) 7 v = -7, ) v = 9, ) 9 v = -5, -8 ) 8 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين 7 -, = =, -5, ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أو ال. أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم تحق ق مما إذا كانا متعامدين أو ال: تا س تا ت بلاجم س بلاجل س = = (-) + -5(7) = -8 + (-5) = - بما أن 0 فإن المتجهين غير متعامدين. 1- ال صرب الداخلي ال صفحات - ( u = -, 5, v =, 1 ) 0 u =,, v = 5, 7 ) 1 u = -1,, v = 8, ) u = -,, v = 1, ) أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u = 5, -1, v = -, ) u = -1, 8, v =, ) 5 8 الف صل 1 تاهجتملا

49 1- المتجهات في الف صاء الثالثي االأبعاد ال صفحات 5-0( عي ن كل نقطة من النقاط اآلتية في الفضاء الثالثي األبعاد: عي ن النقطة (-,,-) في الفضاء الثالثي األبعاد. حد د موقع النقطة (,-) في المستوى بوضع إشارة ثم عي ن نقطة تبعد وحدات لألسفل عن هذه النقطة باتجاه موا ز للمحور. z z (1,, -) ) (, 5, ) ) 7 (5, -, -) ) 8 (-, -, -) ) 9 - أوجد طول القطعة المستقيمة الم عطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. (-, 10, ), (, 0, 8) ) 0 (-,, -) (-5,, ), (-9, -, -) ) 1 (,, 0), (-9, -10, ) ) (8,, ), (-, -, ) ) مث ل بياني ا كال من المتجهات اآلتية في الفضاء: a = 0, -, ) b = -i + j + k ) 5 c = -i - j + 5k ) d = -, -5, - ) 7 u v أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين -, -, = u. u, v يعامد كال من u v ثم بي ن أن v = 7, 11, = 11 - i j = 7, -1, -58 (u v) u = 7, -1, -58 -,, - = = 0 (u v) v = 7, -1, -58 7, 11, = = 0 ال صرب الداخلي وال صرب االتجاهي للمتجهات في الف صاء ال صفحات 1-5( 5 11 k 1-5 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أو ال. u =, 5,, v = 8,, -1 ) 8 u = 5, 0, -, v = -, 1, ) 9 أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم بي ن أن : u, v يعامد كال من u v u = 1, -, -, v =,, - ) 5 0 u =, 1, -, v = 5, -, -1 ) 5 1 الف صل 1 اا تا رت سة الدر س - 1 تاه تجمة 9

50 دليل الدرا صة والمراجعة ) 5 كرة قدم: تلق ى العب كرة قدم الكرة برأسه فارتدت بسرعة ابتدائية مقدارها 55 ft/s وبزاوية قياسها 5 فوق األفقي كما في الشكل أدناه. أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للسرعة. )تا ر س -1 1 ) تطبيقات وم صائل ) 5 5 اأقمارا صطناعية: إذا م ث لتالنقطتان -8) 1, (85, (015,918-,11-) موقعي قمرين اصطناعيين والنقطة (0,0),0 مركز األرض وعلمت أن اإلحداثيات معطاة بالميل. وأن طول نصف قطر األرض يساوي 9 mi تقريبا ا فأجب عما يأتي: )تا ر س - 1 ) a( أوجد المسافة بين القمرين. 55 ft/s 5 b( إذا وضع قمر ثالث في منتصف المسافة بين القمرين فما إحداثيات موقعه ) 5 طيران: تهبط طائرة بسرعة مقدارها 110 mi/h وبزاوية قياسها 10 تحت األفقي. أوجد الصورة اإلحداثية للمتجه الذي ي مث ل سرعة الطائرة. )تا ر س - 1 ). b اشرح إمكانية وضع القمر الثالث في الفرع c( فيزياء يمكنك استعمال الضرب االتجاهي إليجاد متجه العزم T الذي يقيس فعالية قوة تؤثر في T رافعة وتسب ب دورانا ا حول محور الدوران. ويكون r عمودي ا على المستوى المتكو ن من المسافة المتجهة F r من محور الدوران إلى نقطة تأثير القوة والقوة المؤثرة F كما في الشكل المجاور لذا فإن متجه العزم هو T = r F ووحدة قياسه هي( m N). 110 mi/h ) 5 ) 5 حركة المرور: تقف سيارة وزنها 1500 kg على أرض مرتفعة تميل عن األفقي بزاوية قياسها 10. إذا أهملت قوة االحتكاك فأوجد القوة اللزمة لمنع السيارة من االنزالق لألسفل. )تا ر س 1- ) اإ صالح صيارات: يستعمل ميكانيكي مفتاحا ا طوله 0.5 m لتثبيت صامولة في إحدى السيارات. أوجد مقدار متجه العزم حول الصامولة واتجاهه إذا بذل الميكانيكي قوة مقدارها 5 N إلى األسفل من نهاية المقبض وتصنع زاوية قياسها 0 أسفل األفقي كما في الشكل أدناه. )تا ر س 5-1 ) F 5 N r m 10 z F 0 r )إرشاد: مث ل بياني ا المتجه r بالوضع القياسي كما في الشكل المجاور( 50 الف صل 1 تاهجتملا

51 اختبار الف صل محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أوجد قرب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من أو قاعدة متوازي األضالع. السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة. )1 ) p c d q )1 حركة : يدفع شخص صندو ا قا على سطح أرض غرفة بقوة مقدارها 10 N إلى األسفل وبزاوية قياسها 0 تحت األفقي. أوجد الشغل الذي بذله الشخص إذا حرك الصندوق مسافة أمتار. إذا كان a =,, -, b = -5, -7, 1, c = 8, 5, -9 فأوجد كال مما يأتي : a + 5b - c )1 AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في أوجد الصورة اإلحداثية وطول كل مما يأتي : 1 A,, B(-1, 7) ) A(1, -), B(-5, 1) ) ) ( )5 كرة قدم : ركض العب بسرعة m/s للتصدي لكرة قادمة من االتجاه المعاكس لحركته فضربها برأسه بسرعة 0 m/s وبزاوية قياسها 5 مع األفقي. ما محصلة سرعة الكرة واتجاه حركتها b - a + c )1 )15 بالونات الهواء ال صاخن : أطلق 1 بالونا ا تحتوي هوا ا ء ساخنا ا في أحد المهرجانات وبعد عدة دقائق من اإلطلق كانت إحداثيات البالونين األول والثاني هي ) (0, 5, 0), (-9, 15, 10 كما في علما بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام. الشكل أدناه ا z 0 ) (-9, 15, 10 0 m/sec ) (0, 5, m/sec أوجد متجه وحدة باتجاه u في كل مما يأتي : u =, - )7 u = -1, ) أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم ب ين ما إذا كانا متعامدين أو ال : u =, -5, v = -, )8 u =, -, v =, 8 )9 u = 10i - j, v = i + 8j )10 )11 اختيار من متعدد : إذا علمت أن u = 1,, v = -, فأي مما يأتي يم ثل ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط u على v )a أوجد المسافة بين البالونين األول والثاني في تلك اللحظة. )b إذا كان البالون الثالث عند نقطة منتصف المسافة بين البالونين األول والثاني فأوجد إحداثياته. أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي : u = -,,, v =, 7, 1 )1 u = -9i + 5j + 11k, v = -5i - 7j - k )17 أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم ب ين أن u v يعامد كال من : u, v A = u, - +, 18 B = u, +, 1 u = 1, 7,, v = 9,, 11 )18 C 9 u = -, +, 1 u = -i + j - k, v = 5i - j - k )19 D 7 u = -,1 +, الف صل 1 تاا س الدر س 1 - ت جللر 51

52 االإحداثيات القطبية واالأعداد المركبة Polar Coordinates and Comple Numbers ار ست تاقا تاهخ ة ل ب لن مل هث مملاه مل تج مث تهكر تف لا تاقال ة ب لن ل تجر ل ب ن تهكر تف لا تا لر ة تاقال ة تاهملاها تجإج تهجا تا تاه إلة ا تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة تجر ل ب نمهل ت صاميم هند صية: ه ن ت سجمهلل تاهملاها تاقال ة ث اه سلم سمل ا رة ة ثهثي ن س م ا مل تاه ت ب سامل تجا تا ت م إلة ا تا س ر ن تاقال ة تا لر ة إهل ه ن ت سجمهلامل انه جة تجنهلا تا س ا تاج سلا ا سم ة تم زتا تاه س مث تا سهلالا تا س ا م ل تا م سج تا س ا ة تاج ست قبل القراءة: ت سجمه مق مة إ ار س ث ت تاا س اج سلا ا تاجنل بلهجث لر تاج سججم همل ث ت تاا س 5 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

53 للف صل التهي ة اال صتعداد: نل ب ين ا جلجإ من تاهجا للا ت صخي س تا سلبقة 1 ان تج س ة ته جللر تا س ته تج مراجعة المفردات (Initial Side of an Angle) االبتداء للزاوية صلع تا س تاهنال ا تاه ر ان مل ن تازت ة ث تا س تاق ل س (Terminal Side of an Angle) االنتهاء للزاوية صلع تا س تا ر ر ل نقاة رتج س تازت ة ان مل ن تازت ة ث تا س تاق ل س قيا س الزاوية Angle) (Measure of an مق تر ت تل تا رتن تايز اينجقلل من س تهبج تض تكا س تهنجملض ا زت ة متطابقات المجمو والفرق (Sum and Difference Identities) sin (A + B ) = sin A cos B + cos A sin B cos ( A + B ) = cos A cos B - sin A sin B sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B ارسم كال من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يأتي في الوضع القياسي: 00 ) 1-5 ) أوجد زاوية بقياس موجب وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع االنتهاء مع كل من الزوايا اآلتية ومثلهما في الوضع القياسي: 15 ) -10 ) π - π ) 5 ) حو ل قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان والمكتوبة بالراديان إلى درجات في كل مما يأتي: π ) 8-0 ) 7 ) 9 أوجد القيمة الفعلية ل sin 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين. ) 1 0 أوجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم أدناه )قرب إلى أقرب جزء من عشرة(. C m 0 B m A أسئلة تهيئة إضافية على الموقع تج س ة م ة تك سلث ة ا تاه الف صل تاجم ة ا ا س 5

54 القطبية االإحداثيات Polar Coordinates ي ستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات والحصول على مسارات ورحلت جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات األخرى والتضاريس األرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة لتمثيل موقع الطائرة. ويقوم المراقبون بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين. تمثيل االإحداثيات القطبي ة لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادالت معطاة في نظام اإلحداثيات الديكارتي ة )المستوى اإلحداثي(. وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا فإنهم يستعملون نظام اإلحداثيات القطبية )المستوى القطبي(. في نظام اإلحداثيات الديكارتية المحوران, هما المحوران األفقي والعمودي على الترتيب وت سم ى نقطة تقاطعهما نقطة األصل. وي عي ن موقع النقطة P باإلحداثيات الديكارتية من خلل زوج مرتب ( ), حيث, المسافتان المت جهتان األفقية والعمودية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثلا تقع النقطة (-,) على ب عد وحدات إلى يمين المحور وعلى ب عد وحدات إلى أسفل المحور. في نظام اإلحداثيات القطبية نقطة األصل نقطة ثابتة ت سمى القطب. والمحور القطبي هو شعاع يمتد أفقي ا من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام اإلحداثيات القطبية باستعمال اإلحداثيات القطبي ة (θ,r) حيث r المسافة المت جهة من القطب إلى النقطة P و θ الزاوية المت جهة من المحور القطبي إلىÈÈ. P P(, ) r θ P(r, θ) ار ست تاز ت ل تاه جلة ث تا س ر سهجمل تا سلالة تاق ل س تج مث نقل ل بلهكر تف لا تاقال ة تج مث ب لن ل مملاها ال ة ب س اة ن ل تهكر تف لا تاقال ة لتمثيل نقطة معطاة بإحداثيات قطبي ة فإن القياس الموجب للزاوية θ يعني دورانا ا بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءا ا من المحور القطبي في حين يعني القياس السالب دورانا ا باتجاه عقارب الساعة وإذا كانت r موجبة فإن P واقعة على ضلع االنتهاء للزاوية θ. أما إذا كانت سالبة فإن P واقعة على الشعاع المقابل )االمتداد( لضلع االنتهاء للزاوية. θ polar coordinate sstem تاقا pole تاه ر تاقال polar ais تهكر تف لا تاقال ة polar coordinates تاهملااة تاقال ة polar equation تاجهث تاقال polar graph 1 مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية: تمثيل االإحداثيات القطبية 1.5 π A(, 5 ) )a بما أن 5 = θ فارسم ضلع االنتهاء للزاوية 5 بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r عي ن نقطةا A تبع د وحدتين عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية 5 كما في الشكل المجاور. π B (-1.5, ) )b بحيث يكون المحور القطبي π بما أن θ = π ارسم ضلع االنتهاء للزاوية هو ضلع االبتداء لها وألن r سالبة م د ضلع االنتهاء في االتجاه المقابل وعي ن نقطةا B تبع د 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء كما في الشكل المجاور. 5 A(, 5 ) ) π B (-1.5, 5 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

55 C(, -0 ) )c -0 C(, -0 ) بما أن 0 - = θ ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 0 - بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r عي ن نقطةا C تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية: F (, - 5π ) )1C E(.5, 0 ) )1B D ( -1, π ) )1A ت عي ن اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي الذي يتخذ شكلا دائري ا كما ت عي ن اإلحداثيات الديكارتية في المستوى اإلحداثي الذي يتخذ شكلا مستطيلا. مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: P (, π ) )a بحيث يكون المحور π بما أن θ = π ارسم ضلع االنتهاء للزاوية القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r عي ن نقطةا P تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. Q(-.5, 150 ) )b بما أن 150 = θ ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 150 بحيث يكون المحور القطبي ضلع االبتداء لها وألن r سالبة م د ضلع االنتهاء للزاوية في االتجاه المقابل وعي ن نقطةا Q تبعد.5 وحدات عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. تمثيل النقا في الم صتوى القطبي 5π π 7π π π 10 0 π π π 1 5 π P(, ) 90 5π 0 π 0 11π 1 5 Q(-.5, 150 ) مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: S(-, -15 ) )B R (1.5, - 7π ) )A في نظام اإلحداثيات الديكارتية كل نقطة ي عب ر عنها بزوج وحيد من اإلحداثيات (,). إال أن هذا ال ينطبق على نظام اإلحداثيات القطبية وذلك ألن قياس كل زاوية ي كتب بعدد النهائي من الطرائق وعليه فإن للنقطة (θ,r) اإلحداثيات 0 ) (r, θ ± أو π) (r, θ ± أيضا ا كما هو مبي ن أدناه. (θ + 0) r θ P(r, θ) P(r, θ + 0 ) (θ - 0) r θ P(r, θ) P(r, θ - 0 ) القطب ه ن هث تاقا بلانقاة ) θ (0, ر θ تج زت ة الدر س - 1 تهكر تف لا تاقال ة 55

56 (θ + 180) r θ (θ - 180) P(r, θ) or P(-r, θ ± 180 ) وكذلك ألن r مسافة متجهة فإن ) θ,r) و 180 ) ± θ (-r, أو π) (-r, θ ± تمث ل النقطة نفسها كما في الشكل المجاور. وبصورة عامة إذا كان n عددا ا صحيحا ا فإنه يمكن تمثيل النقطة (θ,r) باإلحداثيات (0 n,r) θ + أو (180 (1 + n)+,r-). θ وبالمثل إذا كانت θ مقيسة بالراديان وكان n عددا ا صحيحا ا فإنه يمكن تمثيل النقطة. (-r, θ + (n + 1)π) أو (r, θ + nπ) باإلحداثيات (r, θ) تمثيالت قطبية متعددة إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة Tفي الشكل المجاور. أحد األزواج القطبية التي تمثل النقطة T هو (15,). وفيما يأتي التمثيلت الثلثة األخرى T ) - 15 (, = 15 ) (, با 0 من θ = (, -5 ) 180 ) + 15 (-, = 15 ) (, ب س - r ب ه من r θ 180 تكا تك سلثة = (-, 15 ) 180 ) - 15 (-, = 15 ) (, ب س -r ب ه من r با 180 من θ = (-, -5 ) أوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة علما ا بأن:. -π θ π أو -0 θ 0 (, π ) )B (5, 0 ) )A التمثيل البياني للمعادالت القطبية ت سمى المعادلة المعطاة بداللة اإلحداثيات القطبية معادلةا قطبيةا. فمثلا r = sin θ هي معادلة قطبية. التمثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لقد تعلمت سابقا ا كيفية تمثيل المعادالت في نظام اإلحداثيات الديكارتية )في المستوى اإلحداثي(. وي عد تمثيل المعادالت مثل = و - = أساسي ا في نظام اإلحداثيات الديكارتية. وبالمثل فإن التمثيل البياني لمعادالت قطبية مثل r = k و θ = k حيث k عدد ثابت ي ع د أساسي ا في نظام اإلحداثيات القطبية. م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: r = )a تتكون حلول المعادلة = r من جميع النقاط على الصورة ) θ, ( حيث θ أي عدد حقيقي. يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبع د وحدة عن القطب. وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة األصل )القطب( وطول نصف قطرها كما في الشكل المجاور. تمثيل المعادالت القطبية اجهث تاهملااة تاقال ة = r ا تا ل سلة تال لن ة ا ت سغ TI - nspire تج ه ف تكا تا س س هر تجن تاهجغ تاجلب غ من f() تكا تاهجغ r تاه سجق من تكا θ مث r = التمثيل البياني للمعادالت القطبية π 5π (, π) π 7π π π r = π (, ) π π π (, ) 1 5 5π π 0 11π 5 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

57 π 5π 7π π θ π = π π π π π (1, ) π (, ) π (-.5, ) π 5π 11π π θ = )b تتكو ن حلول المعادلة θ = π من جميع النقاط ) ( r, π حيث r أي عدد حقيقي وعليه فإن التمثيل البياني عبارة عن جميع النقاط الواقعة على المستقيم الذي يصنع زاوية π مع المحور القطبي الموجب. θ = π م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )B r = )A يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي باستعمال الصيغة اآلتية P 1 (r 1, θ 1 ) P (r, θ ) 0 0 الم صافة بال صيغة القطبية P 1 نقطتان في المستوى القطبي ( r 1 افترض أن ), θ 1 ), P ( r, θ P 1 بالصيغة: ت عطى المسافة P P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) تهي ة الحا صبة البياني ة ان ت سجمهلل س غة تاه سلثة تاقال ة لجإ من سل تا ل سلة تال لن ة ا سم ة تا رجلا تج تا تا لن ر س تاهمالة تاز ت ل ل سلا س ف ل ن تا س غة ث تا س تل 5 5 اإيجاد الم صافة با صتعمال ال صيغة القطبية حركة جوية: يتابع مراقب الحركة الجوية طائرتين تطيران على االرتفاع نفسه حيث إحداثيات موقعي الطائرتين هما (5,)B,5)A (10, وتقاس المسافة المتجهة باألميال B(, 5 ) 10 A(5, 10 ) a( مث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. تقع الطائرة A على ب عد 5 mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 10 في حين تقع الطائرة B على ب عد mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 5 كما في الشكل المجاور. b( إذا كانت تعليمات الطيران تتطلب أن تكون المسافة بين الطائرتين أكثر من mi فهل تخالف هاتان الطائرتان هذه التعليمات و ض ح إجابتك. باستعمال الصيغة القطبية للمسافة فإن. تاه سلثة بلا س غة تاقال ة ( r 1, θ 1 ) = (5, 10 ), ( r, θ ) = (, 5 ) AB = = r ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (5)() cos (5-10 ). اق را تجاهلن ل جملز رتاتر ال سجا 19 ر س تاال تا سهن ات ة ن س ا ل 80 mi الم صدر: A Histor of the World Semiconductor Industr أي أن المسافة بين الطائرتين. mi تقريبا ا وعليه فإنهما ال تخالفان تعليمات الطيران. 5( قوارب: يرص د رادار بحري حركة قاربين إذا كانت إحداثيات موقعي القاربين (5 ),, (150 8), حيث r باألميال. A( فمث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. B( ما المسافة بين القاربين الدر س - 1 تهكر تف لا تاقال ة 57

58 0 m 10 m مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. )تاهثلهن 1(, T(-.5, 0 ) ) R(1, 10 ) ) 1 A (, π ) ) F (-, π ) ) D (-1, - 5π ) ) B(5, -0 ) ) 5 C(-, π) ) 8 G (.5, - 11π ) ) 7 W(-1.5, 150 ) ) 1 0 M(0.5, 70 ) ) 9 ) 1 1 رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز. ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب. افترض أن راميا ا يستعمل هدفا ا نصف قطره 10 cm وأنه قد أطلق ثلثة أسهم فأصابت الهدف عند النقاط 0 ) (0,, 15 ) (8,, 5 ).(11, إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية. )تاهثلهن 1(, ) القفز بالمظالت: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط يحاول مظلي الوصول إلى»مركز الهدف المحدد«ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها. m كما يشمل الهدف دائرتين طوال نصفي قطريهما 10 m و. 0 m )مثلل ) a( اكتب معادالت قطبية تمث ل حدود المناطق الثلث للهدف. b( م ث ل هذه المعادالت في المستوى القطبي. أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي. )مثلل 5( (, π ), (8, π ) ) (, 0 ), (5, 10 ) ) 5 ( 7, - π ), (1, π ) ) 8 (, 5 ), (-, 00 ) ) 7 (, -15 ), (1, 0 ) ) 0 (- 5, 7π ), (, π ) ) 9 (-, 11π ), (-, 5π ) ) (-, -0 ), (8, 10 ) ) 1 (7, - 90 ), (-, - 0 ) ) ( 1, - π ), (- 5, 7π ) ) (- 5, 15 ), (-1, 0 ) ) (8, - π ), (, - π ) ) cm a( فمث ل النقاط التي أصابها الر امي في المستوى القطبي. b( ما مجموع النقاط التي حصل عليها الر امي إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة Tفي كل مما يأتي: )مثلل ( (-, 00 ) ) 1 (1, 150 ) ) 1 (-, π ) ) 1 5 (, - 7π ) ) 1 (-5, - π ) ) 1 7 (5, 11π ) ) 1 (-1, -0 ) ) 1 9 (, -0 ) ) 1 8 م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )مثلل ( ) 7 م ص احون: أراد مس اح تحديد حدود قطعة أرض فحد د أثرا ا يبع د 18 ft بزاوية 5 إلى يسار المركز وأثرا ا آخر على ب عد ft بزاوية 7 إلى يمين المركز كما في الشكل أدناه أوجد المسافة بين األثرين. )مثلل 5( ft ft ) 8 مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمث ل جزءا ا من دائرة وت حد د بالمتباينتين 0 r θ 150, 0-0 حيث r باألمتار. a( مث ل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن آللة التصوير مراقبتها. b( أوجد مساحة المنطقة. θ = 5 ) 1 r = 1.5 ) 0 r = -.5 ) θ = - 7π ) 58 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

59 إذا كانت 180 θ 0 فأوجد زوجا ا آخر من اإلحداثيات القطبي ة لكل نقطة مما يأتي: (5, 90 ) ) 9 (-.5, 15π ) ) 0 (, π 1 ) ) 1 (1.5,-90 ) ) (-1, - 1π 8 ) ) (-, -10 ) ) ) 5 م صرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح. ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور القطبي. افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين 0 r π θ π, 0 - حيث r باألقدام. a( مث ل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي. b( إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5 ft فكم مقعد يتسع المسرح ) اأمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على شكل جزء من قطاع دائري محدد بالمتباينتين π θ 5π 0 r حيث r باألقدام. إذا كانت مساحة المنطقة. كما هو مبين في الشكل أدناه فأوجد قيمة 1.1 ft ) 5 1 تمثيالت متعددة: في هذه المسألة سوف تتحقق من العلقة بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية. π A (, في المستوى القطبي وارسم نظام )a بياني ا: عي ن ) اإلحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة األصل على القطب والمحور على المحور القطبي. وبالتالي سينطبق المحور على المستقيم θ. = π ارسم مثلثا ا قائما ا بوصل A مع نقطة األصل وارسم منها عمودا ا على المحور. b( عددي ا: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية. 5π B (, على المستوى القطبي نفسه وارسم )c بياني ا: عي ن ) مثلثا ا قائما ا بوصل B مع نقطة األصل وارسم منها عمودا ا على المحور واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة. d( تحليلي ا: كيف ترتبط أطوال أضلع المثلث باإلحداثيات الديكارتية لكل نقطة r), (θ تحليلي ا: اشرح العلقة بين اإلحداثيات القطبية e( واإلحداثيات الديكارتية ) (,. اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي: 5π π 7π π π 10 π π π 5π π π ) 5 ) 5 5π π 7π π π π 1.1 ft π π 5π 0 π 0 11π أوجد اإلحداثي المجهول الذي يحقق الشروط المعطاة في كل مما يأتي: P 1 = (, 5 ), P = (r, 75 ), P 1 P =.17 ) P 1 = (5, 15 ), P = (, θ), P 1 P =, 0 θ 180 ) 8 P 1 = (, θ), P = (, 7π 9 ), P 1 P = 5, 0 θ π ) 9 P 1 = (r, 10 ), P = (, 10 ), P 1 P =.97 ) 5 0 الدر س - 1 تهكر تف لا تاقال ة 59

60 ) 5 تبرير: وض ح لماذا ال يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهم ا أو بعبارة أخرى لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P 1 والنقطة األخرى لتكون P ) 5 5 تحد : أوجد زوجا ا م ر ت با ا من اإلحداثيات القطبية لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-,-). ) 5 برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين ) P 1 ( r 1, θ 1 ), P ( r, θ. P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ هي ) 1 r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ )تكريسلا استعمل قانون جيوب التمام(. ) 5 7 تبرير: وض ح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون. θ - θ 1 = π فس ر هذا التغي ر. ) 5 8 اكت صف الخطاأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5,5) في المستوى القطبي كما هو مبي ن أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة ب ر ر إجابتك ) 5 9 اكتب: خم ن سبب عدم كفاية اإلحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق. 5 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v لكل مما يأتي: )تا ر س 5-1( u =, -, 5, v =,, -8 ) 5 u = i - j + 7 k, v = 5 i + j - 11 k ) u = -1, 1, 5, v = 7, -, 9 ) 7 أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدوائر اآلتية: )مملرة سلبقة( + ( - 1 ) = 9 ) 8 ( + 1 ) + = 1 ) 9 + = 1 ) 7 0 ) 7 1 يقوم مراقب حركة الطيران بمراقبة طائرتين على االرتفاع نفسه إذا كانت إحداثيات الطائرتين 5 ) (,, 10 ) (5, حيث r باألميال فما المسافة التقريبي ة بين الطائرتين.97 mi A.5 mi B. mi C.71 mi D ) 7 أي المتجهات اآلتية يمث لÆÆ RS حيث إن نقطة البداية ) R(-5, ونقطة النهاية (7-, S( -7, 10 C 7, -10 A -, -10 D -, 10 B ) 7 يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 r θ 10, 0-0 حيث r باألقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنقطة ft C 81 ft A 8 ft D 88 ft B 0 ما إذا كان u, v متعامدين أوال : )تا ر س - 5 )1 u =, 10, 1, v = -5, 1, 7 ) 0 u = -5,,, v = -, -9, 8 ) 1 u = -8, -, 1, v =, -, 0 ) إذا كان 5 -,, = c. a = -,, -, b =, 5, 1, فأوجد كال مما يأتي: )تا ر س - 1( a + b + 8c ) -a + b - 5c ) 0 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

61 القطبية وال صورة الديكارتية للمعادالت ال صورة Polar and Rectangular Forms of Equations P(, ) P(cos θ, sin θ) π r = 1 θ يبعث م ج س م ثبت إلى رجل آلي أمواجا ا فوق صوتية على شكل دوائر كاملة وعندما تصطدم األمواج بجسم فإن المجس يستقبل إشارة ويقوم بحساب ب عد الجسم عن مقدمة الرجل اآللي بداللة المسافة r والزاوية. θ ويوصل المجس هذه اإلحداثيات القطبية إلى الر جل اآللي ال ذي يحولها إلى اإلحداثيات الديكارتية ليتمكن من تعيينها على خريطة داخلية. االإحداثيات القطبية والديكارتية يمكن كتابة إحداثيات النقطة ( P(, الواقعة على دائرة الوحدة والمقابلة لزاوية θ على الصورة (θ P(cos,θ sin ألن cos θ = r = 1 =, sin θ = r = 1 = فإذا كان طول نصف قطر دائرة عددا ا حقيقي ا r بدالا من 1 فإنه يمكننا كتابة النقطة ) P(, بداللة r, θ على النحو اآلتي: cos θ =, sin θ = r r بلا س ث r cos θ =, r sin θ = r وإذا نظرنا للمستوى الديكارتي على أنه مستوى قطبي بحيث ينطبق المحور القطبي على الجزء الموجب من المحور والقطب على نقطة األصل فإنه يصبح لدينا وسيلة لتحويل اإلحداثي ات القطبية إلى اإلحداثي ات الديكارتي ة. تكذت إلن ا نقاة Pتهكر تف لا تاقال ة ) θ (,r ثلكن تهكر تف لا تا لر ة ) (, ا نقاة P = r cos θ, = r sin θ تج تجن ) θ (, ) = ( r cos θ, r sin ار ست هث تانقلا بم س تاهملاها تاقال ة تجر ل ب ن تهكر تف لا تاقال ة تا لر ة تجر ل تاهملاها من تا س رة تاقال ة تكا تا س رة تا لر ة تام س تحويل االإحداثيات القطبية اإلى االإحداثيات الديكارتية θ r P(, ) P(r, θ) 1 تحويل االإحداثيات القطبية اإلى االإحداثيات الديكارتية π π P 0 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: = r sin θ π = sin = P ( π, ) )a. π r =, θ = بما أن إحداثيات النقطة ) π, P ( فإن ( 1 ) تاج س r =, θ = π بلاجل س = r cos θ π = cos = ( Ç ) = = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة P هي ( Ç, ) أو (,.) تقريبا ا كما في الشكل أعله. الدر س - تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة ا هملاها 1

62 Q(-, 15 ) )b π بما أن إحداثيات النقطة 15 ) Q(-, فإن 15 = θ. r = -, 15 Q 0 = r sin θ = - sin 15 = -( Ç ) = - Ç تاج س r = -, θ = 15 بلاجل س = r cos θ = - cos 15 = - (- Ç ) = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي ) Ç Ç, - ( أو -1.1) (1.1, تقريبا ا كما في الشكل أعله. = r sin θ V(, -10 ) )c بما أن إحداثيات النقطة -10 ), V( فإن -10 = θ r =, = sin -10 = (- Ç ) = - Ç تاج س r =, θ = -10 بلاجل س = r cos θ = cos -10 = (- 1 = - ) أو (.-,1.5-) تقريبا ا كما في الشكل أعله. (-, - Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة V هي ) T (-, 5 ) )1C S ( 5, π ) حول اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )1B R(-, -10 ) )1A ولكتابة زوج اإلحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية فإنك بحاجة إلى إيجاد المسافة r من النقطة (,) إلى نقطة األصل أو القطب و قياس الزاوية التي يصنعها موقع تلك النقطة مع الجزء الموجب من المحور أو المحور القطبي. π R π -10 π π r θ 0 P(, ) 0 استعمل نظرية فيثاغورس إليجاد المسافة r من النقطة (,) إلى نقطة األصل. ن ة ث ثل ر س بلج تات ر تاج ب م تاه ج ا ا ث ن r = + r = ÇÇÇ + ترتبط الزاوية θ بكل من, من خلل دالة الظل. تا م Ta اتاة مم س تا tan θ = θ = n -1 π π, - أو 90 ] [-90, في نظام اإلحداثيات الديكارتية. تذك ر أن الدالة العكسي ة للظل معر فة فقط على الفترة وتعطي قيم θ الواقعة في الربع األول أو الرابع أو عندما تكون > 0 كما في الشكل...1 وإذا كانت < 0 فعليك إضافة π أو 180 إلى قياس الزاوية المعطاة بالدالة العكسي ة للظل كما في الشكل... π π P(, ) تحويل االإحداثيات تكن تامه ة تاهجلمة اج تهكر تف لا تا لر ة تكا تهكر تف لا تاقال ة ذت مل تامه ة تاهجلمة ث تك تلا ل تاهجت ت تل π θ + π θ =Tan -1 0 π θ =Tan -1 0 P(, ) π عندما < 0 θ = Ta n θأو = Ta n -1 + π ال صكل.. π عندما > 0 θ = Ta n -1 ال صكل..1 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

63 تحويل االإحداثيات الديكارتية اإلى االإحداثيات القطبية π تكذت إلن ا نقاة P تهكر تف لا تا لر ة ( (, ثلكن تهكر تف لا تاقال ة ا نقاة ( r, θ) P ر > 0 ان مل θ = Ta n -1 r = ÇÇÇÇ + ثلكن < 0 ان مل θ = Ta n -1 + π θ = Ta n تج تذك ر أن هناك عددا ا النهائي ا من أزواج اإلحداثيات القطبية للنقطة والتحويل من اإلحداثيات الديكارتية إلى اإلحداثيات القطبية يعطي أحدها. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: 5π T.71 π θ π 5.17 r S θ = P(r, θ ) P(, ) = S (1, - Ç ) )a بما أن إحداثيات النقطة ) (, ) = (1, - Ç فإن. = 1, = - Ç. θ إليجاد الزاوية θ = Ta n -1 وألن > 0 استعمل الصيغة θ = = = Ta n -1 + π Ta n -1 Ta n -1 - Ç - π Ta n -1 (- ) + π = Ta n -1 ( -) + π.0 rad 1 تاج س = 1, = - Ç بلاجل س r = = = ÇÇÇ + 1 ÇÇÇÇÇ + (- Ç ) Ç =.S ( زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة, - π أي أن ) ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة ل θ وذلك بإضافة. π 5π (, كما في الشكل المجاور. π -, ( أو ) فيكون ) π + T (-, ) )b بما أن إحداثيات النقطة ) (-, = ) (, فإن =. = -, وألن < 0 استعمل الصيغة θ = Ta n -1 + π إليجاد الزاوية θ تاج س =, = - بلاجل س r = = = ÇÇÇ + ÇÇÇÇÇ (-) + Ç 5.71 أي أن (.0.71), تقريبا ا هو زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة T ويمكن إيجاد تمثيل آخر باستعمال قيمة سالبة ل r من خلل π) +.0 (-.71, أو 5.17) (-.71, كما في الشكل المجاور. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: تحويل االإحداثيات الديكارتية اإلى االإحداثيات القطبي ة π W(-9, -) )B V(8, 10) )A الدر س - تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة ا هملاها

64 في بعض ظواهر الحياة الطبيعية قد يكون من المفيد أن تحو ل بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية. التحويل بين االإحداثيات رجل ا لي: بالرجوع إلى فقرة «لماذا» افترض أن الر جل اآللي متجه إلى الشرق وأن ال مج س قد ر ص د جسما ا عند النقطة 95 ) (5,. a( ما اإلحداثيات الديكارتية التي يحتاج الرجل اآللي إلى حسابها = r sin θ = 5 sin 95 تاج س r = 5, θ = 95 = r cos θ = 5 cos بلاجل س.11 أي أن اإلحداثيات الديكارتية لموقع الجسم هي (.5 -,.11) تقريبا ا. r = b( إذا كان موقع جسم ر صد سابقا ا عند النقطة التي إحداثياتها (7 ), فما المسافة وقياس الزاوية بين الجسم والرجل اآللي ÇÇÇ + تاج س θ = Ta n -1 = Ta n =, = 7 بلاجل س = ÇÇÇ زن ل ت ا رجي نل سل إلاة سههت 00 بل ن ا ل 1 ft ذرتا 11 ft هجاتض بم س تاهمل ث تاا سلض تاخلرج الم صدر: The New York Times اإلحداثيات القطبية لموقع الجسم هي (.8,7.) تقريبا ا أي أن المسافة بين الجسم والرجل اآللي 7. وقياس الزاوية بينهما.8 ( صيد االأ صماك: ي ستعمل جهاز رصد لتحديد موقع وجود األسماك تحت الماء. افترض أن قاربا ا يتجه إلى الشرق وأن جهاز الرصد قد رصد سربا ا من األسماك عند النقطة (15 )., A( ما اإلحداثيات الديكارتية لموقع سرب األسماك B( إذا كان موقع سرب األسماك قد ر صد سابقا ا عند النقطة التي إحداثياتها الديكارتية ( -), فما اإلحداثيات القطبية لموقع السرب المعادالت القطبية والديكارتية سوف تحتاج في التفاضل والتكامل إلى تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس وذلك لتسهيل بعض الحسابات. فبعض المعادالت الديكارتية المعق دة صورتها القطبية أسهل بكثير. الحظ معادلة الدائرة على الصورة الديكارتية والقطبية كما في الشكل أدناه. تاهملااة ا تا س رة تا لر ة + = 9 تاهملااة ا تا س رة تاقال ة r = π π 0 وبشكل مماثل فإن بعض المعادالت القطبية المعق دة صورتها الديكارتية أسهل بكثير الحظ معادلة المستقيم أدناه. تاهملااة تاقال ة 5π π π π π r = cos θ - sin θ تاهملااة تا لر ة - = π π 1 0 7π π π 5π 11π الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

65 إن عملية تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية عملية مباشرة إذ نعوض عن ب r cos θ وعن ب r sin θ ثم نبسط المعادلة الناتجة باستعمال الطرق الجبرية والمتطابقات المثلثية. تحويل المعادالت الديكارتية اإلى المعادالت القطبية حد د شكل التمثيل البياني لكل معادلة ديكارتية فيما يأتي ثم اكتب المعادلة على الصورة القطبية: ( - ) + = 1 )a التمثيل البياني للمعادلة = 1 ( - ) + هو دائرة طول نصف قطرها ومركزها 0) (,. وإليجاد الصيغة القطبي ة للمعادلة عوض عن ب r cos θ وعن ب. r sin θ ثم ب س ط المعادلة. تاهملااة تهج س ة = r cos θ, = r sin θ بلا س با 1 من تاا ث ن ب س تا ا تاه بمة ث ف تر بلاج مجالبقة ث ثل ر س بق سهة تاا ث ن ا r ( - ) + = 1 (r cos θ - ) + (r sin θ ) = 1 r co s θ - 8r cos θ r si n θ = 1 r co s θ - 8r cos θ + r si n θ = 0 r co s θ + r si n θ = 8r cos θ r (co s θ + si n θ) = 8r cos θ r (1) = 8r cos θ r = 8 cos θ = )b شكل المنحنى الممثل للمعادلة = قطع مكافي رأسه نقطة األصل واتجاه فتحته إلى أعلى. تاهملااة تهج س ة = = r cos θ, = r sin θ r sin θ = (r cos θ ) المتطابقات المثلثية من تاها تجن تج تاهجالبقلا تاهث ث ة تاج اه سلا سلبق ل م هجمل ا ل س تا س رة تاقال ة ا هملاها تا لر ة بلا س بق سهة تاا ث ن ا r co s θ sin θ co s θ = sin θ cos θ. 1 cos θ تاهجالبقلا تان سل ة مجالبقلا تاهق r sin θ = r co s θ sin θ co s θ sin θ cos θ 1 cos θ = r = r tan θ sec θ = r حد د شكل التمثيل البياني لكل معادلة ديكارتية فيما يأتي ثم اكتب المعادلة على الصورة القطبية: - = 1 )B + ( - ) = 9 )A عملية تحويل المعادلة القطبية إلى معادلة ديكارتية ليست مباشرة مثل عملية التحويل من المعادلة الديكارتية إلى المعادلة القطبية ففي التحويل الثاني تلزمنا جميع العلقات اآلتية:. r = +, tan θ =, = r cos θ, = r sin θ الدر س - تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة ا هملاها 5

66 π 5π 7π π θ = π π π π π تحويل المعادالت القطبية اإلى المعادالت الديكارتية 1 5 5π اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني. θ = π )a π 11π 0. Ç تاهملااة تهج س ة بلج tan تاا ث ن tan θ = ب س تاا ث ن ث θ = π tan θ = Ç 5 = Ç = Ç تمثيل هذه المعادلة هو مستقيم يمر بنقطة األصل وميله طريقة بديلة تانقاجلن ا قملن,) π ) (, π ) تاه سجق θ = π تهكر تف لا تا لر ة امهل ( Ç, ) ( Ç, 1) ثج ن مملااة تاه سجق تاهلر بمل ن تانقاج ن = Ç π 5π π π π r = 7 π تاهملااة تهج س ة بج ب تاا ث ن r = + r = 7 r = 9 + = 9 r = 7 )b التحويل اإلى ال صورة الديكارتية نل بم س تاجم سلا تاج ه ن ت سجمهلامل ب ه من = r cos θ, = r sin θ r = cos θ, r = sin θ 7π π π 5π 11π تمثل هذه المعادلة الديكارتية دائرة طول نصف قطرها 7 ومركزها نقطة األصل. 5π π r = -5 sin θ π π π تاهملااة تهج س ة ب س تاا ث ن ث r r = -5 sin θ )c r = -5 sin θ r = -5r sin θ π r = +, = r sin θ + = -5 7π π π 5π 11π = بلك سلثة 5 تكا تاا ث ن ويمكن كتابة المعادلة األخيرة على الصورة =.5 ) ( وتمث ل هذه المعادلة دائرة طول نصف قطرها.5 ومركزها -.5), (0. اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني: r = cos θ )5C θ = π )5B r = - )5A الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

67 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )مثلل 1( ( 1, π ) ) (, π ) ) 1 (.5, 50 ) ) ( 5, 0 ) ) (-1, -70 ) ) (-, π ) ) 5 (-, 70 ) ) 8 ( 1, π ) ) 7 ( -1, - π ) ) 1 0 (, 10 ) ) 9 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )مثلل ( (-1, ) ) 1 ( 7, 10) ) 1 1 (, -1) ) 1 (-, -1) ) 1 (0, -17) ) 1 (, -) ) 1 5 (-1, 1) ) 1 8 ( 1, ) ) 1 7 (, - ) ) 0 (5, -1) ) 1 9 (, Ç ) ) (1, -1) ) 1 ) م صافات: إذا كانت مدرسة نواف تبع د 1.5 mi عن منزله وتصنع زاوية مقدارها 5 شرق الشمال كما في الشكل أدناه فأجب عن الفرعين.a, b )مثلل ) 0.5 mi mi mi a( إذا سلك نواف طريقا ا للشرق ثم للشمال كي يصل إلى المدرسة فكم ميلا يتحرك في كل اتجاه b( إذا كان الملعب على ب عد mi غربا ا و 0.5 mi جنوبا ا ومنزل نواف يمث ل القطب فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة القطبية حد د شكل التمثيل البياني لكل معادلة ديكارتية مما يأتي ثم اكتب المعادلة على الصورة القطبية وعزز إجابتك بتمثيل المعادلة في المستوى القطبي: )مثلل ( اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني وعزز إجابتك بتمثيل المعادلة في المستوى القطبي: )مثلل 5( θ = - π ) r = sin θ ) r = cos θ ) 5 r = 10 ) r = 8 csc θ ) 7 tan θ = ) cot θ = -7 ) 9 r = - ) 8 r = sec θ ) 1 θ = π ) 0 ) زالزل: ت نمذ ج حركة أمواج الزالزل بالمعادلة r = 1. sin θ حيث r مقاسه باألميال. )مثلل 5( a( اكتب معادلة أمواج الزالزل على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني. b( أوجد مركز الزلزال و ص ف المنطقة المتأثرة به. اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني وعز ز إجابتك بتمثيل المعادلة في المستوى القطبي: 1 r = ) cos θ + sin θ r = 10 csc (θ + 7π ) ) r = csc ( θ - π ) ) 5 r = - sec (θ - 11π ) ) r = sec (θ - π ) ) 7 r = 5 cos θ + 5 sin θ co s θ - si n θ ) 8 r = sin ( θ + π ) ) 9 r = cos ( θ + π ) ) 5 0 حد د شكل التمثيل البياني لكل معادلة ديكارتية مما يأتي ثم اكتب المعادلة على الصورة القطبية وعز ز إجابتك بتمثيل المعادلة في المستوى القطبي: - = ) = 1 ) 5 (-) +( - 8 ) = 100 ) 5 ( + ) + ( - ) = 1 ) 5 ( + 5 ) + = 5 ) 5 = - ) = 5 ) 7 = - ) + ( + ) = 9 ) 9 ( - ) + = ) 8 + ( + 1 ) = 1 ) 1 = Ç ) 0 الدر س - تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة ا هملاها 7

68 اكتب معادلة ديكارتي ة وأخرى قطبية لكل منحنى مما يأتي: ) 0 تمثيالت متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلقة بين األعداد المركبة واإلحداثيات القطبية. a( بياني ا: يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (b,a). م ث ل العدد المركب + 8i في المستوى الديكارتي. b( عددي ا: أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع. a ) 5 5 c( بياني ا: عز ز إجابتك في الفرع b بتمثيل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. d( بياني ا: م ث ل بياني ا العدد المركب - + i في المستوى الديكارتي. e( بياني ا: أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d. وم ث ل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. f( تحليلي ا: أوجد العبارات الجبرية التي تبي ن كيفية كتابة العدد المركب a + bi باإلحداثيات القطبية. 5π π 7π π π 8 (, ) π π 8 8 π 1 5π π 0 11π ) 5 ) 5 7 (, 1) 8 (8, ) (, ) (, 9) ) 5 8 جولف: في أحد ملعب الجولف يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية كما في الشكل أدناه. أوجد مساحة المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمث ل القطب لكلتا المعادلتين وأن المسافات ت قاس بوحدة الياردة. ) 1 اكت صف الخطاأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r = sin θ على الصورة الديكارتية فيعتقد توفيق أن الحل هو 1 - ) + في حين يعتقد باسل أن الحل هو ) = 1. = sin أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. ) تحد : اكتب معادلة الدائرة r = a cos θ بالصورة الديكارتية وأوجد مركزها وطول نصف قطرها. r = cos θ + sin θ = 9 ) 5 9 عجلة دو ارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دو ارة 0) (0, وأعلى نقطة فيها 0).(0, ) اكتب: اكتب تخمينا ا يبي ن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبي ة أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية ومتى يكون العكس صحيحا ا. ) برهان: استعمل = r cos θ, = r sin θ إلثبات أن.sin θ 0, cos θ حيث 0 r = sec θ, r = csc θ ) 5 تحد : اكتب المعادلة: r ( co s θ + si n θ) + r (-8a cos θ + b sin θ) = 1 - a - b a( اكتب معادلة العجلة الدو ارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية. a اكتب المعادلة في الفرع b( بالصيغة القطبية. على الصورة الديكارتية. )تكريسلا فك األقواس قبل تعويض قيم r. r تمث ل المعادلة الديكارتية قطعا ا مخروطي ا(. (0, 0) (0, 0) 8 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

69 ,-) في المستوى 7π ) 7 8 أي من النقاط اآلتية يعد تمثيلا آخر للنقطة ) القطبي (, π ) A ( -, π ) B (, -11π ) C ( -, 11π ) D ) 7 9 إذا كان -7, = n m = 5, -, فأي مما يأتي يمث ل k حيث k = n - m -17, 11 A -17, -5 B 17, -11 C -17, 5 D ) 8 0 ما الصورة القطبية للمعادلة = ) - ( + م ث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. )تا ر س 1- ( A (-, 5 ) ) D (1, 15 ) ) 7 C (-1.5, - π ) ) 8 أوجد الزاوية بين المت جهين u, v في كل مما يأتي: )تا ر س - 1( u =, -, v = -5, -7 ) 9 u =,, v = -9, ) 7 0 ) 7 1 طائرات: تتكون مروحة طائرة من 5 شفرات المسافة بين أطرافها المتتالية متساوية. ويبلغ طول كل شفرة منها ft )تا ر س 1- ( C d B A r = sin θ A r = sin θ B D E r = sin θ C r = 8 sin θ D ) 8 1 ما حاصل الضرب االتجاهي للمتجهين: -,, 1 - = v u =, - 1, -, - 10, 10, 5 A - 10, - 10, 5 B - 10, - 10, - 5 C - 10, 10, - 5 D a( إذا كانت الزاوية التي تصنعها الشفرة A مع المحور القطبي فاكتب زوجا ا يمث ل اإلحداثيات القطبية لطرف كل شفرة بفرض أن مركز المروحة ينطبق على القطب. b( ما المسافة d بين رأسي شفرتين متتاليتين حل كال من المعادالت اآلتية باستعمال القانون العام. )مملرة سلبقة( - 7 = -15 ) = 0 ) = 0 ) 7 أوجد طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين في كل مما يأتي وأوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )تا ر س - 1( (, -15, 1), (1, -11, 15) ) 7 5 (-,, 8), (9,, 0) ) 7 (7, 1, 5), (-, -5, -11) ) 7 7 الدر س - تا س رة تاقال ة تا س رة تا لر ة ا هملاها 9

70 المركبة ونظرية ديموافر االأعداد Comple Numbers and De Moivre s Theorem يستعمل مهندسو الكهرباء األعداد المركبة لوصف بعض العلقات في الكهرباء. فالكميات: الجهد E والمعاوقة Z وشدة التيار I ترتبط بالعلقة E = I Z التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد مركب على الصورة a + bj حيث j العدد التخيلي )ويستعمل المهندسون I(. حتى ال يختلط الرمز مع رمز التيار j )اإر صاد: استعملت كلمة المعاوقة بدالا من كلمة المقاومة ألن مجموعة األعداد المستخدمة هنا هي مجموعة األعداد المركبة حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموعة األعداد الحقيقية(. ال صي القطبية لالأعداد المركبة الجزء الحقيقي للعدد المركب الم عطى على الصورة الديكارتية a + bi هو a والجزء التخيلي. bi ويمكنك تمثيل العدد المركب على المستوى المركب بالنقطة (b,a). كما هو الحال في المستوى اإلحداثي فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب. ي عي ن الجزء الحقيقي على محور أفقي ي سم ى المحور الحقيقي في حين ي عي ن الجزء التخيلي على محور رأسي ي سم ى المحور التخيلي. ويمكن تسمية المستوى المركب ب مستوى آرجاند. (i) (R) في العدد المركب a + 0i )الحظ أن = 0 b (. يكون الناتج عددا ا حقيقي ا يمكن تمثيله على خط األعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما 0 b فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. (i) a a + bi (a, b) b (R) (i) a + 0i (R) تذك ر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط األعداد وبالمثل فإن القيمة المطلقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب. فإنه باإلمكان حساب ب عده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس. تاق هة تاها قة ا م ا تاه إ z = a + bi ار ست تكج تض تامه لا تا سلب ة ا تهجا تا تاه إلة بلا س رة تا لر ة تجر ل تهجا تا تاه إلة من تا س رة تا لر ة تكا تا س رة تاقال ة تام س تج ج رل س س تهجا تا تاه إلة سهجمل تج ج ر ل ت ل ث تا س رة تاقال ة تاه سج تاه إ comple plane تاه ر تا ق ق real ais تاه ر تاجخ imaginar ais م سج ت رجلن Argand plane تاق هة تاها قة ام ا م إ absolute value of a comple number تا س رة تاقال ة polar form تا س رة تاهث ث ة trigonometric form تاهق ل س modulus تا سمة argument تات ر تان ن ة ا م ا تر القيمة المطلقة لعدد مركب i (a, b) nth roots of unit z b z = a + bi = a ÇÇÇ + b a R 70 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

71 1 تمثيل االأعداد المركبة واإيجاد قيمها المطلقة م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المرك ب وأوجد قيمته المطلقة: z = - - i )b z = + i )a (a, b) = (-, -1) (a, b) = (, ) i i (, ) (, 1) R R م z = ÇÇÇ a + b تاق هة تاها قة a = -, b = -1 بلاجل س = (- ÇÇÇÇÇÇ ) + (-1) = Ç 5. م تاق هة تاها قة القيمة المطلقة للعدد - i - تساوي. تقريبا ا. a =, b = بلاجل س z = ÇÇÇ a + b = ÇÇÇ + = Ç 5 = 5 القيمة المطلقة للعدد + i تساوي 5. م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: - + i )1B 5 + i )1A i r θ كما ك تبت اإلحداثيات الديكارتية (,) على صورة إحداثيات قطبية فإنه يمكن كتابة اإلحداثيات التي تمث ل عددا ا مركبا ا في المستوى المركب على الصورة القطبية. وت طبق النسب المثلثية التي است عملت في إيجاد قيم, لتمثيل قيم a., b sin θ = b, cos θ = r a r r ث ف إ ب س r sin θ = b r cos θ = a وبتعويض التمثيلت القطبية لكل من b a يمكننا إيجاد الصورة القطبية أو الصورة المثلثية لعدد مركب. تام ا تاه إ تهج س b = r sin θ a = r cos θ بلج تاملم تاهتسج z = a + bi = r cos θ + (r sin θ)i = r(cos θ + i sin θ) في حالة العدد المركب فإن r تمثل القيمة المطلقة أو المقياس للعدد المركب ويمكن إيجادها باستعمال اإلجراء نفسه الذي استعملته إليجاد القيمة المطلقة r. = z = ÇÇÇ a + b ت سم ى الزاوية θ سعة العدد المركب. وبالمثل إليجاد θ من اإلحداثيات الديكارتية ) (, فإنه عند استعمال األعداد المركبة يكون. a عندما < 0 θ = Ta n -1 b a + π أو a عندما > 0 θ = Ta n -1 b a a i (a, b) r θ b a R (a, b) b R تا س رة تاقال ة تج تاهث ث ة ا م ا تاه إ z = a + bi θ) z = r (cos θ + i sin حيث b = r sin θ a = r cos θ r = z = ÇÇÇ a + b a < 0 ان مل θ = Ta n -1 a b + π a > 0 ان مل θ = Ta n -1 a b b إذا كانت < 0 θ = - π b إذا كانت > 0 θ = π تجمل تكذت إلنت = 0 a فإن ال صورة القطبية ت ا تاخ ب ن تا س رة تاقال ة ا م ا تاه إ تهكر تف لا تاقال ة ا م ا تاه إ ثلا س رة تاقال ة ام ا م إ قة تج ا جلبة تام ا تاه إ س ف ننل تس تهكر تف لا تاقال ة ا م ا تاه إ هرق ل ث ت تا ر س ال صعة إهل ث تهكر تف لا تاقال ة ثلكن θ ا ست ر ة م تجنمل ما الا ة ث تااج ة -π < θ < π ال صورة القطبية لعدد مركب الدر س - تهجا تا تاه إلة ن ة ا ه تث 71

72 θ = = Ta n -1 b a + π Ta n π.1 θ = Ta n -1 b a = Ta n -1 Ç 0.1 عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: r = - + 8i )a أوجد المقياس r والسعة θ. االأعداد المركبة بال صورة القطبية تاج س a = -, b = 8 = ÇÇÇ a + b ÇÇÇÇÇ (- ) + 8 = 10 لذا فإن الصورة القطبية للعدد - + 8i هي.1) 10(cos.1 + i sin تقريبا ا. تاج س a =, b = Ç بلاجل س r = = ÇÇÇ a + b ÇÇÇÇÇ + ( Ç ) Ç Ç i )b ال صورة القطبية r (cos θ + i sin θ) خج س الاة ا تا س رة a ثا مثلل r cis θ + - ا 8i تام ا ج تان 10cis.1 ر 10 = ÇÇÇÇÇ (- ) + 8,.1 = Ta n -1-8 لذا فإن الصورة القطبية للعدد Ç i + هي 0.1).(cos i sin تقريبا ا. عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: - - i )B 9 + 7i )A π ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال قيم r, θ كما في اإلحداثيات القطبية (θ,r). كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية وذلك باستعمال قيم r وقيم النسب المثلثية للزاوية θ المعطاة. 5π 7π π z = ( cos في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية.. z = Ç + i sin π مث ل العدد ). الحظ أن قيمة r هي وقيمة θ هي π. (, π ع ي ن اإلحداثيات القطبية ) ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية ثم ب س ط. تا س رة تاقال ة بلك تلا تات ج تاجهل ة تاج ز ل س ( cos π + i sin π ) Ç = + i ( 1 ) = Ç + i فتكون الصورة الديكارتية للعدد ) z = ( cos π + i sin π هي i + تمثيل ال صورة القطبية لعدد مركب وتحويلها اإلى ال صورة الديكارتية π π π i π (, π ) π 5π π R π م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: (cos 5π + i sin 5π ) )B 5 (cos π + i sin π ) )A تحويل االأعداد المركبة م إ ا ا ه ن من تا س رة تاقال ة تكا تا س رة تا لر ة بل سجمهلل تا ل سلة تال لن ة TI - nspire باج سا ة تكا لل Calculate تامللرة ا تا س رة تاقال ة ف ت ج لر. 7 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

73 صرب االأعداد المركبة وق صمتها واإيجاد قواها وجذورها ت عد الصورة القطبية للعدد المركب وصيغ المجموع والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدةا للغاية في ضرب األعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو اآلتي: تا س رة تاقال ة ا م ا ن تاه إل ن z z 1 ث تهج ت س z 1 z = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) r (cos θ + i sin θ ) = r 1 r (cos θ 1 cos θ + i cos θ 1 sin θ + i sin θ 1 cos θ + i sin θ 1 sin θ ) -1 ب i ت سجل تل ق ة ة تا ق تاجخ تا ا بجته = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - sin θ 1 sin θ ) + (i cos θ 1 sin θ + i sin θ 1 cos θ )[ )[ = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - sin θ 1 sin θ ) + i (cos θ 1 sin θ + sin θ 1 cos θ بلك ت i المي متسج إ ل مجالبقجل ج تاهته ج هل تاهته الدر س - تهجا تا تاه إلة ن ة ا ه تث 7 = r 1 r [cos( θ 1 + θ ) + i sin( θ 1 + θ )[ ا م ا ن تاه إل ن ) 1 z = r (cos θ + i sin θ ) z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ ثلكن z 1 z = r 1 r [cos( θ 1 + θ ) + i sin( θ 1 + θ )] ال صرب صيغة r 0 z 0 ر z 1 [( صيغة الق صمة z = r 1 r [cos( θ 1 - θ ) + i sin( θ 1 - θ س ف ل ن س غة تاق سهة ث تاجه ن 51 الحظ أنه عند ضرب عددين مركبين فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين وتطرح السعتين. 5π (cos + i sin على الصورة القطبية ثم عب ر عنه 5π تامللرة تاهمالة غة تا س س بلاجل س ) ( π cos + i sin π أوجد ناتج ) بالصورة الديكارتية. (cos 5π + i sin 5π ) ( cos π + i sin π ) = = () cos ( 5π + π ) + i sin ( 5π + π ) 8 (cos 11π 11π + i sin ) واآلن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. تا س رة تاقال ة 8 (cos 11π 11π + i sin ) بلاجم س ان تان س تاهث ة ) 8 = Ç - i 1 ة تاج ز ل س 8 والصورة الديكارتية Ç - i. (cos 11π 11π + i sin = Ç - i ) فتكون الصورة القطبية للناتج ) صرب االأعداد المركبة على ال صورة القطبية وق صمتها صرب االأعداد المركبة على ال صورة القطبية أوجد الناتج على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي: ( cos π + i sin π ) 5 ( cos π + i sin π ) )A - (cos π + i sin π ) (cos π + i sin π ) )B كما تقدم في مقدمة الدرس فإنه يمكن استعمال قسمة األعداد المركبة للتعبير عن العلقات في الكهرباء.

74 r = r = كهرباء: إذا كان فرق الجهد E في دائرة كهربائية يساوي 150 V وكانت معاوقتها Z تساوي ) - ( j Ω فأوجد شدة التيارI في الدائرة على الصورة الديكارتية باستعمال المعادلة E. = I Z ÇÇÇÇ = 150, θ = Ta n -1 ÇÇÇÇÇ + (- ) = Ç = 0 5, θ = Ta n اكتب كل عدد على الصورة القطبية. ق صمة االأعداد المركبة على ال صورة القطبية 150 = 150 (cos 0 + j sin 0) - j = 5 Ç 5 [cos(-0.) + j sin(-0.)[ تاهملااة تهج س ة بق سهة إ ف ا Z E = 150 (cos 0 + j sin 0), Z = 5 Ç [cos (-0.) + j sin (-0.)] س غة تاق سهة بلاجل س I Z = E I = E Z 150 (cos 0 + j sin 0) I = 5 Ç [cos(-0.) + j sin(-0.)] ح ل I Z = E بالنسبة ل. I I = 150 {cos [0 - (-0.)[ + j sin [0 - (-0.)[} Ç 5 I = 10 Ç 5 (cos 0. + j sin 0.) مهند صو الكهرباء ا ر ممن س تا م بلض ن ا ج ل ج ة ا سنلاة ن ل تاه ت تاه ها تامهي ة تاج تسغ م ن ل إلم ة م إلا تاال تا تجن هة تا تاتر ا مه ن تجنم إهل تاهيرة تام ت مث منجتلا مجم اة ا تاه ه اة تا س لرتا تا ج ته ا واآلن ح و ل شدة التيار إلى الصورة الديكارتية. تا س رة تاقال ة بلك تلا تان س تاهث ث ة ة تاج ز ل س I = = 10 Ç 5 (cos 0. + j sin 0.) 10 Ç 5 ( j ) = j أي أن شدة التيار تساوي ( j 0.1) أمبير تقريبا ا. 5( كهرباء: إذا كان فرق جهد دائرة كهربائية 10 V وكانت شدة التيار ( j 8) + أمبير فأوجد معاوقتها على الصورة الديكارتية. يعود الفضل في حساب قوى األعداد المركبة وجذورها للعالم الفرنسي ديموافر. وقبل حساب قوى األعداد المركبة وجذورها فإن من المفيد كتابة العدد المركب على الصورة القطبية. بإمكاننا استعمال صيغة ضرب األعداد المركبة لتوضيح النموذج الذي اكتشفه ديموافر. أوالا : أوجد z من خلل الضرب. z z بلا س غة تا س س بلاجل س z z = r (cos θ + i sin θ) r (cos θ + i sin θ) z = r [cos (θ + θ) + i sin (θ + θ)[ z = r (cos θ + i sin θ) واآلن أوجد z بحساب. z z بلا س غة تا س س بلاجل س z z = r (cos θ + i sin θ) r(cos θ + i sin θ) z = r [cos (θ + θ) + i sin (θ + θ)[ z = r (cos θ + i sin θ) الحظ أنه عند حساب القوة النونية للعدد المركب فإنك تجد القو ة النونية لمقياس العدد وتضرب السعة في. n 7 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

75 ويمكن تلخيص ذلك على النحو اآلتي: نظرية ديموافر تكذت إلن ) θ z = r (cos θ + i sin ا ا ت م إل ل ا تا س رة تاقال ة إلن nا ا ت س ل م جل ل ثلكن. z n = [ r (cos θ + i sin θ) ] n = r n ( cos nθ + i sin nθ ) θ = Ta n -1 b a Ta n -1 Ç = = = π Ta n -1 Ç تاج س a =, b = Ç بلاجل س بلاجل س أوجد i) Ç ( + وعب ر عنه بالصورة الديكارتية. أوالا : اكتب Ç i + على الصورة القطبية. r = = = = 8 ÇÇÇ a + b ÇÇÇÇÇ + ( Ç ) ÇÇÇ فتكون الصورة القطبية للعدد Ç i + هي ) ( cos π + i sin π 8. واآلن استعمل نظرية ديموافر إليجاد القوة السادسة. تا س رة تاقال ة ن ة ا ه تث بلاجل س بجم س تان س تاهث ث ة بلاجل س ( + Ç i ) = = 8 ( cos π + i sin π ) 8 cos ( π ) + i sin ( π ) = 1 (cos π + i sin π) = 1(1 + 0i ) = 1 اإبراهام ديموافر 17 م 175 م( ر ل س ث ن س ا ف بلان ة تاه سهلة بل سه إجلب ان تهرجهلها م Doctrine of Chances ا ه تث من تا ل س ن تا تا ث تامن سة تاج ة تهرجهلها نظرية ديموافر أي أن = 1 i ) Ç.( + أوجد الناتج في كل مما يأتي وعب ر عنه بالصورة الديكارتية : ( Ç - i ) 8 )B (1 + Ç i ) )A (, 0) (, 0) 10 يوجد للمعادلة = 5 حلن في نظام األعداد الحقيقية هما -,. وي ظهر التمثيل البياني المجاور للمعادلة - 5 = وجود صفرين حقيقيين عند -, = بينما في نظام األعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين وحلين مركبين. درست سابقا ا نتيجة النظرية األساسية في الجبر والتي تنص على وجود n صفرا ا لكثيرة الحدود من الدرجة n في مجموعة األعداد المركبة لذا يكون للمعادلة = 5 (5,0) التي تكتب على الصورة = أربعة حلول أو جذور مختلفة وهي., -, i, - i وبشكل عام فإنه يوجد n جذر نوني مختل ف ألي عدد مركب ال يساوي الصفر بمعنى أنه ألي عدد مركب جذران تربيعيان وثلثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية وهكذا. النظرية االأ صا صية في الجبر هج إث ة ر ا من تا رجة n ر n > 0 تر سا تهج ا ج )رق ق تج م إ ( ث ن ل تهجا تا تاه إلة الدر س - تهجا تا تاه إلة ن ة ا ه تث 75

76 وإليجاد جميع جذور كثيرة حدود يمكن أن تستعمل نظرية ديموافر للوصول إلى الصيغة اآلتية: الجذور المختلفة هج ا ا س م ج n ثلكن ا م ا تاه إ n r (cos θ + i sin (θ من تات ر تان ن ة تاهخج اة غة تا س بل سجمهلل تك تلا ل ه ن r 1 n (cos θ + kπ n θ + kπ + i sin n ) ر k = 0, 1,,, n - 1 ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة إال أنه يمكننا التوقف عندما - 1 n k = وعندما يساوي k العدد n أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار كما يظهر في المعادلة: r = 5π ÇÇÇÇÇÇ (-) + (-) = Ç -1 -, θ = Ta n - + π = k = 0 ان مل تاج نج مالبقة ا زت ة θ + n πn = n θ + π 5π 1 1 θ =, n =, r n = ( Ç ) k = 0 بلاجل س ( Ç ) 1 (cos = 8 Ç أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -. - i أوالا : اكتب - - i على الصورة القطبية. - - i = Ç (cos 5π + i sin 5π ) واآلن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. س غة تات ر تاهخج اة تات ر تهج ل تات ر تاثلن تات ر تاثلا تات ر تا تب k = 1 k = k = = = = = 5π + kπ 5π + i sin + kπ ) cos ( 5π 8 Ç cos ( 5π 1 + kπ ) + i sin ( 5π 1 + kπ ) إليجاد الجذور الرباعية عو ض = 0, 1,, k. 1 + (0)π ) + i sin ( 5π 1 + (0)π ) 8 Ç (cos 5π 1 + i sin 5π 1 ) i 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 1π 1 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 1π 1 + (1)π ) + i sin ( 5π 1 + (1)π ) 1π + i sin 1 ) i 1 + ()π 1 8 Ç cos ( 5π 8 Ç (cos 9π 1 ) + i sin ( 5π 1 + ()π ) 1π + i sin 1 ) i 1 + ()π ) + i sin ( 5π 1 + ()π ) 9π + i sin 1 ) i الجذور الرباعية للعدد - - i هي i, i, i, i 7 جذور العدد المركب 7A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد 7B(. + i أوجد الجذور التكعيبية للعدد. 8 7 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

77 i ( 1.8, 0.8) (0.8, 1.8) R ( 0.8, -1.8) (1.8, 0.8) يمكننا إضافة الملحظة اآلتية حول الجذور المختلفة لعدد وذلك بتمثيلها في المستوى اإلحداثي كما في الشكل المجاور فإن الجذور األربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى الصورة القطبية لكل جذر نجد أن لكل منها مقياسا ا قيمته 1.5 تقريبا ا ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على. الدائرة متساوية وذلك نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة إذ يساوي π تحدث إحدى الحاالت الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1 فعند كتابة 1 على الصورة القطبية فإننا نحصل على = 1 r. وكما ذكرنا في الفقرة السابقة فإن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة من تمثيل الجذور في المستوى اإلحداثي لذا فإن الجذور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة. r = ÇÇÇ = 1, θ = Ta n 0 1 = 0 1 θ = 0, n = 8, r n = 1 8 = 1 1 بلاجل س أوجد الجذور ال ثماني ة للعدد واحد. أوالا : اكتب 1 على الصورة القطبية. 1 = 1 (cos 0 + i sin 0) واآلن اكتب الصيغة للجذور الثماني ة. الجذور النونية للعدد واحد 1 (cos 0 + kπ i sin 0 + kπ 8 ) = cos kπ + i sin kπ الجذور النونية لعدد مركب ن ا ت ر تاهق ل س نا س r 1 n ف θ تهج ل تات ر سمة n ا تهج ا ت ر زاتا تاج تا بلك سلثة π n افترض أن = 0 k إليجاد الجذر األول للعدد. 1 k = 0 cos (0)π + i sin (0)π س غة تات ر تاهخج اة تات ر تهج ل = cos 0 + i sin 0 = 1 ) (-, الحظ أن مقياس كل جذر هو 1. ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة π إلى سعة الجذر السابق. i (, 1 ) 1 1 R 1 (-, ) (, - ) تات ر تهج ل تات ر تاثلن تات ر تاثلا تات ر تا تب تات ر تاخلم س تات ر تا سلا س تات ر تا سلب تات ر تاثلمن cos 0 + i sin 0 = 1 cos π + i sin π cos π + i sin π cos π + i sin π = Ç + Ç i = i cos π + i sin π = -1 cos 5π + i sin 5π cos π + i sin π cos 7π + i sin 7π = - Ç + Ç i = - Ç - Ç i = -i = Ç - Ç i 1, Ç + Ç i, i, - Ç + Ç i, -1, - Ç - Ç i, -i, Ç - Ç الجذور الث ماني ة للعدد 1 هي i كما هو موضح في الشكل أعله. 8A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد. 8B( أوجد الجذور السداسية للعدد واحد. الدر س - تهجا تا تاه إلة ن ة ا ه تث 77

78 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: )مثلل 1( z = + i ) 1 z = - + i ) z = - - i ) z = - 5i ) z = i ) 5 z = 8 - i ) ) 7 متجهات: ت عطى القوة المؤثرة على جسم بالعلقة z = i حيث ت قاس كل مركبة للقوة بالنيوتن ) N (. )مثلل 1( a( م ث ل z كمتجه في المستوى المركب. b( أوجد مقياس واتجاه المتجه. عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: )مثلل ( + i ) i ) 9 - Ç i ) i ) i ) Ç i ) 1 م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثلل ( أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )تاهثلهن ), 5 ( cos π + i sin π ) ( cos π + i sin π ) ) (cos 15 + i sin 15 ) (cos 5 + i sin 5 ) ) 1 9 (cos π + i sin π ) 1 (cos π + i sin π) ) 0 (cos 90 + i sin 90 ) (cos 70 + i sin 70 ) ) 1 ( cos π + i sin π ) (cos π + i sin π ) ) (cos 9π + i sin 9π ) (cos π + i sin π ) ) 1 (cos 0 + i sin 0 ) (cos i sin 150 ) ) (cos π + i sin π ) ( cos π + i sin π ) ) 5 5 (cos i sin 180 ) (cos 15 + i sin 15 ) ) 1 ( cos π + i sin π ) ( cos π + i sin π ) ) 7 أوجد الناتج لكل مما يأتي وعب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثلل ( ( + Ç i ) ) 8 ( cos π + i sin π ) ) 9 ( + i ) - ) 0 ( cos π + i sin π ) ) 1 ) ت صميم: يعمل سالم في وكالة لإلعلنات. ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبي ن أدناه. ويستطيع تعيين رؤوس السداسي بتمثيل حلول المعادلة = في المستوى المركب. أوجد رؤوس أحد هذه األشكال السداسية. )مثلل 7( ( cos π + i sin π ) ) 1 (cos 11π 11π + i sin ) ) 1 5 (cos π + i sin π ) ) 1 (cos 0 + i sin 0 ) 1 7 ) 78 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

79 في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلل تكرار f (z) = z حيث. z 0 = i z 1 = f( z 0 ) حيث z 1, z, z, z, احسب z 5 )a ) 1 z = f( z وهكذا. أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي: )تاهثلهن )7, 8 ) الجذور السداسية للعدد i ) الجذور الرباعية للعدد Ç - i ) 5 الجذور التربيعية للعدد - - i ) الجذور التربيعية للعدد واحد. ) 7 الجذور الرباعية للعدد واحد. ) 8 كهرباء: ت عط ى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة 5(cos j sin 0.9)Ω وت عط ى في الجزء اآلخر من الدائرة بالعبارة 8(cos 0. + j sin 0.)Ω. a( ح و ل كل من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية. b( اجمع الناتجين في الفرع a إليجاد المعاوقة الكلية في الدائرة. c( ح و ل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية. أوجد حاصل الضرب لكل مما يأتي: (1 - i)( + i) ) 9 ( + i)( - i) ) 0 ( - i)( + i) ) 1 (- + 5i)( - i) ) ) ك صريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر وبمقاسات متناقصة كما في الشكل أدناه. b( م ث ل كل عدد في المستوى المركب. c( ص ف النمط الناتج. ) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن (i-1-) هو أحد جذوره الرباعية ثم أوجد جذوره الرباعية األخرى. ح ل كال من المعادالت اآلتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة: = i ) 5 = 81i ) + 1 = i ) 7 ) 8 اكت صف الخطاأ: ي حسب كل من أحمد وباسم قيمة. فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على (- Ç i ). cos 5π ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءا ا + i sin 5π اإلجابة من المسألة فقط. أيهما إجابته صحيحة ب ر ر إجابتك تحد : أوجد الجذور المحد دة على كل من المنحنيين أدناه وعب ر عنها على الصورة القطبية ثم عي ن العدد المركب الذي له هذه الجذور. i ) 9 5π π R π i ) 5 0 π π 5π 7π R الدر س - تهجا تا تاه إلة ن ة ا ه تث 79

80 ) أي مما يأتي يمث ل AB ÆÆÆ وطوله إذا كان 1) B(-5,, A(,, -), - 8, -,, Ç 77 A 8, -,, Ç 77 B - 8, -,, ÇÇ 109 C 8, -,, ÇÇ 109 D (-, 5π ) ما المسافة بين النقطة ) π, ( والنقطة ).97 A.97 B 5.97 C.97 D ) 5 1 برهان: إذا كان ) 1 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ ) z = r (cos θ + i sin θ حيث 0 r فأثبت أن. z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i sin ( θ 1 - θ )[ ) 5 تبرير: ح د د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو غير صحيحة أبدا ا:»إذا كان مرافق العدد المركب z = a + b i هو z = a - b i. فإن z + z, z z تكون أعدادا ا حقيقية.«) 5 م صاألة مفتوحة: أوجد عددين مركبين على الصورة a + b i بحيث 0 b a 0, والقيمة المطلقة لكل منهما Ç 17. مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: )تا ر س 1- ( Q (, - 5π ) ) 5 P(.5, -10 ) ) 5 5 حد د شكل التمثيل البياني لكل معادلة ديكارتية مما يأتي ثم اكتب المعادلة على الصورة القطبية وعز ز إجابتك بتمثيلها في المستوى القطبي: )تا ر س - ) ) أي مما يأتي يمثل تقريبا ا الصورة القطبية للعدد المركب 0-1i 9 (cos i sin 5.7) A 9 (cos i sin 5.5) B (cos i sin 5.7) C (cos i sin 5.5) D ( - ) + = 9 ) 5 + = ) 5 7 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: )تا ر س 1- ( (, π ), (5, π ) ) 5 8 (1, -5 ), (-5, 10 ) ) 5 9 حو ل اإلحداثيات القطبي ة لكل نقطة مما يأتي إلى إحداثيات ديكارتية: )تا ر س - ) ( 5, π ) ) 0 (, 10 ) ) 1 80 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

81 دليل الدرا صة والمراجعة مفاهيم اأ صا صية االإحداثيات القطبية الدر س - 1 ( م ن م تانقاة (θ,r) ث ن ل تهكر تف لا تاقال ة بل سجمهلل تاه سلثة تاهجتمة تازت ة r تاهجتمة. θ المفردات ن ل تهكر تف لا تاقال ة س 5 تاقا س 5 تاه ر تاقال س 5 تهكر تف لا تاقال ة س 5 تاهملااة تاقال ة س 5 تاجهث تاقال س 5 تاه سج تاه إ س 70 تاه ر تا ق ق س 70 تاه ر تاجخ س 70 م سج ت رجلن س 70 تاق هة تاها قة ام ا م إ س 70 تا س رة تاقال ة س 71 تا س رة تاهث ث ة س 71 تاهق ل س س 71 تا سمة س 71 تات ر تان ن ة ا م ا تر س 77 تاه سلثة ب ن تانقاج ن ) P 1 ( r 1, θ 1 ), P ( r, θ ث تاه سج تاقال P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) P (r, θ ) P 1 (r 1, θ 1 ) ال صورة القطبية وال صورة الديكارتية للمعادالت الدر س - ) تهكر تف لا تا لر ة ا نقاة θ) (r cos θ, r sin θ) P(r, اج تكر تف لا نقاة ( P(, من تهكر تف لا تا لر ة تكا تهكر تف لا تاقال ة ت سجمه تاهملاها r = ÇÇÇÇ + θ = Ta n -1 + π تج > 0 ان مل θ = Ta n -1 ان مل < 0 االأعداد المركبة ونظرية ديموافر الدر س - ( اختبر مفردات اختر المفردة المناسبة من القائمة أعاله إلكمال كل جملة مما يأتي: ) 1 هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق معادلة قطبية معطاة. ) المستوى الذي يحوي محور ا يمث ل الجزء الحقيقي وآخر يمثل الجزء التخيلي هو. ) ي حد د موقع نقطة في باستعمال ب عدها المتجه من نقطة ثابتة وزاوية من محور ثابت. ) هي الزاوية θ لعدد مركب مكتوب على الصورة:. r (cos θ + i sin θ ) ) 5 ت سم ى نقطة األصل في نظام اإلحداثيات القطبية ب. ) ت سم ى القيمة المطلقة لعدد مركب ب. ) 7 هو اسم آخر للمستوى المركب. ) 8 هو نصف مستقيم ممتد من القطب وعادةا ما يكون أفقي ا باتجاه اليمين. تا س رة تاقال ة تج تاهث ث ة ا م ا تاه إ a + bi r (cos θ + i sin θ ) z ن z 1 م إل ام ا ن غة تا س س z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 + θ ) + i sin ( θ 1 + θ )] z ن z 1 م إل ام ا ن غة تاق سهة س z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i sin ( θ 1 - θ )], r 0 z = r (cos θ + i sin θ) إلنت تكذت تجن ا ا ه تث ن ة ن س ثلكن م إ تاقال ة ام ا تا س رة z n = r n (cos nθ + i sin nθ ) ر nا ا س م ج الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 81

82 دليل الدرا صة والمراجعة مراجعة الدرو س م ث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: X (1.5, 7π ) ) 1 0 W(-0.5, -10 ) ) 9 Z (-, 5π ) ) 1 Y(, -10 ) ) 1 1 م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: r = 9 θ = 11π ) 1 θ = -0 ) 1 ) 1 r = 7 ) 1 5 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: م ث ل المعادلة = 5 r بياني ا في المستوى القطبي. حلول المعادلة = 5 r هي األزواج المرتبة (θ,5) حيث θ أي عدد حقيقي. ويتكون التمثيل من جميع النقاط التي تبعد 5 وحدات عن القطب لذا فإن التمثيل هو دائرة مركزها القطب وطول نصف قطرها. 5 π 5π 7π π 5π (5, ) π π π (5, π ) 5π π 1 5 r = 5 (5, π) 0 11π 1-1 االإحداثيات القطبية ال صفحات 0 5 ) (-, 0 ), (, 0 ) ) 1 8 ( 5, π ), (, - 7π ) ) 1 7 (7, 5π ), (, π ) ) 0 (-1, -5 ), (, 70 ) ) 1 9 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي حيث - π θ π (-1, 5) ) 1 (, 7) ) ( 1, ) ) اكتب كل معادلة على الصورة الديكارتية وحد د نوع تمثيلها البياني: اكتب المعادلة r = cos θ على الصورة الديكارتية ثم حد د نوع تمثيلها البياني. π 5π 7π π π تاهملااة تهج س ة ب س تاا ث ن ث r = r cos θ, r = + π با من تاا ث ن π r = cosθ π 5π π 11π 0 r = cos θ r = r cos θ + = + - = 0 أي أن الصورة القياسية للمعادلة هي: = 1 ( - 1 ) + وهي معادلة دائرة مركزها (0,1) وطول نصف قطرها 1. - ال صورة القطبية وال صورة الديكارتية للمعادالت ال صفحات 9 1 ) r = 5 ) r = - sin θ ) 5 r = sec θ ) r = 1 csc θ ) 7 8 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

83 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: م ث ل - i في المستوى المركب ثم عب ر عنه بالصورة القطبية. i 8 - االأعداد المركبة ونظرية ديموافر ال صفحات 80 70( z = i ) 9 z = - i ) 8 z = - i ) 1 z = - + i ) 0 - ( cos π 8 8 8R r = (, ) ÇÇÇ a + b عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: i ) + Ç i ) Ç + Ç i ) Ç i ) م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: z = ( cos π + i sin π ) ) z = 5 ( cos π + i sin π ) ) 7 z = - ( cos π + i sin π ) ) 8 z = (cos 5π + i sin 5π ) ) 9 أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: أوجد المقياس. غة تاج س a =, b = - = θ = ÇÇÇÇÇ + (-) = Ç 1 Ta n -1 a b أوجد السعة. غة تاج س a =, b = - بلاجل س = Ta n -1 (- ) فتكون الصورة القطبية للعدد - i هي: تامللرة تاهمالة غة تا س س بلاجل س 0.98)[ sin(- Ç 1 [(cos(- 0.98) + i تقريبا ا. + i sin π ) 7π 5 (cos + i sin 7π أوجد ناتج ) على الصورة القطبية ثم حو له إلى الصورة الديكارتية. - ( cos π + i sin π ) 5 (cos 7π + i sin 7π ) = (- 5) cos ( π + 7π ) + i sin ( π + 7π ) = -15 cos ( 17π 1 ) 1 ) + i sin ( 17π واآلن أوجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. تا س رة تاقال ة بجم س تان س تاهث ث ة ة تاج ز ل س -15 cos ( 17π 1 ) 1 ) + i sin ( 17π = -15 [-0. + i(-0.9) = i فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب i تقريبا ا. - ( cos 5π + i sin 5π ) - ( cos π + i sin π ) ) 0 8 ( cos 5 + i sin 5 ) 1 (cos 10 + i sin 10 ) 1 ) 5 ( cos π + i sin π ) 1 ( cos π + i sin π ) ) ( cos 10 + i sin 10 ) ( cos i sin 150 ) ) ) أوجد قيمة i ) Ç + ( واكتبه على الصورة الديكارتية: ) 5 أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب + i 1. الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 8

84 دليل الدرا صة والمراجعة تطبيقات وم صائل 0 ) األعاب: ق س مت لوحة السهام إلى مناطق كما هو موض ح في الشكل أدناه بحيث يحصل اللعب على 100 نقطة عند إصابته المنطقة القريبة من القطب وعلى 50 نقطة عند إصابته المنطقة المتوسطة و 0 نقطة عند إصابته المنطقة البعيدة. )تا ر س - 1 ( a( إذا أصاب اللعب النقطة (15,.5) فما عدد النقاط التي يحصل عليها b( حد د موقعين بحيث يحصل اللعب على 50 نقطة عند إصابة أي منهما ) 7 حدائ : تستعمل شركة عناية بالحدائق رشاشا ا قابلا للتعديل ويستطيع الدوران 0 ويروي منطقة دائرية طول نصف قطرها. 0 ft )تا ر س - 1 ) a( حد د المنطقة التي يستطيع الرشاش ر ي ها في المستوى القطبي. b( أوجد مساحة المنطقة التي يستطيع الرشاش ري ها إذا ض بط ليدور في الفترة 10 θ -0. ) 8 عجلة دو ارة: يمكن تمثيل مسار العجلة الدو ارة في الشكل أدناه بالمعادلة. r = 50 sin θ )تا ر س - ) ) 9 كهرباء: ت صم م معظم الدوائر الكهربائية لتتحمل جهدا ا قدره 0V. للفرعين a, b استعمل المعادلة E = I Z حيث فرق الجهد E بالفولت والمعاوقة Z باألوم وشدة التيار I باألمبير )قرب إلى أقرب جزء من عشرة(. )تا ر س - ( a( إذا كانت شدة التيار المار بالدائرة ( 5j ) + أمبير فأوجد المعاوقة. b( إذا كانت معاوقة الدائرة 1) - j )Ω فأوجد شدة التيار. ) 5 0 تحويل جوكو صكي :)Jowkoski) ي عي ن تحويل جوكوسكي لكل عدد مركب z = a + bi عددا ا مركبا ا w ي عطى بالصيغة 1 + z. w = أوجد صورة كل من العددين المركبين اآلتيين وفق هذا z التحويل. )تا ر س - ( z = 1 + Ç i )a z = - i )b 5π π π π π π 7π r = 50sin θ π π 0 0 5π 0 11π a( عي ن اإلحداثيين القطبيين لموقع راكب إذا علمت أنه يقع عند π θ. = )قرب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر(. 1 b( عي ن اإلحداثيين الديكارتيين لموقع الراكب مقربا ا إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر. c( إذا وقع القطب على سطح األرض فما ارتفاع ذلك الراكب مقر با ا إلى أقرب قدم 8 الف صل تهكر تف لا تاقال ة تهجا تا تاه إلة

85 اختبار الف صل أوجد ثالثة أزواج مختلفة يمثل كل منها إحداثيات قطبية للنقطة P في كل من التمثيلين 1, حيث -π θ π. ) 1 ) م ث ل بياني ا في المستوى القطبي كال من المعادالت اآلتية: r = 1 ) θ = 0 ) θ = 5π ) r =.5 ) 5 ) 7 رادار: يقوم مراقب الحركة الجوية بتتبع مسار طائرة موقعها الحالي عند النقطة (115,) حيث r باألميال. ) 8 حد د شكل التمثيل البياني للمعادلة = 9 ( - 7 ) + ثم عب ر عنه بالصورة القطبية وعز ز إجابتك بتمثيل المعادلة في المستوى القطبي. ) 9 كهرباء: إذا كان فرق الجهد E في دائرة كهربائية 15V وكانت شدة التيار المار بها I هو ( j ( - أمبير فأوجد معاوقة الدائرة z باإلحداثيات الديكارتية مستعملا المعادلة.E = I Z ) 1 0 اختيار من متعدد: أي مما يأتي يبين تمثيل العدد المركب الذي إحداثياته الديكارتية -1 ), Ç (- في المستوى القطبي 5π π 7π 5π π 7π π π π π P P π π π 5π π 1 5 π π π 5π C A 0 11π π 1 5 5π π 7π π π P π π π 5π π π D B 0 11π 5π π 7π π π π π π 5π π P 11π 5π π 7π 5π π 7π π π π π π π P π 5π π 1 5 π π π 5π 0 11π π 1 5 P 0 11π أوجد كل قوة مما يأتي على الصورة الديكارتية وقرب إلى أقرب عدد صحيح إذا لزم األمر: (-1 + i ) ) 1 1 ( + i ) ) 1 a( عي ن اإلحداثيين الديكارتيين للطائرة. مقر با ا الناتج إلى أقرب ميل. b( إذا و جدت طائرة عند نقطة إحداثياتها الديكارتية (75-,50) فعي ن اإلحداثيين القطبيين لها مقر با ا المسافة إلى أقرب ميل والزاوية إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم األمر. c( ما المسافة بين الطائرتين قر ب الناتج إلى أقرب ميل. الف صل ت جللر الدر س - تاا س 85

86 االحتمال واالإح صاء Probabilit and Statistics ار ست تك تلا تاهج س تاه ز ن تج تاه س رلا تاجتلر تا رت سلا تجإ ن تاج ز ملا تهرجهلا ة هث ي مل تال لن ة تج سجمه مل ث تك تلا تهرجهلل تج سجمه تاقلن ن تاجت ل هك تلا تهرجهلها تج م ز ب ن تام نة تهكر سل ة تاهتجه تهكر سل التربية: سجمه تهرجهلل تهكر سلض ث ارت سة تاا س لا تاج ب ة سجمه ر ت جللر ل تاه س رلا ت تاجتلر اج تاا ت تاجم ه ة تاج ا تكا م تجث س سجمه تهكر سلض ث هث ان تا رجلا ارجلا تاا س ل ب لن ل تج ان مل تاهم ه ن ق ارجلا تااي قراءة صابقة: إ ن ل هة بلهجيس لض تاج م ثمل ان تا تل ف نللج بهل سججم ه ث ت تاا س 8 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

87 للف صل التهي ة اال صتعداد: نل ب ين ا جلجإ من تاهجا للا ت صخي س تا سلبقة 1 ان تج س ة ته جللر تا س ته تج حدد ما إذا كانت الحوادث اآلتية مستقلة أو غير مستقلة. ) 1 اختيار قصة وكتاب آخر ال يمثل قصة من مكتبة. ) اختيار رئيس ونائب رئيس وسكرتير ومحاسب في ناد على افتراض أن الشخص الواحد ال يشغل سوى منصب واحد. ) اختيار طالب ومعلم ومشرف اجتماعي للمشاركة في تنظيم الرحلت المدرسية. مراجعة المفردات التباديل :(Permutations) ل ث مل ممه تاج ن ر من تامنل س اهته اة ن التوافي :(Combinations) ن اهته اة من تامنل س ر ن تاج ث مل مم الحادثتان الم صتقلتان Events) :(Independent ف ه A ن تكذت إلن ترجهلل ر رلافج ن م سجق ج B A ن ث ترجهلل ر B حد د ما إذا كانت كل حالة من الحاالت اآلتية تتطلب تطبيق التباديل أو التوافيق في حل ها: ) اصطفاف سبعة أشخاص في صف واحد عند المحاسب في أحد المتاجر. ) 5 ترتيب أحرف كلمة»مدرسة«. ) اختيار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين نكهات. الحادثتان غير الم صتقلتين Events) :(Dependent غ A ن تكذت إلن ترجهلل ر م سجق ج رلافج ن B A ن با قة مل ترجهلل ر B الحادثتان المتنافيتان Events) :(Mutuall Eclusive ن B A رلافج ن مجنلث ج ن تكذت ا ن امهل مه ن ل ث تا ت نا س نظرية ات الحدين Theorem) :(Binomial تكذت إلن n ا ا ت ل م ل ثلكن (a + b) n = n C 0 a n b 0 + n C 1 a n - 1 b 1 + n C a n - b + + n C n a 0 b n n = k = 0 n! k!(n - k)! an - k b k اكتب مفكوك كل من العبارات اآلتية: ( a - ) ) 7 ( a + b ) ) 8 ( - ) 5 ) 9 ( a + ) 5 ) 1 0 أسئلة تهيئة إضافية على الموقع تج س ة م ة تك سلث ة ا تاه الف صل تاجم ة ا ا س 87

88 التجريبية والم صحية وبالمالحظة الدرا صات Eperiments, Surves, and bservational Studies يرغب الطلب في تشكيل فريق لكرة السلة في مدرستهم وكي يجدوا دعما ا لمشروعهم فقد نف ذوا دراسة مسحية شملت الطلب وأولياء األمور لمعرفة الموافقين منهم والمعارضين. الدرا صات التجريبية والم صحية وبالمالحظة ت ستعمل الدراسات المسحية في جمع البيانات وإذا شملت عملية جمع البيانات جميع الطلب في مدرسة ما نقول: إن الدراسة شملت المجتمع الكلي وفي هذه الحالة ت سم ى هذه العملية تعدادا ا عام ا. أم ا إذا تم اختيار عدد محدود من طلب المدرسة مثل 100 طالب بصورة عشوائية فتكون الدراسة المسحية قد اعتمدت على العينة. وتكون الدراسة المسحية منحازة عندما يتم تفضيل بعض أقسام المجتمع على باقي األقسام فمثلا : إذا شملت الدراسة المسحية الواردة في فقرة لماذا رأي العبي كرة السلة وأولياء أمورهم فقط تكون العينة منحازة. وتكون العينة غير منحازة إذا تم اختيارها عشوائي ا أو إذا لم تكن معتمدة على خاصية للمجتمع تم تحديدها مسبقا ا فإذا أرسلت استبانة في دراسة مسحية ل 100 طالب تم اختيارهم عشوائي ا عندها تكون العينة غير منحازة. 1 ار ست سه م لإلة اجق تهرجهلها تج تا رت سلا تاه س ة تا رت سلا بلاهير ة ة تاجت ل تا رت سلا تجم ز ب ن تهر للا ة تا سلل تا رت سة تاه س ة surve تاهتجه تا population تاجم تا تامل census تام نة درا صات م صحية: حدد ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة وفس ر إجابتك: a( سؤال كل عاشر شخص يخرج من قاعة الندوات عن عدد مرات حضوره ندوات ثقافية لتحديد مدى دعم سكان المدينة للندوات الثقافية. منحازة ألن االشخاص الذين تم سؤالهم قد يختلفون عن سكان المدينة حيث إنهم من الطبقة المثقفة. b( استطالع آراء أفراد في سوق الماشية لمعرفة ما إذا كان سكان المدينة يحبون تربية الماشية أو ال. منحازة ألن المجموعة التي تم مسح رأيها ال ت مث ل بالضرورة رأي أهل المدينة ألنهم غالبا ا ممن يحبون تربية الماشية. c( يحتوي صندوق على أسماء طالب المدرسة جميعهم س حب من الصندوق 100 اسم عشوائي ا وس ئل أصحابها عن رأيهم في مقصف المدرسة. غير منحازة ألن لكل شخص في مجتمع الدراسة الفرصة نفسها ألن يكون ضمن عينة الدراسة الذين است طل عت آراؤهم. حدد ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة وفس ر إجابتك: 1A( سؤال كل العب في فريق كرة السلة عن الرياضة التي يحب مشاهدتها على التلفاز. 1B( الذهاب إلى ملعب كرة القدم وسؤال 100 شخص اختيروا عشوائي ا عن رياضتهم المفضلة. sample تاهن لزة biased تاهن لزة unbiased تا رت سة بلاهير ة observational stud تا رت سة تاجت ل ة eperimental stud تاهته اة تاجت ل ة treatment group تاهته اة تا سلباة control group تهر للا correlation تا سلل ة العينات المنحازة وغير المنحازة causation لتجن ب التحي ز في الدراسات المسحية ال بد من تحق ق أمرين هما عينة عشوائية مناسبة وأساليب غير منحازة إلجراء عملية المسح والعينة العشوائية المناسبة هي عينة غير منحازة حجمها كبير نسبي ا. 88 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

89 درا صات م صحية في المدر صة: يريد خالد أن ي حد د أفضل األماكن للرحلة المدرسية. ما األسئلة التي تعطيه اإلجابة التي يبحث عنها دون تح يز a( هل تحب الذهاب إلى مركز الملك عبدالعزيز التاريخي هذا سؤال منحاز لصالح مكان محدد. b( هل تحب الذهاب إلى حديقة الحيوان أم إلى متنزه سالم هذا سؤال منحاز ألنه يحدد بديلين باالسم. c( أين تفضل أن تذهب في الرحلة هذا سؤال غير منحاز حيث إنه يعطي اإلجابة المرتبطة بهدف السؤال. أي مما يأتي ي حد د المادة األفضل بالنسبة إلى الطالب دون تح يز A( هل تفضل المادة التي خرجت من حصتها اآلن B( أيهما تفضل أكثر: العلوم أو الرياضيات C( ما مادتك المفضلة ت صميم الدرا صات الم صحية تكذت إلنت تام نة من لزة ثلكنمل ا نة اتس ت ة م تام نة من لزة تكذت إلنت تكذت ثق اتس ت ة في الدراسة بالمالحظة تتم ملحظة األفراد دون أي محاولة للتأثير في النتائج. وفي الدراسة التجريبية يتم إجراء تعديل متعمد على األشخاص أو الحيوانات أو األشياء قيد الدراسة وتجرى ملحظة استجاباتهم. درا صة بالمالحظة اختر 100 شخص منهم 50 شخصا ا يخضعون للمعالجة. اجمع البيانات. حلل البيانات وفس رها. درا صة تجريبية من 100 شخص اختر من بينهم 50 شخصا ا عشوائي ا وأخضعهم للمعالجة المقصودة بالتجريب بينما ال تخضع اآلخرين ألي معالجة أو لمعالجة شكلية. اجمع البيانات وحللها. في الدراسة التجريبية ي سم ى األشخاص أو الحيوانات أو األشياء التي تخضع للمعالجة المجموعة التجريبية. أم ا األشخاص أو الحيوانات أو األشياء الذين ال يخضعون للمعالجة أو يخضعون لمعالجة شكلية فيسمون المجموعة الضابطة. وتعطى المعالجة الشكلية لكي ال يعرف أفراد المجموعات ألي المجموعتين ينتمون وتصبح الدراسة التجريبية عندها غير منحازة. حدد ما إذا كان كل موقف مم ا يأتي يمثل دراسة تجريبية أو دراسة بالمالحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن إن وجد تحي ز أو ال. a( اختر 00 طالب نصفهم خضع ألنشطة إضافية في مادة معينة وقارن بين درجاتهم في تلك المادة. هذه دراسة بالملحظة. b( اختر 00 طالب واقسمهم عشوائي ا إلى نصفين وأخضع إحدى المجموعتين إلى برنامج تدريبي معي ن أم ا األخرى فال تخضعها ألي برنامج تدريبي. هذه دراسة تجريبية ألنه تم اختيار المجموعتين عشوائي ا وإحداهما خضعت للبرنامج التدريبي واألخرى لم تخضع ألي برنامج تدريبي وهي دراسة منحازة ألن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي إليها. الدرا صات التجريبية والدرا صات بالمالحظة حد د ما إذا كان الموقف اآلتي يمثل دراسة تجريبية أو دراسة بالمالحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن إن وجد تحي ز أو ال. ( اختر 80 طالبا ا جامعي ا نصفهم درس اإلحصاء في المدرسة الثانوية وقارن نتائج المجموعتين في مساق لإلحصاء تم تدريسه في الجامعة. الدر س - 1 تا رت سلا تاجت ل ة تاه س ة بلاهير ة 89

90 كيف تعرف متى ت ستعمل الدراسات المسحية أو الدراسات التجريبية أو الدراسات بالملحظة تتضم ن الدراسات المسحية اختيار عينات عشوائية من أفراد المجتمع بينما تتضم ن الدراسات التجريبية تعيين المعالجات عشوائي ا على األفراد. وللدراسات التجريبية مجموعات ضابطة إلى جانب المجموعات التجريبية بينما ال توجد مجموعات ضابطة في الدراسات بالملحظة. وفي الدراسات التجريبية فإنك بصفتك باحثا ا تمتلك القدرة على إحداث التغي رات على األفراد وليس لك مثل هذه القدرة في الدراسات بالملحظة. الدرا صات الم صحية والتجريبية وبالمالحظة حدد ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة بالمالحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: a( تريد أن تختبر طريقة معالجة لمرض ما. يستدعي ذلك إجراء دراسة تجريبي ة يكون المستهدفون فيها مرضى يشك لون المجموعة التجريبية وتخضع هذه المجموعة للعلج بينما يخضع أفراد المجموعة الضابطة اآلخرون وهم مرضى كذلك لعلج شكلي. b( تريد أن تجمع آراءا حول القواعد المعتمدة في انتخاب رئيس الصف. يستدعي هذا دراسة مسحية للا راء حيث من األفضل أن تختار أشخاصا ا من الصف بصورة عشوائية لتحصل على عينة غير منحازة. c( تريد أن تعرف ما إذا كان التدخين لمدة 10 سنوات يؤث ر في سعة الرئة أو ال. يستدعي هذا إجراء دراسة بالملحظة تقارن فيها سعة رئة المدخنين لمدة 10 سنوات مع سعة الرئة لعدد مساو لهم من غير المدخنين. حد د إذا كانت الحالة اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة بالمالحظة أو دراسة تجريبية فس ر إجابتك. ( اختير 00 طالب عشوائي ا من مدرسة ثانوية واستطلعت آراؤهم حول وسيلة المواصلت المدرسية في المدارس الثانوية ليضعوا تقييمهم على مقياس متدرج من 1 )ال أوافق مطلقا ا( إلى 5 )أوافق بشدة(. التمييز بين االرتبا وال صببية إن أي علقة ملحظة بين نتائج التجربة والمعالجة ال تعني بالضرورة أن المعالجة هي السبب في النتيجة. فعندما يوجد ارتباط بين ظاهرتين فإن كل من الظاهرتين تؤثر في األخرى وعندما يوجد سببية فإن وقوع ظاهرة معينة يكون سببا ا مباشرا ا في وقوع الظاهرة األخرى. وبينما يكون بيان االرتباط بين ظاهرتين سهل الملحظة فإنه من الصعب البرهنة على وجود سببية بين الظاهرتين. 5 االرتبا وال صببية بي ن ما إذا كانت العبارات اآلتية ت ظهر ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك: a( أظهرت الدراسات أن الطالب يكونون أقل نشاطا ا بعد تناول الغداء. ارتباط. أهملت العبارة العوامل الرئيسة التي تؤث ر في الظاهرتين. b( إذا ر فعت أثقاالا أستطيع االلتحاق بفريق كرة القدم. ارتباط. يوجد عوامل عديدة تتدخل. c( عندما ترى الشمس يكون النهار قد طلع. طريقة جيدة لتحديد السببية هي البحث عن بدائل أخرى تسب ب طلوع النهار وحيث إنها غير موجودة فهي سببية. ال صببية تكذت ا ج تج تانج تة ثلكن ما ت سل ة تا سلل اج س بي ن ما إذا كانت العبارة اآلتية ت ظهر ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك. 5( عندما أدرس أحصل على تقدير ممتاز. 90 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

91 ) 9 ) 1 0 ) 1 1 حد د ما إذا كانت كل من الدراستين المسحيتين اآلتيتين تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة وفس ر إجابتك: )مثلل 1( استطلع رأي كل شخص ثالث يخرج من مطعم للمشويات لمعرفة الوجبة المفضلة للناس. االستفسار من طلب صف معين من المتميزين في مادة العلوم عن أفضل المواد لديهم. االستفسار من الطالب الذي ترتيبه 0 من كل 0 طالبا ا يخرجون من مدرستك عن الطالب الذي سيصوتون له في انتخابات المجلس الطلبي. حد د سؤال الدراسة المسحية الذي تحصل منه على اإلجابة المطلوبة بشكل أفضل. )مثلل ( يريد زاهر أن يحدد فريق كرة القدم األكثر شعبية في المملكة. a( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في مدينة الرياض b( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في المملكة c( ما مدى تقديرك لفرق كرة القدم في المملكة يريد سليمان أن يحدد الرغبة في تكوين أول ناد للشطرنج في المدرسة. a( في أي يوم ترغب في أن تتأخر في المدرسة b( هل تحب الشطرنج c( هل تحب أن تنضم إلى نادي الشطرنج في المدرسة اختر 00 شخص واقسمهم عشوائي ا إلى مجموعتين: إحداهما تقرأ القرآن لمدة ساعة قبل النوم واألخرى ال تفعل شيئا ا ثم قارن بين كيفية نوم كل من المجموعتين. اختر 50 شخصا ا نصفهم في الف رق الرياضية وقارن بين كمية الوقت الذي يمضونه في حل الواجبات. اختر 100 طالب نصفهم في نادي اللغة اإلنجليزية وقارن بين درجاتهم في اللغة اإلنجليزية. حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة بالمالحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: )مثلل ( ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 5 ) 1 تريد اختبار علج لمعالجة الصلع عند الرجال. تريد استطلع آراء أشخاص حول سياسة جديدة لشركة. تريد معرفة ما إذا كان عدد سنوات الركض يؤث ر في حركة الركبة أو ال. تريد معرفة ما إذا كانت المشروبات الغازية تؤث ر في جدار المعدة أو ال. تريد اختبار معالجة معي نة تبعد الحيوانات عن البساتين التي تحوي غزالنا ا. بي ن ما إذا كانت كل من العبارات اآلتية تظهر ارتباطا ا أو سببية وفس ر إجابتك: )مثلل 5( ) 1 7 ) 1 8 عندما أمارس الرياضة أكون في وضع نفسي أفضل. عندما يكون الجو باردا ا وممطرا ا بغزارة ال نذهب إلى المدرسة. ) 1 ) ) ) ) 5 ) 1 9 ) 0 ) 1 ) يريد هاني أن يتعرف الطالب المثالي في المدرسة. من ترى أنه الطالب المثالي في المدرسة a( هل ت فض ل الطالب الذي ال يبادر بالمساعدة أم الذي يبادر بها b( إذا ط ل ب إليك إبداء الرأي فهل تفعل c( عندما يكون الطقس حار ا في فصل الصيف يكثر بيع المشروبات الباردة. كثرة القراءة تجعلك أكثر ذكاءا. دل ت األبحاث على أن من يتقن أكثر من لغة يكون أقل إمكانية لإلصابة بالمرض. النوم بحذائك يؤدي إلى شعورك بالصداع. ) ) ) حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية دراسة تجريبية أو دراسة بالمالحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كال من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن إن كان هناك تحيز أو ال: )مثلل ( قبل االختبار قام المعلم باختيار شعبتين من الصف نفسه بشكل عشوائي وقام بمراجعة المادة لطلب إحداهما بينما لم يراجع المادة لطلب الشعبة األخرى. ثم قام بمقارنة نتائج االختبار لهما. وجد عادل 100 شخص نصفهم متطوعون في مأوى للمحرومين الفقراء وقارن بين متوسطي الدخل السنوي ألفراد المجموعتين. درا صة م صحية: بي ن ما إذا كانت الدراسة المسحية اآلتية تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة فسر إجابتك. استطلع آراء طلب في كلية الطب لمعرفة المهنة المستقبلية المفضلة لدى الشباب. ا صتبانات: توز ع شركة استبانات على العاملين الذين تركوا العمل في الشركة وكان أحد أسئلة االستبانة هو كيف يرى العامل خبرته التي اكتسبها في الشركة هل هذه دراسة مسحية منحازة فس ر السبب. ) 7 ) 8 الدر س - 1 تا رت سلا تاجت ل ة تاه س ة بلاهير ة 91

92 إذا كان -, = u v = 1,, فأوجد كال مما يأتي: )تا ر س )1- u v + u u - v اكت صف الخطاأ: ط لب إلى كل من سامي وهشام أن يصمم دراسة تجريبية غير منحازة. هل وف ق أي منهما في ذلك فس ر إجابتك تحد : كيف تظهر الدراسة المسحية عبر الهاتف تحي زا ا للعينة في النتيجة اكتب: قارن من خلل ذكر أوجه الشبه وأوجه االختلف بين العينة العشوائية في اختيار األفراد من المجتمع الكلي وبين االختيار العشوائي للمعالجة في الوحدات التجريبية. م صاألة مفتوحة: صم م دراسة لكل مم ا يأتي: a( مسحية b( بالملحظة c( تجريبية تبرير: كيف يحدث التحي ز في الدراسة التجريبية وكيف يؤث ر في النتيجة أعط مثاالا على ذلك. أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: )تا ر س 1-( A(,, 7 ), B( 1,, - ) A(, 5, 10), B(7, 1, 8) حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )تا ر س -( (, 90 ) ) 5 (, 10 ) ) ( 1, π ) عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: )تا ر س -( + 8 i ) i ) 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 7 ) 0 ) 1 حدد ما إذا كانت كل حالة من الحاالت اآلتية تمثل دراسة تجريبية أو دراسة بالمالحظة وإذا كانت دراسة تجريبية فحدد المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة ثم بي ن ما إذا كانت منحازة أو ال. ) اختر 0 شخصا ا عشوائي ا وقسمهم عشوائي ا إلى مجموعتين. إحداهما تقوم بالتدريبات الرياضية مدة ساعةا واحدة يومي ا واألخرى ال تقوم بهذه التدريبات ثم قارن بين كتلة الجسم لكل من المجموعتين. اختر 00 طالب نصفهم يمارس كرة القدم وقارن فترة النوم بين المجموعتين. اختر 100 طالب جامعي نصفهم لديه وظيفة بدوام جزئي وقارن معدالتهم التراكمية. ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 9 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

93 معمل الحا صبة البيانية: تقويم البيانات المن صورة Evaluating Published Data يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI - nspire مع تطبيق Spreadsheet لتقويم البيانات التي يمكن الحصول عليها في الواقع. يبين الجدول أدناه عدد السيارات التي باعها معرض للسيارات خلل الفترة وقد قام المعرض بتمثيل هذه البيانات باألعمدة البيانية كما في الشكل المجاور وعرضها في إحدى الصحف وذلك لدعم المقولة بأن مبيعات المعرض تزداد بشكل كبير جد ا. هل هذا صحيح ال صنوات عدد ال صيارات المبيعة تقويم التمثيل البياني للبيانات. الخطوة 1 أدخل البيانات في تطبيق.Spreadsheet اضغط ومنها اختر. اكتب عنوان البيانات (ears) في أعلى العمود (A) و (cars) في أعلى العمود (B). إلدخال فئات السنوات في كل خلية استعمل " " فمثلا إلدخال الفئة األولى من A 1 اكتب "89-85" ثم اضغط وكر ر ذلك لبقية فئات السنوات في الخلية السنوات. B 1 ثم أدخل البيانات لكل فئة من السنوات. استعمل األسهم إلظهار الخلية الخطوة مث ل البيانات التي تم إدخالها باألعمدة. اضغط اختر ears في X list و cars في Summar List و New Page في Displa n إلظهار التمثيل البياني على صفحة جديدة ثم اضغط. لمشاهدة المعلومات عن أي عمود في التمثيل البياني قم باإلشارة إلى ذلك العمود فتظهر معلوماته كما هو موضح في الشكل المجاور. حل ل النتائج قارن تمثيلك البياني بتمثيل الصحيفة. هل يعرض التمثيلن البيانات نفسها 1( أي التمثيلين ي ظه ر زيادة مفاجئة ولماذا ( لماذا اختار المعرض أن يعرض بياناته بهذه الطريقة هل هي مقبولة ولماذا ( التو صع - 1 الدر س - 1 ممه تا رت سلا تا ل سلة تال لن تاجت ل ة ة ق تال تاه س ة لنلا تاهنتس رة بلاهير ة 9

94 االإح صائي التحليل Statistical Analsis شارك أمجد في 18 سباقا ا جبلي ا للدراجات خلل العام الماضي وي مث ل الجدول المجاور الزمن بالدقيقة الذي استغرقه للوصول إلى خط النهاية في كل منها. أي من مقاييس النزعة المركزية يجب أن يستعمله أمجد لوصف هذه األزمنة مقايي س النزعة المركزية البيانات التي تشتمل على متغي ر واحد كما هو الحال في البيانات الموجودة في الجدول ت سم ى بيانات في متغير واحد. ويمكن وصف مثل هذه البيانات بمقياس النزعة المركزية ألنها ت شير إلى متوسط البيانات أو منتصفها )مركزها(. وأبرز هذه المقاييس هو المتوسط والوسيط والمنوال. وعند اختيار مقياس لوصف البيانات يمكن استعمال الجدول أدناه: ت سجمه تاهج س تا س تاهن تل تانل من سهة مته تاق ا ا ا ل تام ا تا تسغ م تاهنج س ان تاق نلزا ل تج سلا ل ث مته اة ب لنلا ا ا ل ث ا ل تج تاهج س ان ج ا ا ا ن ث تاهنج س ث مته اة ب لنلا ا ا ل ز ج تام ا تج تهجا تا تاج م تجإث من ل مج ه ج ث تال لنلا مجا ثة ان مل ن ث تال لنلا مجا ثة ث منج س إل ة ث ت لا ج ه تال لنلا تاق هة تهجإث تر ت تج يس ا ل ب ن تاق a( زمن ال صباق: إشارة إلى البيانات في سباق الدراجات أعاله أي مقاييس النزعة المركزية يالئم البيانات بصورة أفضل ولماذا بما أن البيانات تنتشر وال يظهر فيها قيم متطرفة يكون المتوسط هو األفضل. b( أي من مقاييس النزعة المركزية يناسب البيانات في الجدول المجاور ولماذا بما أنه توجد قيم متطرفة وال يوجد فجوات كبيرة في المتوسط فإن الوسيط أفضل من غيره لتمثيل البيانات. 7:0 :8 :5 :59 :5 7:07 7:9 :50 :5 :9 7:01 :5 7:0 :9 7:09 :51 :57 7:0 1 ار ست تهج سلا تاه ز نة تج م ف مقل س تاجتسجت تج سجمه مقل س تانزاة تاه إز ة تاجتسجت اهقلرنة مته الا من تال لنلا 1( تمنح مؤسسة جائزة كبرى قيمتها 0000 ريال و 0 جائزة أخرى قيمة كل منها 500 ريال أي مقاييس النزعة المركزية يلئم البيانات بصورة أفضل ولماذا تاهجغ variable ب لنلا ث مجغ تر univariate data مق ل س تانزاة تاه إز ة measure of central tendenc تاه م هة parameter تهكر سل Statistic لمتس الج تاهمل نة margin of sampling error مق ل س تاجتسجت measure of variation تاجلل ن variance تهن تف تاهم لر مقايي س النزعة المركزية مقايي س النزعة المركزية standard deviation القيمة المتطرفة تج من تال لنلا تجإل تر ة تج سغ ب ث من بق ة تال لنلا 9 الف صل تهرجهلل تهكر سلض يوجد نوعان من المقاييس يمكن استعمالهما لمجموعة بيانات هما الم عل مة وهو مقياس يصف خاصية في المجتمع الكلي. واإلحصائي يصف خاصية في العينة. ويتم تحديد المجتمع الكلي للدراسة في ضوء الهدف من الدراسة إذا أراد باحث مثلا تعرف مدى رضا معلمي الرياضيات عن المناهج الجديدة في المملكة فإن مجتمع الدراسة يكون جميع معلمي الرياضيات الذين ي درسون المناهج الجديدة في المملكة ولصعوبة إجراء الدراسة على جميع المعلمين فإنه يتم اختيار مجموعة صغيرة منهم إلجراء الدراسة تسمى العينة.

95 ± وعند سحب عينة من مجتمع كلي فهنالك خطورة من وجود خطأ في المعاينة. وكلما زاد حجم العينة قل هامش الخطأ وي ح دد هامش الخطأ الفترة التي تدل على مدى اختلف استجابة العينة عن المجتمع الكلي. ان س ا نة رتهمل n من متجه إ ثلكن ه ن ق لمتس تاخالج ث تاهمل نة بلاق هة في دراسة مسحية عشوائية شملت 18 شخصا ا أفاد 58% منهم أن كرة القدم هي لعبتهم المفض لة. a( ما هامش خطأ المعاينة 1 n Ç 1 = ± هامش خطأ المعاينة Ç n = ± 1 ÇÇ 18 لن ن لمتس الج تاهمل نة n = 18 بلاجل س ±0.01 إذن هامش الخطأ للمعاينة ±.1% تقريبا ا. اأنوا البيانات ه ن س تال لنلا تان ا ة ث تج سنلف مث تاتن س ت تاهمنة ن تامه إهل ه ن تجن ن تال لنلا إه ة نل تة ان تاق ل س مث تاا ل تا زن تا سمة هث تال لنلا ث تاهثلل 1a ب لنلا إه ة هام س خطاأ المعاينة هام س خطاأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضم ن نسبة المجتمع الكلي الذين أفادوا أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة = = 0.01 الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة المجتمع الكلي الذين أفادوا بأن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة تقع بين 55.8% و. 0.1% في دراسة مسحية عشوائية شملت 7 شخصا ا قال 1% منهم: إنهم مرتاحون للنهضة العلمية. A( ما هامش خطأ المعاينة B( ما الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة أفراد المجتمع الكلي المرتاحين للنهضة العلمية مقايي س الت صت تصف مقاييس التشتت مقدار تباعد البيانات أو تقاربها ويوجد مقياسان للتشتت هما التباين واالنحراف المعياري. ويقيس هذان المقياسان مدى تباعد مجموعة البيانات عن المتوسط أو تقاربها منه. ي مث ل الرمز المتوسط للعينة وي قرأ» بار«ويمث ل الرمز µ المتوسط للمجتمع الكلي وي قرأ»ميو«. ويحسب كل من المتوسط للعينة والمتوسط للمجتمع الكلي بالطريقة ذاتها أم ا طريقة حساب االنحراف المعياري لكل من بيانات العينة وبيانات المجتمع الكلي فتختلف وفيما يأتي توضيح لطريقة حساب كل من االنحراف المعياري للعينة s واالنحراف المعياري للمجتمع σ»سيجما«. قانونا االنحرا المعياري عينة مجتمع كلي σ = ÇÇÇÇÇ n ( k - µ ) k = 1 n ر n ا ا تاهتجه s = ÇÇÇÇÇ n ( k - ) k = 1 n - 1 ر n ا ا تام نة الدر س - تاج تهكر سل 95

96 االنحرا المعياري درجات اختبار: حصل طالب المعلم صالح في الفصلين A, B على المتوسط نفسه في اختبار الرياضيات وهو 75. إذا علمت أن درجات الفصلين A, B كما يأتي: تاا س B 100, 100, 90, 10, 100, 95, 10, 95, 100, 100, 85, 15, 95, 0, 95, 90, 100, 100, 90, 10, 100, 100, 5 تاا س A 85, 80, 75, 75, 70, 75, 75, 5, 75, 75, 75, 80, 75, 75, 70, 80, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75 A. أوجد االنحراف المعياري لدرجات الفصل a( الخطوة 1 بما أن المتوسط 75 للفصل جميعها فهو يمثل متوسط المجتمع. ومن هنا فإن:. µ = 75 الخطوة أوجد االنحراف المعياري. ÇÇÇÇÇ n ( k - µ) k = 1 σ = n = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (85-75) + (80-75) + + (75-75) + (75-75).9 تزن تج سل ة تاتلمملا ارجلا ز ا بلاج إ ذا لجم ته جللرتا تاجقلر تهجب ل المتوسط لدرجات الفصل A يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريبا ا.9 B. استعمل الحاسبة البيانية إليجاد االنحراف المعياري للفصل b( اضغط ثم وأدخل القيم )الدرجات(. ولمشاهدة اإلحصائيات اضغط ثم ومنها ثم ثم اضغط المتوسط لدرجات الفصل B يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريبا ا c( قارن االنحراف المعياري في كال االختبارين. تاهم لر تهن تف لن ن االنحراف المعياري للفصل B أكبر بكثير من االنحراف المعياري للفصل A لذا فدرجات الطلب في الفصل A أكثر تجانسا ا أي أن قدراتهم قريبة من بعضها مقارنة بالفصل B التي تضم طلبا ا متفوقين جد ا وطلبا ا دون المتوسط بكثير. المتو صط للمجتمع الكلي ان مل ن تاهج س ا هتجه تا µ مم م ل تاهج س م لن تجن ن ه ا م نة ث تاهملاتلا A( احسب المتوسط واالنحراف المعياري للمجتمع الكلي للبيانات المحد دة في الجدول المجاور. B( ضع 70 مكان 0 ماذا يحصل لكل من المتوسط واالنحراف المعياري أعد الحسابات للتحق ق. ألي مجموعة من البيانات يقع معظمها عادة ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط وتقع البيانات جميعها تقريبا ا ضمن انحرافين معياريين من المتوسط ففي اختبار الفصل (A) للمعلم صالح حيث إن المتوسط 75 واالنحراف المعياري.9 يمكن توضيح ذلك بياني ا على خط األعداد كما يأتي: ± σ ± 1 1σ االنحرا المعياري إ هل إل تهن تف تاهم لر زتا للا تال لنلا ان تاهج س الف صل تهرجهلل تهكر سلض

97 ) 1 حدد ما إذا كان الموقف يمثل مجتمعا ا أم عينة في كل مما يأتي: ي عقد االختبار التحصيلي لجميع طلب الثانوية العامة الراغبين في دخول الجامعات. ي قدر مركز أبحاث عدد ساعات مشاهدة التلفاز أسبوعي ا في منازل المملكة. األعاب اأولمبية: في دراسة مسحية عشوائية شملت 58 شخصا ا أفاد 9% منهم أنهم سيشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز. )مثلل ( a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الكلي الذين سوف يشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز ) 1 ) نشر فيصل استطلعا ا للرأي حول قضية اجتماعية على موقعه اإللكتروني. يقارن محمد نسبة الطلب إلى المعلمين في جميع مدارس المملكة. ريا صة: في دراسة مسحية عشوائية شارك فيها 59 شخصا ا وجد أن 1% منهم يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا. ) 1 ) ) سأل خالد 0 شخصا ا قابلهم في السوق حول المكان المفضل لديهم لقضاء إجازة الصيف. أي مقاييس النزعة المركزية يناسب بصورة أفضل البيانات اآلتية ولماذا )مثلل 1( a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الكلي الذي يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا قيادة: ت حد د عادة السرعات القصوى على الطرقات تفاديا ا للحوادث وفيما يأتي السرعات القصوى (mi/h) للطرقات جميعها في إحدى الدول بين مدنها وقراها. أوجد االنحراف المعياري للسرعات في الجدول أدناه. )مثلل ( ) 1 8, 79, 781, 77, 758 ) 5 ) ال صرعات الق صوى للطرقات جميعها (mi/h) ,.8, 50., 71., , 70, 17, 0, 55, 5,, 58, 0, 9 5, 1,, 59, 1, 55, 9 تغذية: ي وضح الجدول أدناه عدد السعرات لكل طبق خضار. ) 7 ) 8 ) 9 ) 1 0 ) 1 5 الخ صار ز ة بن رة رل إ سل ال صعرات الخ صار ب إ م ا ف جزر سللنخ ال صعرات الخ صار بلذنتلن ثل س ا ل ث ا س ال صعرات تمارين ريا صية: في دراسة مسحية شملت 1 شخصا ا اختيروا بطريقة عشوائية أفاد 78% منهم أنهم يمارسون الرياضة لمدة ساعة أسبوعي ا على األقل. a( ما هامش خطأ المعاينة طق س: يبي ن الجدول أدناه درجات الحرارة أثناء النهار ولمدة أسبوع بالدرجات الفهرنهايتية: اليوم تا سلت تهجر تهكفن ن تاثيفلض تهجربملض تاخه س تاتهمة درجة الحرارة b( ما الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة المجتمع الكلي الذين يمارسون الرياضة ساعة واحدة على األقل أسبوعي ا تدريب: في أثناء التمرين سج ل سلطان األزمنة التي ركض فيها مسافة 0. m أوجد االنحراف المعياري للبيانات في الجدول أدناه. اأزمنة قطع الم صافة 0 m رك ص ا بالثواني ) 1 F 7 F 9 F 70 F 71 F 75 F 7 F ) 1 1 الدر س - تاج تهكر سل 97

98 اختبارات: فيما يأتي درجات صف مكو ن من 50 طالبا ا في اختبار ) من 5 درجة. اكتب: قارن بذكر أوجه الشبه وأوجه االختلف بين المتوسط والوسيط لمجموعة بيانات في متغي ر واحد. ) 1 7 المتو صط لدرجات 50 طالب ا في اختبار من 5 درجة a( قارن بين المتوسط والوسيط للدرجات. حدد إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة وفس ر إجابتك. )تا ر س 1- ( ) ) 5 b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. c( على افتراض أن الدرجة 0.0 كانت خطأا وتم تعديلها إلى.5 كيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التغيير مدار س: يوض ح الجدول أدناه عدد الطلب لكل معلم في مدارس إحدى المناطق التعليمية: قام باحث بإرسال استبانة إلى كل شخص تنتهي بطاقة األحوال الخاصة به برقم معي ن. إيجاد أطوال أعضاء فريق كرة السلة لتحديد المتوسط الحسابي ألطوال طلب المدرسة. أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أو ال. )تا ر س 5-1( ) 1 8 u = 1,, 5, v = -8, 1, 1 u = -,,, v =,, u =,, 5, v = -1, -, -5 u = 8i - 8j + k, v = i + j + k ) ) 7 ) 8 ) 9 عدد الطالب لكل معلم a( ما مقياس النزعة المركزية األنسب لهذه البيانات ولماذا b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقربه إلى أقرب جزء من مئة. م صاألة مفتوحة: أوجد بيانات في متغي ر واحد تهمك وحل لها ثم صف مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت المناسبة لهذه البيانات. تحد : إذا أيد 7% من المستهدفين موضوع دراسة مسحية وكانت الفترة الممكنة لنسبة أفراد المجتمع الكلي المؤيدة هي - 9.%.8% فكم شخصا ا تناولت الدراسة المسحية رأيهم تبرير: حذفت قيمة متطرفة كبيرة من مجموعة بيانات كيف يؤث ر ذلك في المتوسط واالنحراف المعياري لمجموعة البيانات وض ح ذلك. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )تا ر س - ( (, 11) ) 0 ( -9, ) ) 1 (, 1) ) ) اإح صاء: في مجموعة من تسعة أعداد مختلفة أي مم ا يأتي ال يؤث ر في الوسيط A مضاعفة كل عدد B زيادة كل عدد بمقدار 10 C زيادة القيمة الصغرى فقط D زيادة القيمة الكبرى فقط ) 1 9 ) 0 ) 1 تبرير: عند إجراء تحويلت خطية على مجموعة بيانات فإن كل قيمة تزداد أو تنقص بالمقدار نفسه. إذا زيدت كل قيمة بمقدار 10 فكيف يؤث ر ذلك في المتوسط والوسيط واالنحراف المعياري فس ر إجابتك. درجات اختبار: المتوسط لدرجات طلب صف فيه c طالبا ا هو 80 والمتوسط لدرجات طلب صف فيه d طالبا ا هو 85. وعندما c تم حساب المتوسط للصفين معا ا كان 8. ما النسبة d 1 D C B 1 5 A ) ) 98 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

99 الم صرو االحتمال Conditional Probabilit يختبر هيثم دواءا يقي من األمراض. وتوجد مجموعتان من األشخاص إحداهما تجريبية تم إعطاء الدواء الحقيقي ألفرادها بينما تم إعطاء دواء شكلي )غير فع ال( للمجموعة األخرى )المجموعة الضابطة(. وبعد الحصول على النتائج يريد هيثم أن يجد احتمال بقاء المستهدفين أصحاء نتيجة الدواء. وهذا المثال ي فس ر مفهوم االحتمال المشروط. االحتمال الم صرو ي سم ى احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A احتماالا مشروطا ا. ويرمز له بالرمز. A بشرط وقوع الحادثة B ويقرأ احتمال وقوع الحادثة P(B A) تكذت إلنت A, B رلافج ن م سجق ج ن ثلكن تهرجهلل تاهتس ا ا تا لافة B تكذت ا تجن تا لافة A تان ا م ف مت P(A B) P(B A) =, P(A) 0 P(A) ار ست مام تهرجهلل إ ا ة ر سلب تج ترجهلل رلافة تكذت ا تجن رلافة تج مت تج سجمه تات ت ل تاج تثق ة هك تلا ترجهلها متس ة تهرجهلل تاهتس ا االحتمال الم صرو conditional probabilit تات ل تاج تثق contingenc table تاج تر تان سل relative frequenc ألقت عبير مكعب أرقام مرةا واحدةا. ما احتمال ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر فردي توجد نواتج ممكنة من إلقاء مكعب األرقام مرةا واحدةا. لتكن A الحادثة التي يكون فيها العدد الظاهر عددا ا فردي ا. ولتكن B الحادثة التي يظهر فيها العدد. P(A) = 1 P(A B) = 1 P(B A) = P(A B) P(A) = 1 1 = 1 ن ت ذتا ا ا ث ا من ب ن ن ت تر من تان ت تا سجة ث ا هث تام ا ترجهلل تا لافة B ا ه ل بلجن تا لافة مت A 1 P(A) =, P(A B) = احتمال ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر فردي هو االحتمال الم صرو 1( يحتوي كيس على 5 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألخضر واألزرق واألصفر ورق مت بطاقات كل لون باألعداد من 1 إلى 1. إذا سحبت نوال بطاقة فما احتمال أن تحمل هذه البطاقة العدد 1 علما ا بأن ما سحبته كان العدد 11 أو 1 أو 1 الدر س - تهرجهلل تاهتس ا 99

100 الجداول التوافقية يتم في الجداول التوافقية تسجيل بيانات ضمن خليا حيث إن كل خلية من خليا الجدول ت مث ل تكرارا ا أو تكرارا ا نسبي ا منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في الجدول أو منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في الصف الذي تقع فيه الخلية أو منسوبا ا إلى مجموع التكرارات في العمود الذي تقع فيه الخلية ويمكن استعمال الجداول التوافقية في إيجاد االحتمال المشروط. اأدوية: أوجد احتمال بقاء الشخص معافى علما ا بأنه استعمل الدواء التجريبي. عدد األشخاص الكلي في الدراسة ويساوي 000 شخص ويراد إيجاد احتمال H علما ا بأن D قد وقع. P(H D) P(H D) = P(D) = = = 1 لن ن تهرجهلل تاهتس ا P(H D) = , P(D) = بلاجل س احتمال أن يكون الشخص معافى شرط استعماله للدواء التجريبي هو 1. ( أوجد احتمال بقاء الشخص معافى علما ا بأنه استعمل الدواء الشكلي. الجداول التوافقية سه تات ت ل تاج تثق ة تج س ل ج ت ل تر ة ذتا ب م ن الجداول التوافقية الحالة م س( S ) مملثH) ) ا صتعمل الدواء التجريبي (D) عدد اال صخا س ا صتعمل الدواء ال صكلي (P) حل مخت صر ه ن ت ج سلر تا ث تاهثلل بل سجمهلل تات ت ل تاج تثق ة ث سلض تام نة تاهخج س ا تان ته ترجهلل تجن ن تاتسخ س مملث بتس ا ت سجمهلا ا تض تاجت ل P ( H D) = = 1 يمكن استعمال الجداول التوافقية لتمثيل أي عدد من الحاالت الممكنة. يوض ح الجدول أدناه عدد الطالب الجامعيين الذين يمارسون الرياضة بشكل منتظم إذا اختير طالب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني علما ا بأنه في السنة الثالثة. الريا صيون الجامعيون (B) تا ن تاهنجخ سهن ا س سهن تاهنجخ تا ن (A) صنة اأولى صنة ثانية صنةثالثة صنةرابعة % A 1.% B 1.0% C 19.8% D اقراأ فقرة االختبار تريد معرفة احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني (B) علما ا بأنه في السنة الثالثة ) T ). مجموع الطلب هو 1180 طالبا ا. ح ل فقرة االختبار الجواب الصحيح A. P(B T ) = P( B T ) P(T ) = لن ن تهرجهلل تاهتس ا P(B T ) = , P(T ) = % ( أوجد احتمال أن يكون الطالب ممن هم ضمن المنتخب الوطني علما ا بأنه في السنة األولى. 7.7% D 8.% C.5% B.% A 100 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

101 يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء و كرات حمراء و 10 كرات صفراء و كرات بيضاء و 5 كرات خضراء. إذا س حبت كرة واحدة عشوائي ا فأوجد االحتمال في كل حالة مما يأتي: )مثلل 1( أن تكون الكرة خضراء إذا ع لم أنها ليست زرقاء. اختيار من متعدد: ي بي ن الجدول أدناه أعداد الطلب الذين حضروا مباراة كرة قدم والذين تغيبوا عنها من السنوات الجامعية األولى والثانية والثالثة والرابعة. إذا اختير أحد الطلب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون قد حضر المباراة علما ا بأنه من السنة الثالثة. )مثلل ( ) 8 ) 1 أن تكون حمراء إذا ع لم أنها ليست خضراء. رابعة ثالثة ثانية اأولى ) أن تكون صفراء إذا ع لم أنها ليست حمراء وليست زرقاء. أن تكون خضراء أو بيضاء إذا ع لم أنها ليست حمراء. تا س ر تاغ ل ) ) 8.% A تقريبا ا 77.% B تقريبا ا ) 5 أن تكون زرقاء إذا ع لم أنها بيضاء. 8.% C تقريبا ا 91.% D تقريبا ا فح س القيادة: يوض ح الجدول أدناه أداء مجموعة من األشخاص في فحص القيادة علما ا بأن بعضهم أخذ حصصا ا تدريبية تحضيرا ا للفحص والبعض اآلخر لم يأخذ. إذا اختير أحد األشخاص عشوائي ا فأوجد احتمال كل مما يأتي: )مثلل ( ناجح را صب اأخذ ح ص ص ا لم ياأخذ ح ص ص ا 8 18 a( الشخص ناجح علما ا بأنه أخذ حصصا ا. b( الشخص راسب علما ا بأنه لم يأخذ حصصا ا. c( لم يأخذ حصصا ا علما ا بأنه ناجح. اختيار من متعدد: يقارن عادل وإبراهيم وسعود مجموعة أمثال شعبية جمعوها. وتم تمثيل ذلك وفق الجدول المجاور. إذا اختير مثل مما جمعوه عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون المثل اجتماعي ا علما ا بأنه ليس مما جمعه عادل. عادل اإبراهيم صعود فكاهي اجتماعي خليط % A تقريبا ا ) 9 ).8% B تقريبا ا 17.% C تقريبا ا 15.0% D تقريبا ا درو س التقوية: سج لت مدرسة أعداد طلب الصفين الثاني المتوسط والثالث المتوسط المشتركين وغير المشتركين في دروس التقوية. إذا اختير أحد الطلب عشوائي ا فأوجد احتمال كل مم ا يأتي: ) 7 الثاني المتو صط م صارك غير م صارك إذا ألقيت أربع قطع نقد متمايزة مرةا واحدة فأجب عم ا يأتي : 15 ) الثالث المتو صط 1 ما احتمال ظهور شعارين علما ا بوجود كتابة على قطعة واحدة على األقل a( الطالب مشارك في التقوية علما ا بأنه في الصف الثاني المتوسط. ) 1 1 ما احتمال ظهور كتابات علما ا بوجود شعار واحد على األقل ) 1 ) 1 b( الطالب غير مشارك في التقوية علما ا بأنه في الصف الثالث المتوسط. c( الطالب في الصف الثاني المتوسط علما ا بأنه غير مشارك. ما احتمال عدم ظهور أي شعار علما ا بأنه توجد كتابة واحدة على األقل ما احتمال عدم ظهور أي كتابة علما ا بأنه يوجد شعارات على األقل الدر س - تهرجهلل تاهتس ا 101

102 ) 1 ) بطاقات: يحتوي صندوق على 5 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألسود واألخضر واألزرق ورقمت بطاقات كل لون من 1 إلى 1. إذا سحبت بطاقة واحدة عشوائي ا. فما احتمال أن تحمل البطاقة الرقم 9 علما ا بأنها حمراء اللون يبين الجدول أدناه أعداد األلعاب االلكترونية الموجودة لدى شخص. إذا اختيرت لعبة عشوائي ا فأوجد كل من االحتمالين اآلتيين: استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه يمثل v = 0 km/h باتجاه 0 مع األفقي. )تا ر س 1-1( ثقافة مالية: يوض ح الجدول أدناه دخل 1 شركة في األسبوع األول من شهر محرم عام 1 ه بالريال. )تا ر س -( ) 1 ) اللعبة العدد إ ة 5 إ ة س ة م سلراة سللا س لرتا تج a( أن تكون من ألعاب المصارعة علما ا بأنها ليست من ألعاب كرة القدم. b( أن تكون من ألعاب سباق السيارات علما ا بأنها ليست من ألعاب كرة السلة وليست من ألعاب المصارعة. تحد : ألقي مكعب مرقم من 1 إلى خمس مرات متتالية. ما احتمال ظهور الرقم في الرميات الخمس. a( أوجد كل من المتوسط الحسابي والوسيط. b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. c( لنفترض أن تقريرا ا عن الشركات المذكورة ذكر أن القيمة 81 رياالا كانت خطأا وهي في الحقيقة 81. فكيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التعديل حد د إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة. وفس ر إجابتك. )تا ر س -1( ) دراسة مسحية تتناول موظفي مطعم لتقرر أكثر األطباق شعبية. ) 1 ) اكتب: فس ر االختلف بين االحتمال المشروط لحوادث غير مستقلة واالحتمال المشروط لحوادث مستقلة. أعط مثاالا لكل نوع. دراسة مسحية تتناول رأي مرتادي مكاتب البريد لمعرفة أكثر ألوان السيارات شيوعا ا. ) 1 7 إذا كانت A, B حادثتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية ما بحيث كان = 0. B) P(A) = 0., P(B) = 0.5, P(A فما قيمة B) P (A 0. A 0.7 B 0.8 C 0.9 D ) 5 ) تبرير: أي فروع مخط ط الرسم الشجري ي مث ل االحتمال المشروط ارسم مخطط الرسم الشجري واشرح وجهة نظرك. تبرير: إذا ر ميت قطعة نقد بشكل حر 0 مرة وظهرت في كل مرة صورة فما احتمال أن تظهر الصورة في الرمية 1 وضح تبريرك. م صاألة مفتوحة: كو ن جدوالا توافقي ا واحسب احتماالا مشروطا ا يرتبط بالجدول. سحبت كرة بشكل عشوائي من كيس يحتوي على كرتين حمراوين و زرقاء دون إرجاع وكانت زرقاء. ما احتمال سحب كرة زرقاء ثانية ) 1 8 ) 1 9 ) 0 10 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

103 اختبار منت صف الف صل الدرو س من -1 اإلى - حدد ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة وفس ر إجابتك. )تا ر س -1( يتم اختيار كل ثاني شخص يخرج من مجمع تجاري يبيع بالجملة لمعرفة عدد األطفال لديه. يتم اختيار كل عاشر شخص في شركة لمعرفة رأي الموظفين في عملهم. سؤال كل ثاني طالب في مدرسة لمعرفة المعلم المثالي. اختيار من متعدد: حد د أي ا من العبارات اآلتية توضح السببية: )تا ر س -1( A إذا تدر بت كل يوم فستصبح العبا ا محترفا ا في كرة السلة. B إذا قرأت كتابك المقرر فستنجح في االختبار. C إذا تقد مت لعشر وظائف مختلفة فستتلقى عرضا ا من واحدة على األقل. D إذا وقفت بالخارج تحت المطر من دون مظلة فإنك ستبتل. يحاول باحث أن يحدد أثر إضاءة نوع جديد من المصابيح الكهربائية على أزهار للزينة المنزلية حيث قام بتعريض مجموعة من األزهار إلضاءة المصابيح الجديدة ومجموعة أخرى إلضاءة المصابيح العادية. ويبي ن الجدول أدناه أعداد األزهار التي عاشت أو ماتت في المجموعتين. عا ص مات اإ صاءة جديدة اإ صاءة عادية 17 1 ) 8 إذا اختيرت زهرة منها عشوائي ا فما احتمال: )تا ر س -( a( أن تكون من األزهار التي تعرضت إلضاءة المصابيح الجديدة علما ا بأنها عاشت b( أن تكون من األزهار التي عاشت علما ا بأنها تعرضت إلضاءة المصابيح العادية ) 1 ) ) ) ) 9 حدد ما إذا كانت كل من الحالتين اآلتيتين تمث ل دراسة تجريبية أو دراسة بالمالحظة. وإذا كانت دراسة تجريبية فحدد المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة ثم اذكر إن كانت منحازة أو ال: )تا ر س -1( اختر 50 طالبا ا في المرحلة المتوسطة نصفهم من المدارس األهلية وقارن بين عاداتهم الدراسية. إذا ألقي مكعب مرقم من 1 إلى مرة واحدة فما احتمال كل مما يأتي: )تا ر س -( ) 1 0 ظهور عدد فردي علما ا بأن العدد الظاهر أكبر من. ظهور العدد علما ا بأن العدد الظاهر كان زوجي ا. ) 5 1 خ صص لنصف الموظفين الذين اختيروا بطريقة عشوائية ساعة لتناول الغداء وقارن اتجاهاتهم نحو العمل مع بقية زملئهم. أي مقاييس النزعة المركزية تناسب بصورة أفضل البيانات اآلتية ولماذا )تا ر س -( عدد صنوات الخبرة اختيار من متعدد: في القرص ذي المؤشر الدوار المقسم إلى (1) قطاعا ا متطابقا ا ومرقمة باألعداد 1-1. ما احتمال استقرار المؤشر على عدد فردي إذا علم أنه استقر على عدد أكبر من 1 1 A 8 1 B 8 1 C 1 D ) ) ) 7 الف صل ت جللر منج س الدر س - تاا س 10

104 والتوزيعات االحتمالية االحتمال Probabilit and Probabilit Distributions افترض أن شركة لديها شواغر وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم لمقابلة شخصية. إذا تقدم للشركة 8 أشخاص من المنطقة A و 10 أشخاص من المنطقة B وتمت مقابلة المتقدمين واختير منهم بشكل عشوائي فما احتمال أن يفوز بالوظائف أشخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B االحتمال تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معي نة احتماالا. ووقوع الشيء المرغوب فيه ي سم ى نجاحا ا وعدم وقوعه ي سم ى فشالا. ومجموعة النواتج الممكنة ت سم ى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1 كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر. التعبير اللفظي تكذت إلن ا ا م تا تانتل ا رلافة s من تاه تا ا ا م تا تااتس ث تا لافة نا سمل f من تاه تا ثلكن ترجهلل تانتل ج ا تان P(S) إهل ج ترجهلل تااتس ا تان ما P(F ) إ من ترجهلل تانتل ترجهلل تااتس بلامي ج ن ته ج ن s P(S) =, P(F ) = f s + f s + f الرموز رش حت مدرسة 1 طالبا ا من الصف الثاني الثانوي و 1 طالبا ا من الصف األول الثانوي للتنافس على جوائز نظرا ا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين في اليوم األول واختير منهم بشكل عشوائي فما احتمال أن يفوز بالجوائز طالب من الصف األول الثانوي و طالب من الصف الثاني الثانوي الخطوة 1 حد د عدد النجاحات. 1 C 1 C ت ج لر ي من ب ن لال ل 1 من تا س تاثلن ت ج لر ي من ب ن لال ل 1 من تا س تهج ل استعمل التوافيق ومبدأ العد األساسي إليجاد عدد النجاحات. s 1 C 1 C = 1! 9!! 1! 1!! = 100 الخطوة حد د عدد اإلمكانات )عدد عناصر فضاء العينة(. s + f s + f = 8 C = 8!!! = 770 الخطوة أوجد االحتمال = (فوز من األول و من الثاني) P s s + f = ترجهلل تانتل s = 100, s + f = 770 بل سجمهلل ته اة تا ل سلة ار ست ر م سل ج سهن ت سجمهلل تاجللا تاج تث تج تهرجهلها بل سجمهلل تاجللا تاج تث تج تهرجهلها بل سجمهلل تاهجغ تا تامتس ت ة تجإ ن ر س م ل ب لن ة ا ج ز ملا تهرجهلا ة تج سجمه مل تهرجهلل احتمال فوز طلب من الصف األول و من الصف الثاني هو تقريبا ا أو %. probabilit تانتل success تااتس failure ث سلض تام نة sample space تاهجغ تامتس ت random variable تاهجغ تامتس ت تاهنا س discrete random variable تاج ز تهرجهلا تاهنا س discrete probabilit distribution تهرجهلل تان theoretical probabilit تهرجهلل تاجت ل eperimental probabilit تاق هة تاهج مة احتمال النجاح والف صل االحتمال با صتعمال التوافي epected value 10 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

105 1( في المثال 1 إذا كان عدد الذين رشحوا من الصف الثاني الثانوي ومن الصف األول الثانوي 11 وكان عدد الجوائز واختير طلب من الذين رشحوا بطريقة عشوائية فما احتمال أن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف األول لدى صالح أصدقاء تبدأ أسماؤهم باألحرف A, B, C, D, E, F ويتوقع من كل منهم اتصاالا هاتفي ا لالتفاق على موعد رحلة ينوون القيام بها. ما احتمال أن يتصل A أوالا ثم B ثانيا ا ويتصل كل من,D E, F أخيرا ا. الخطوة 1 حدد عدد النجاحات. P تر ة با قة فلن ل B س ج ف تج ه A س ج ث تهج D, E, F من إ س ج استعمل التباديل ومبدأ العد األساسي إليجاد. s s = 1 P = 1! = االحتمال با صتعمال التباديل التباديل والتواف ان مته اة من تهجيسخل س تج تهجيس لض ث ثلكن تاج ن مم ه نمج ان مل ي ل سه اه ة تهجيسخل س تج تهجيس لض ثلكنمل سه ث ق ل الخطوة أوجد عدد عناصر فضاء العينة. s + f = f s + وتمثل عدد الترتيبات الممكنة التصاالت األصدقاء الستة. P =! = 70 الخطوة أوجد االحتمال. s P(S) = s + f = 70 ترجهلل تانتل s =, s + f = بل سجمهلل ته اة تا ل سلة االحتمال المطلوب 0.8% تقريبا ا. ( صباق: اشترك صلح وعبد الل ه وسليم في سباق 00 m مع خمسة رياضيين آخرين. ما احتمال أن ينهي هؤالء الثلثة السباق في المراكز الثلثة األولى المتغير الع صوائي والتوزيع االحتمالي يسمى المتغير الذي يأخذ مجموعة قيم لها احتماالت معلومة متغيرا ا عشوائيا ا. والمتغير العشوائي الذي له عدد محدود من القيم ي سمى متغيرا ا عشوائيا ا منفصالا. والتوزيع االحتمالي المنفصل هو جدول أو معادلة أو تمثيل بياني يربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشوائي المنفصل X مع احتمال وقوعها. ويجب أن يحقق التوزيع االحتمالي الشرطين اآلتيين: احتمال كل قيمة من قيم X محصور بين 0 و 1 أي أن 1 P (X) 0 مجموع كل احتماالت قيم X يساوي 1 أي أن = 1 X ) P( فعند رمي قطعتي نقد متمايزتين مر ةا واحدة فإن فضاء العينة هو {L { T T, T L, L T, L حيث ي مث ل L الوجه الذي يحمل الشعار و T الوجه الذي يحمل الكتابة إذا كان X متغيرا ا عشوائي ا يدل على عدد مرات ظهور الشعار فإن X يأخذ القيم.,0,1 ويمكنك حساب االحتمال النظري لعدم الحصول على شعار أو الحصول على شعار واحد أو الحصول على شعارين ثم تكوين جدول يمثل التوزيع االحتمالي كما يمكنك تمثيله بياني ا كما يأتي: البيانات المنف صلة والبيانات المت صلة ن تال لنلا منا س ة تكذت تجم ن ا تال لنلا مث ا ا تهجرتن ث مزراة ن تال لنلا مج س ة تكذت إلنت لج تج هة ث ثج ة من تهجا تا تا ق ق ة ثهثي تج تل جه تجث تا تام نة هث ب لنلا مج س ة الدر س - تهرجهلل تاج ز ملا تهرجهلا ة 105

106 P(X) X P(0) = 1, P(1) = 1, P() = 1 ي بي ن الجدول أدناه والتمث يل باألعمدة المجاور التوزيع االحتمالي للمتغير. X عدد ال صعارات X االحتمال ) X P( احتماالت المتغيرات الع صوائية ق تج تا مز (1) P ترجهلل تجن X تامتس ت تاهجغ ن م سل ل ا 1 التوزيع االحتمالي المنف صل يوض ح القرص ذو المؤشر الدو ار توزيعا ا احتمالي ا حيث يمكن أن يتوق ف المؤشر على أي من المناطق الملونة (الحظ أن مجموع االحتماالت يساوي 1) a( كو ن تمثيالا باألعمدة لهذا التوزيع االحتمالي. b( استعمل التمثيل باألعمدة لتحد د اللون األكبر إمكانية لوقوف المؤشر عنده ثم أوجد احتماله. أكثر األلوان إمكانية لوقوف المؤشر عنده هو اللون البنفسجي واحتماله يساوي 1.. P أوجد (أخضر أو أزرق) c( احتمال التوق ف عند اللون األزرق أو األخضر هو 1 = ألقي مكعبان مرقمان من 1 إلى وس ج ل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين. A( كو ن جدوالا للتوزيع االحتمالي ومث له بياني ا باألعمدة. B( ما الناتج األكثر إمكانية للوقوع أوجد احتماله.. P أوجد 11) أو (5 )C إن االحتماالت التي تمت دراستها هنا هي احتماالت نظرية ألنها مبنية على افتراضات يتوق ع الحصول عليها بينما االحتماالت التجريبية يتم تقديرها من عدد من التجارب. والقيمة المتوقعة أو التوقع E(X) هي المتوسط الموزون للقيم في التوزيع االحتمالي وينتج هذا المتوسط من خلل اعتماد االحتمال النظري كوزن للمتغير العشوائي. ويخبرك بما يمكن حدوثه على المدى البعيد وذلك بعد محاوالت كثيرة. 10 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

107 أوجد القيمة المتوق عة عند رمي مكعب مرقم من 1 إلى مرة واحدة. القيمة المتوقعة E(X) هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير العشوائي X في احتمال كل منها P(X). E(X) = 1 ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) ( ) ( 1 + ) ( 1 = = 1 =.5 ) القيمة المتوق عة بلاجم س ث لن ن تاهج س تاه ز ن بلا س بلاته قانون االأعدادالكبيرة ن س لن ن تهجا تا تا ل ة ا تجن إ هل تزاتا ا ا م تا تكج تض تاجت بة ت ج تهرجهلل تاجت ل من تاق هة تاهج مة. ( أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعبين مرة واحدة وتسجيل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين. فن: اختار مسؤول متحف للفنون لوحات بشكل عشوائي من بين 0 لوحة لعرضها في أحد المعارض. ما احتمال أن تكون منها لفنان واحد يشارك ب 8 لوحات في المتحف. )مثلل 1( دخل 8 العبين A, B, C, D, E, F, G, H في مباراة إذا اختيرت أسماء اللعبين عشوائي ا فما احتمال أن يكون أول العبين مختارين هم A, C, E, G على الترتيب )مثلل ) مختبر: دخلت طالبات الصف الثالث الثانوي وعددهن إلى مختبر المدرسة. إذا اختارت المعلمة أسماء الطالبات عند الدخول عشوائي ا فما احتمال أن تكون أول ثلث طالبات دخلن المختبر هن جميلة وآمنة وخديجة على الترتيب اأخبار: أجرى موقع إلكتروني مسحا ا للمصادر التي يحصل منها الناس على األخبار بشكل رئيس. والجدول المجاور يبي ن نتائج هذا المسح. )مثلل ( a( بي ن أن هذه البيانات تمث ل توزيعا ا احتمالي ا. جوائز: باع أحد النوادي 500 تذكرة دخول لحضور إحدى مبارياته ثمن الواحدة 10 رياالت وأجري سحب عشوائي على أرقام التذاكر خصصت فيه ثلث جوائز لألرقام الرابحة بحيث تربح تذكرة واحدة الجائزة األولى وقيمتها 1000 ريال وتربح تذكرتان الجائزة الثانية وقيمتها 100 ريال وتربح 5 تذاكر الجائزة الثالثة وقيمتها 50 رياالا. إذا اشترى شخص تذكرة فما القيمة المتوقعة للربح في هذا الموقف )مثلل ( اأزهار: يوض ح التمثيل البياني أدناه عدد األزهار الحمراء عند زراعة بذور P(R = 0) أوجد )a ) 5 ) b( ما احتمال أن تكون زهرتان على األقل حمراوين ) 1 ) ) الم صدر تاج الز تاه ل تهج س لض تا س تهكنج نت م سلار تج االحتمال ) b( إذا اختير أحد الذين شملهم هذا المسح عشوائي ا فما احتمال أن يكون مصدر أخباره الرئيس الصحف أو اإلنترنت c( مث ل البيانات باألعمدة. الدر س - تهرجهلل تاج ز ملا تهرجهلا ة 107

108 تبر عات: قام طلب الصف الثالث المتوسط في مدرسة بجمع بعض األطعمة في طرود للتبرع بها لألسر الفقيرة. ولقد أحصى الطلب أنواع المواد المقدمة كما في الجدول أدناه. كرات زجاجية: لدى شعبان 5 كرة زجاجية 8 منها سوداء و 1 حمراء و 9 خضراء والبقية بيضاء. فإذا سحب كرتين معا ا عشوائي ا. ) 1 1 ) 7 التبر باالأطعمة عدد الطرود النو مل جللا تجرز 1 س ه a( ما الناتج ذو اإلمكانية األقل للوقوع. P أوجد )إحداهما سوداء واألخرى خضراء( b( ) 1 م صابقات: ي بي ن التمثيل باألعمدة احتمال أن يربح كل طالب جائزة a( أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائي ا على القمح. b( أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائي ا على وجبة طعام أو أرز جوائز: تنافس 50 متسابقا ا منهم جاسم وجلل وعلي في سحب عشوائي على أربع جوائز. ما احتمال أن يربح اثنان من األسماء الثلثة المشاركة ) 8 األعاب ريا صية: اختار معلم التربية الرياضية 5 طلب عشوائي ا من بين الطلب البالغ عددهم 1 طالبا ا ليساعدوه على تطبيق بعض األلعاب. ما احتمال أن يختار واحدا ا على األقل من بين عشرة أقارب له يجلسون مع الطلب a( من لديه الفرصة األكبر للربح وما احتمال ربحه جائزة b( أيهما له فرصة أكبر للربح ناصر أم محمد. P أوجد )ربح محمد أو بلل( c( ) 9 درجات: أجري اختبار في الرياضيات لطلب الصف الثالث الثانوي والجدول أدناه ي بين نتائج هذا االختبار اأمطار: التوزيع االحتمالي أدناه يوض ح عدد األيام الممطرة في السنة في إحدى الدول. أوجد القيمة المتوقعة لعدد األيام الممطرة. ) 1 ) 1 0 نتائج اختبار الريا صيات التقدير االحتمال A B C D F a( بي ن أن هذه البيانات تمثل توزيعا ا احتمالي ا. b( إذا اختير أحد طلب الصف عشوائي ا فما احتمال أن يكون تقديره B عدد االأيام االحتمال 1 0 عدد االأيام الممطرة في ال صنة ) 1 بطاقات: ر قمت مجموعة بطاقات على النحو اآلتي: بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8 وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10 و بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم و بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5 وبطاقتان تم ترقيم كل منها بالرقم وبطاقة تم ترقيمها بالرقم. إذا س حبت من هذه البطاقات واحدة عشوائي ا فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة c( مث ل البيانات باألعمدة. 108 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

109 اكت صف الخطاأ: كونت كل من فاطمة وزينب توزيعا ا احتمالي ا باستعمال التمثيل باألعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحا ا فسر إجابتك. يحتوي صندوق على كرات حمراء و كرات صفراء و كرات خضراء وكرتين زرقاوين. ما احتمال سحب كرة ليست صفراء 1 8 A 8 B 1 C 5 8 D ) إذا علمت أن كل من, عدد موجب فأي العبارات التالية تكافي ( 5 ) 5 A 5-1 B ) ) C 5 - D ) 1 تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا:»ي بنى االحتمال النظري على نتائج التجارب«. بر ر إجابتك م صاألة مفتوحة: كو ن توزيعا ا احتمالي ا منفصلا فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها. ) 1 7 أوجد محصلة المتجهين أدناه مستعملا قاعدة المثلث أو متوازي األضلع. ثم حد د اتجاهه بالنسبة لألفقي. )تا ر س 1-1( ) 1 8 w v اكتب المعادلة r = 1 cos θ على الصورة الديكارتية. )تا ر س - ) ) 1 9 ) 0 يحتوي صندوق على كرات بيضاء و كرات حمراء. سحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت األولى حمراء. )تا ر س - ( الدر س - تهرجهلل تاج ز ملا تهرجهلا ة 109

110 الطبيعي التوزيع The Normal Distribution تتراوح قوة الدم )الهيموجلوبين( الطبيعية عند الرجال البالغين في العالم بين 1 إلى 18 جرام/ديسيلتر. التوزيعات الطبيعية والملتوية في التوزيعات االحتمالية المتصلة يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة في فترة من األعداد الحقيقية ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم ومستوى الدهنيات عند األشخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات االحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي. ار ست تاج ز ملا تهرجهلا ة تجر ا مل تكذت إلنت مته اة ب لنلا ل م زاة ل م ل تج م ج ة تج سجمه تاقلن ن تاجت ل هج تهرجهلها تاج ز تهرجهلا تاهج س continuous probabilit distribution تاج ز تاال م خ صائ س التوزيع الطبيعي تاجهث تال لن ا من ن تسل تات س مجهلف بلان سلة ا هج س ث تاه إز ق تاهن تل تا س تاهج س ث ج سل تاهن ن مج س س ه ه ن ا تا سلا تاه ج ث جزتج تاه ر من تاهن ن قج مع أن التوزيع الطبيعي متصل فإن التوزيعات المنفصلة أيضا ا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى ت سم ى توزيعات ملتوية. التواء صالب التواء موجب توزيع طبيعي ملتو اإلى الي صار( ملتو اإلى اليمين( normal distribution تاج ز تاه ج skewed distribution التوزيع مكث ف في اليمين التوزيع مكث ف في اليسار شكل جرس ومتماثل والذيل إلى اليسار والذيل إلى اليمين حدد ما إذا كانت البيانات اآلتية تظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موزعة توزيعا ا طبيعي ا: )a ت صنيف بيانات التوزيع استعمل الجدول التكراري لتمثيل البيانات باألعمدة. وبما أن التمثيل عال في الوسط ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط فإن البيانات ت عتبر موزعة توزيعا ا طبيعي ا. 110 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

111 )b استعمل الجدول التكراري لتمثيل البيانات باألعمدة وبما أن التمثيل عال في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين فإن التوزيع يبدو كأنه ملتو إلى اليمين )التواء موجب(. 1( حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور ت ظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موزعة توزيعا ا طبيعي ا مت صل مقابل منف صل لج تاج ز تهرجهلا تاهنا س ا ا ت م ا ت من تاق لال ل مل ن تجا تا ت س ة تجمل تاج ز تهرجهلا تاهج س ث لج ا ا ت م ا من تاق مج س ة ثج ة تكا نجه ث رلاة تاج ز تهرجهلا تاهج س ن تهرجهلل ان تانقاة تا تر ة سا ت قيا س الحذاء التكرار القانون التجريبي يصف القانون التجريبي خصائص أخرى للتوزيع الطبيعي. ±1σ ±σ ±σ 0.5% % 1.5% % % 1.5% % 0.5% القانون التجريبي µ مج سا م تا تاال تاج ز س ج ة ته بلاخ سل س σ لر تاهم تن تث ق ق ل ل 8% من تال لنلا سهن تااج ة. µ - σ, µ + σ ق ق ل ل 95% من تال لنلا سهن تااج ة. µ - σ, µ + σ ق ق ل ل 99% من تال لنلا سهن تااج ة. µ - σ, µ + σ المتوسط لتوزيع طبيعي وانحرافه المعياري 5. أوجد احتمال أن تزيد قيمة ل عشوائي ا في هذا التوزيع عن (أي أوجد ) >.(P( µ =, σ = 5 التوزيع الطبيعي احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائي ا أكبر من µ - σ أي أكبر من = (5) - هي المنطقة المظللة في الشكل تحت المنحنى الطبيعي. التوزيع الطبيعي ث تا لها جه ممل ت تجن ن ا ا تال لنلا إل ت ا ن تاج ز ل م ل ل ل ق 9 9 P( > ) = ( )% = 97.5% ( أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائي ا في التوزيع الوارد في المثال أقل من 9. الدر س - 5 تاج ز تاال م 111

112 ت م ث ل العينة التي يكون توزيعها توزيعا ا طبيعي ا بمنحنى طبيعي وكأنها مجتمعا ا كلي ا. عينة موز عة توزيع ا طبيعي ا اأطوال: توز ع أطوال 1800 يافع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط in وانحراف معياري يساوي. in a( ما عدد اليافعين اللذين تتراوح أطوالهم بين in و 70 in ارسم منحنى طبيعي ا. تبعد كل من, 70 عن المتوسط انحرافين معياريين لذا فإن 95% من البيانات واقعة بين الطولين., 70 وألن = % 1800 لذا يوجد 1710 يافعين تقع أطوالهم بين in و.70 in 8 70 b( ما احتمال اختيار أحد اليافعين عشوائي ا بحيث يزيد طوله على 8 in من الشكل المجاور القيمة األكبر من 8 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط وتتوز ع األعمار كاآلتي: 1.5% بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين 0% بين انحرافين معياريين وثلثة انحرافات معيارية 0.5% فوق انحرافات معيارية لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من 8 in ( )% = 1% درجات: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوزع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط مقداره 70 كيلوجراما ا وانحراف معياري 10 كيلوجرامات فاعتمد على ذلك في اإلجابة عن السؤالين اآلتيين : A( ما العدد التقريبي للموظفين اللذين تقع كتلهم بين,0 80 كيلوجراما ا B( ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجراما ا ) درجات: يوض ح الجدول أدناه نتائج أحد االختبارات )النهاية العظمى للختبار 0(. حد د ما إذا كانت البيانات تظهر التواءا موجبا ا أو التواءا سالبا ا أو موز عة توزيعا ا طبيعي ا. )مثلل 1( تتوز ع مجموعة بيانات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 11 وانحراف معياري 1. أوجد احتمال اختيار قيمة ل عشوائي ا من هذا التوزيع بحيث تكون أقل من 19 أي أوجد (19 < ). P )مثلل ( ) 1 ) ف ات الدرجات الن صبة الم وية للطالب مدار س: أعطى عمران اختبارا ا قصيرا ا لطلبته وكانت الدرجات موزعة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 1 وانحراف معياري. )مثلل ( a( ما النسبة التي تتوق عها لعدد الطلب الذين تقع درجاتهم بين 19, b( ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلب بين 17 و الف صل تهرجهلل تهكر سلض

113 حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه ت ظهر التواءا موجبا ا أو ) 1 1 التواءا سالبا ا أو موزعة توزيعا ا طبيعي ا: المتنزهات التي ت صهد اأعداد ا كبيرة في زيارتها عدد الزوار باال ال عدد المتنزهات طعام: تتوزع مدة صلحية نوع معين من البطاطس توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 180 يوما ا وانحراف معياري 0 يوما ا. a( ما نسبة المنتج الذي تقع مدة صلحيته بين 150 يوما ا 10 أيام b( ما نسبة المنتج الذي تقع مدة صلحيته بين 180 يوما ا 10 أيام c( ما نسبة المنتج الذي تقل مدة صلحيته عن 90 يوما ا 10 5 ) d( ما نسبة المنتج الذي تزيد مدة صلحيته على 10 أيام طول: تتخذ أطوال 880 طالبا ا في إحدى الجامعات شكل التوزيع الطبيعي بمتوسط مقداره 7 in وانحراف معياري مقداره.5. in ) ثلجإث إذا توز عت البيانات في األسئلة توزيعا ا طبيعي ا وكان المتوسط واالنحراف المعياري لكل منها كما هو موض ح فأوجد االحتمال المطلوب. a( كم طالبا ا تقريبا ا يزيد طوله على 7 in b( ما نسبة الطلبة ال ذين تقع أطوالهم بين 59.5 in و 9.5 in ) 1 صناعة: ت ستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية وتختلف كمية الماء اختلفا ا ضئيلا بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 10 عبوة يتخذ شكل التوزيع الطبيعي بمتوسط 1.1 L وانحراف معياري.0.0 L µ = 7, σ =, P( > 8) µ = 1, σ = 0., P( < 1.) µ =, σ =, P(59 < < 71) µ = 91, σ =, P(7 < < 10) ) 5 ) ) 7 ) 8 بطاريات ال صيارة: إذا ح د د ع مر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط km وانحراف معياري km وتنتج إحدى الشركات 0000 بطارية في الشهر فأجب عما يأتي: a( ما عدد البطاريات التي يتراوح عمرها بين km km b( ما عدد البطاريات التي يزيد عمرها على km c( ما عدد البطاريات التي يقل عمرها عن km d( ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائي ا ويتراوح عمرها بين km km a( كم عبوة تقريبا ا يكون حجم الماء فيها أقل من 1.0 L 1.08 L كم نسبة العبوات التي يكون فيها حجم الماء بين b( و 1.1 L ) 1 اكت صف الخطاأ: تتوز ع أطوال أقطار نوع من األشجار توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط مقداره 11.5 cm وانحراف معياري مقداره.5 cm ومدى بين., 19.8 وقد حاولت كل من مريم وأمينة إيجاد مدى 8% من البيانات التي تقع في وسط التوزيع. أيهما كانت إجابتها صحيحة فس ر إجابتك. ) 9 8% µ σ µ + σ 11.5 ±.5 9 cm - 1 cm 1.cm 8% 11cm 11.5cm 11.5 ± 5.5 cm - 17 cm صحة: يتوزع مستوى الدهنيات )الكولسترول( في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 158. وانحراف معياري.. a( ما نسبة الشباب الذكور الذين تقل نسبة الكولسترول عندهم عن b( كم شخصا ا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين ) 1 0 الدر س - 5 تاج ز تاال م 11

114 تحد : في مستودع لألدوات الكهربائية عدد من المسجلت التي تعمل على البطارية. إذا كانت أعمار البطاريات تتوزع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 8.0 h وانحراف معياري 0.7 h فما عدد المسجلت في المستودع إذا علمت أن هناك 8 مسج لت يزيد عمر بطارياتها على 10.1 h اكتب: اشرح الفرق بين التوزيعات الموجبة االلتواء والتوزيعات السالبة االلتواء والتوزيعات الطبيعية لمجموعة بيانات. أعط مثاالا على كل منها. تبرير: حسب القانون التجريبي فإن معظم البيانات في التوزيع الطبيعي تقع ضمن الفترة ] σ [ µ - σ, µ +. هل هذا صحيح أم خاطي بر ر إجابتك. يتوز ع عمر مصباح كهربائي توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 00 يوم وانحراف معياري 0 يوما ا. كم مصباحا ا يقع عمره بين 0 يوما ا 0 يوما ا 500 A 00 B 5000 C 800 D ) ) 1 5 ) 1 ) 1 7 م صاألة مفتوحة: أوجد بيانات واقعية تبدو كأنها تتوزع توزيعا ا طبيعي ا أعط خصائص هذا التوزيع فيما يتعلق بالمتوسط واالنحراف المعياري. ومث ل البيانات بياني ا. م صاألة مفتوحة: أعط مثاالا على توزيع احتمالي منفصل وآخر متصل. وصف الفرق بينهما. ) ما الوصف األفضل للتمثيل أدناه ) 1 8 ) 1 9 ) 5 طالب: ر ش ح طلب من الصف األول الثانوي و 11 طالبا ا من الصف الثاني الثانوي لتوزيع بعض الطرود على الفقراء. إذا اختير من بينهم طلب عشوائي ا فما احتمال أن تتضم ن العينة طالبين من الصف األول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي )تا ر س -( األعاب: اتفق األصدقاء عادل وعبد الكريم ومحمد أن يتناوبوا على قيادة سيارة كهربائية. ولتحديد من يقود السيارة أوالا اتفق أن يلقي كل منهم حجري نرد ومن يحصل على أعلى مجموع يكون هو من يبدأ بقيادة السيارة. وقد حصل عادل على المجموع 5 وحصل عبد الكريم على المجموع. 7 على افتراض أنه ال يوجد تعادل في نواتج رمي حجري النرد فما احتمال أن يبدأ محمد اللعب )تا ر س -( ج صور: جسر لعبور المشاة فوق مسطح مائي له شكل قوس قطع مكافي فتحته إلى أسفل أوجد معادلة نموذج الجسر مفترضا ا أن نقطة األصل على سطح الماء تحت رأس القطع. )مملرة سلبقة( A توزيع سالب االلتواء B ال يوجد ارتباط C توزيع طبيعي D توزيع موجب االلتواء صناعة: تتوزع قياسات أقطار مجموعة من األقراص المدمجة التي تصنعها إحدى الشركات توزيعا ا طبيعي ا بانحراف معياري مقداره. 10 mm وبمتوسط يبلغ.1 mm a( ما نسبة األقراص المتوقع أن يزيد طول قطرها عن 10 mm b( إذا كانت الشركة تصنع 1000 قرص في الساعة فما عدد األقراص المصنوعة في الساعة الواحدة والتي يتراوح قطر كل منها بين 119 mm, 1 mm ) 0 ) 1 ) 175 ft 5 ft 11 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

115 معمل الجبر: القانون التجريبي والم ينات The Empirical Rule and Percentiles عند معرفة المتوسط واالنحراف المعياري لتوزيع طبيعي تستنتج أن 8%, 95%, 99% من البيانات ستكون ضمن انحراف معياري واحد أو انحرافين معياريين أو ثلثة انحرافات معيارية عن المتوسط على الترتيب وهذا ما ي سم ى القانون التجريبي. ويمكنك استعمال القانون التجريبي لتجد المئينات. والمئين يبين النسبة المئوية من البيانات التي تقل عنه أو تساويه. في اختبار للرياضيات لطالب الصف الثالث الثانوي وجد أن درجات الطالب تتوزع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري 5. % % % % 1.5% 1.5% الخطوة 1 ارسم منحنى طبيعي ا لدرجات الطلب مشابه للشكل المجاور وعي ن عليه المتوسط مضافا ا إليه أو مطروحا ا منه مضاعفات االنحراف المعياري كما هو موضح في الشكل. الخطوة الدرجة 0 هي المتوسط وبالرجوع إلى الشكل يمكن أن ترى أن 50% من الدرجات أقل من الدرجة 0 أو تساويها لذا يمكنك القول: إن الدرجة 0 ت مث ل المئين. 50 ما المئين الذي يقابل الدرجة 5 الخطوة ما المئين الذي يقابل الدرجة 0 الخطوة ما قيمة المئين 99 تمارين: ارسم منحنيات تشبه المنحنى في الخطوة 1 ثم حد د المئينات والدرجات التي تقابلها في كل مما يأتي: 1( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الفيزياء موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 15 وانحراف معياري فأوجد المئينات التي تقابل الدرجات. 1, 15, 1 ( إذا كانت درجات الطلب في اختبار مادة الكيمياء موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري فأوجد الدرجات التي تقابل المئينات. 8, 50, 99 التو صع - 5 ممه تاتل الدر س تاقلن ن 5 - تاجت ل تاج ز تاه تاال م نلا 115

116 ات الحدين التوزيعات Binomial Distributions في لعبة الكرة الطائرة تبين أن اللعب سلمان ينجح في لعب اإلرسال الساحق الذي ال يصده الخصم في % من محاوالته وبذلك يحصل فريقه على نقطة في كل مرة ينجح فيها. توزيع ات الحدين كثير من التجارب االحتمالية يكون لها نتيجتان فقط نجاح أو فشل. فمثلا في مسائل االختيار من متعدد التي لها 5 إجابات يمكن تصنيف نتائج اإلجابة عن كل فقرة صح أو خطأ ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فعال أو غير فع ال. ار ست ت سجمهلل ن ة ذتا تا ن تج ترجهلل تلر ذتا تا ن تج تهرجهلها بل سجمهلل ز ذتا تا ن ما إ تجربة ات الحدين ة ته تاتس ا ق ترجهلا ة ت بة ذتا تا ن ت بة n )تاه تا( تاه سجق ة من تاه ل ها م ا ام ا تاجت بة تكج تض ملا ا م ل اة نج تجلن مج مجلن نتل S تج ثتس F ترجهلل تانتل P(S) تج p نا س ث إ م ل اة ترجهلل تااتس P(F) تج q نا س ث إ م ل اة 1 - p سل من تاه ل ها n ث تانتل م تا ا ا X تامتس ت تاهجغ هث ت بة ذتا تا ن binomial eperiment ز ذتا تا ن binomial distribution 11 الف صل تهرجهلل تهكر سلض 1 تمييز التجربة ات الحدين حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,n,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. a( ت بي ن نتيجة لمسح إحصائي داخل إحدى المدارس أن 8% من الطالب يمتلكون حاسبة بيانية. إذا تم اختيار طالب عشوائي ا وسؤالهم عم ا إذا كانوا يمتلكون هذه اآللة وكان المتغير العشوائي X ي مث ل عدد الطالب الذين يملكون الحاسبة البيانية فإن: هذه التجربة تحقق شروط التجربة ذات الحدين وهي: كل طالب تم اختياره ي مث ل محاولة وعملية اختيار الطلب محاوالت مستقلة. للتجربة نتيجتان متوقعتان: الطالب يملك الحاسبة البيانية S أو ال يملكها. F احتمال النجاح نفسه لكل طالب تم اختياره = 0.8 P(S). وفي هذه التجربة = 0.8 P(S). n =, p = احتمال الفشل q = 1 - p أي أن: = = 1 - q. وي مث ل X عدد الطلب الذين يملكون حاسبة بيانية من ال ذين تم اختيارهم أي أن:. X = 0, 1,,,, 5, b( يحتوي صندوق على 5 بطاقة وخص ص لكل 1 بطاقة أحد األلوان اآلتية: األحمر األسود األخضر األبيض سحبت منه 5 بطاقات الواحدة تلو األخرى دون إرجاع. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد البطاقات المسحوبة ذات اللون األخضر.. 1 في هذه التجربة كل بطاقة يتم سحبها ت مث ل محاولة واحتمال أن تكون البطاقة من اللون األخضر 1 = 5 وبما أنه يتم االحتفاظ بالبطاقة التي تم اختيارها )السحب دون إرجاع( فإن المحاوالت غير مستقلة واحتمال النجاح في كل محاولة يختلف عن األخرى لذا فإن هذه التجربة ليست ذات حدين.

117 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,n,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. 1A( أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموح د أن 1% يحبون الزي الجديد وأن % ال يحبونه. إذا تم اختيار 0 طالبا ا بشكل عشوائي وسؤالهم عم ا إذا كانوا يحبون الزي الجديد. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلب الذين يحبون الزي الجديد. 1B( أجاب خالد عن اختبار مكو ن من 0 فقرة من نوع»االختيار من متعدد«لكل فقرة منها أربع إجابات واحدة فقط صحيحة )دون معرفة علمية بموضوع االختبار(. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد اإلجابات الصحيحة. ي سمى توزيع النتائج المتوق عة لتجربة ذات حدين واالحتماالت المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب. (p + q ) n التي تمثل حد ا في مفكوك n C االحتماالت في هذا التوزيع باستعمال الصيغة p q n ترجهلل تانتل ث م ة من n من تاه ل ها تاه سجق ة ث ت بة ذتا تا ن P() = n C p q n - n! = (n - )!! p q n - ر p ترجهلل تانتل q ترجهلل تااتس ث تاه ل اة تا تر ة اختبار: في اختبار نهائي أكد 5% من الطالب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طالب عشوائي ا وتم سؤالهم عما إذا أدوا االختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي Xيدل على عدد الطالب الذين أجابوا بنعم عن السؤال فكو ن توزيع ذات الحدين ومث له باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب طالب على األقل عن السؤال بنعم. هذه تجربة ذات حدين فيها = = q. n = 5, p = 0.5, استعمل الحاسبة البيانية TI - nspire لحساب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعملا صيغة احتمال ذات الحدين. P(0) = 5 C P(1) = 5 C P() = 5 C P() = 5 C P() = 5 C صيغة احتمال ات الحدين توزيع ات الحدين P(X) P(5) = 5 C وفيما يأتي التوزيع االحتمالي للمتغير X وتمثيله باألعمدة. X P( X ) X ح صاب احتمال ات الحدين هك تلا إ ترجهلل ا تا تا ن ا تا ل سلة تال لن ة ت سجمه تهجم binompdf(n, p, ) من. Calculate ل هة مثلل binompdf(5, 0.5, 1) 0.18 سل الدر س - تاج ز ملا ذتا تا ن 117

118 إليجاد احتمال أن طلب على األقل أجابوا بنعم أوجد (5)P. ()P + ()P + P(X ) = P() + P() + P(5) = ترجهلل ي ا تهج P() = 0.181, P() = 0.09, P(5) = بلاجل س = 0.5 =.5% ( كليات: يدرس في إحدى الكليات 8% من الطلب لغة عالمية خلل سنة التخرج. إذا اختير 7 طلب خريجين عشوائي ا وتم سؤالهم عم ا إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم األخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلب الذين أجابوا بنعم فكو ن توزيع ذات الحدين ومث له باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من طلب بنعم. اختيار االحتماالت تجر لن ل ن من تهج سم تجن ا ترجهلل تااتس ت تانج تة من 1 اجت ترجهلل تانتل سه تهرجهلهن ث مث تا لاة ترجهلا ن مججلم ن تستعمل الصيغ اآلتية إليجاد المتوسط )الوسط( والتباين واالنحراف المعياري لتوزيع ذات الحدين. ة ته بلا س X ن ر ذ اتس ت اهجغ تاهم لر تهن تف تاجلل ن )تا س ( تاهج س س المتو صط الو صط( µ = np التباين σ = npq االنحرا المعياري npq σ = Ç σ = ÇÇ المتو صط الو صط( والتباين واالنحرا المعياري لتوزيع ات حدين المتو صط والتباين واالنحرا المعياري لتوزيع ات الحدين اختبار: ي بي ن الجدول أدناه التوزيع ذات الحدين في المثال. أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري لهذا التوزيع ث م فس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. X P( X ) استعمل صيغ المتوسط والتباين واالنحراف المعياري لتوزيع ذات الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين. n = 5, p = 0.5, q = 0.5 µ = np = 5 (0.5) = 1.75 σ = npq = 5 (0.5)(0.5) = σ = Ç σ = ÇÇÇ متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريبا ا ويعني أن طالبين تقريبا ا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين واالنحراف المعياري يساوي 1.1 تقريبا ا. ( كليات: أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع الذي كو نته في تحقق من فهمك وفس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. 118 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

119 عندما يزداد عدد المحاوالت في تجربة عشوائية ذات حدين يمكن استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب توزيع ذي الحدين. ث ز ذتا تا ن ان مل هث n ا ا تاه ل ها ترجهلل تانتل ترجهلل p تااتس ن q = n p م بهج س ل ز تكا ذتا تا ن ز ق ه ن n p 5, n q 5 n p q مم لر تن تف. σ = ÇÇ تقريب توزيع ات الحدين اإلى التوزيع الطبيعي أشارت دراسة سابقة إلى أن % من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نف ذ بالل دراسة مسحية على 00 من الخريجين عشوائي ا. ما احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل على ما جاء في الدراسة اإلحصائية السابقة 1.5% تقريب توزيع ات الحدين اإلى توزيع طبيعي التقريب من خالل التوزيع الطبيعي سجمه تاجق من يل تاج ز تاال م هجن م ز لاة سل n ت سجمهلل ز ذ تا ن هك تلا تهرجهلل اه ة ممق ة سملة % 0.5% 19 σ في التوزيع السابق: n = 00, p = 0., q = 0. وحيث إن: n p = 00 (0.) = 19 > 5 n q = 00 (0.) = 108 > 5 يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب االحتمال على النحو اآلتي: تاهج س ا ج ز تاال م n = 00, p = 0. تهن تف تاهم لر ا ج ز تاال م n = 00, s = 0., f = 0. بل سجمهلل ته اة تا ل سلة = n p = 00(0.) = 19 σ = ÇÇ n p q = ÇÇÇÇÇÇ 00(0.)(0.) 8.1 يقع العدد 00 فوق المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد لذا يكون احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل يساوي 1% تقريبا ا. ( أشارت دراسة سابقة إلى أن % من أولياء األمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام اإلجازة الصيفية للطلب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 50 من أولياء األمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال أال يرى أكثر من 5 من أولياء األمور وجوب تقليل عدد أيام اإلجازة الصيفية الدر س - تاج ز ملا ذتا تا ن 119

120 ) 9 ) 1 0 ) 1 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 5 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها ذات حدين. وإن كانت كذلك فاكتب قيم n, p, q ثم اكتب كل قيم المتغير العشوائي الممكنة. وإذا لم تكن تجربة ذات حدين فبي ن السبب. )مثلل ) 1 تم ترقيم أوجه مكعب باألرقام من 1 إلى ثم أ لقي المكعب 10 مرات والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم. 5 أ لقيت قطعة نقد 0 مرة والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة. سألت 15 شخصا ا عن أعمارهم والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤالء األشخاص. صندوق به 5 كرة منها 1 كرة حمراء و 1 كرة زرقاء و 1 كرة بيضاء و 1 كرة صفراء. سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع. والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة. كو ن توزيع ذات الحدين لكل متغير عشوائي مما يأتي ومث له باألعمدة ثم أوجد المتوسط وفس ر معناه في سياق الموقف ثم أوجد التباين واالنحراف المعياري. )تاهثلهن ), إذا كان % 89 من طلب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني وتم اختيار 5 طلب عشوائي ا من هذه المدرسة وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني. بي نت دراسة أن % من موظفي إحدى الشركات يستعملون اإلنترنت في عملهم. إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة عشوائي ا وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون اإلنترنت في عملهم. أفادت دراسة إحصائية أن % 5 من طلب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة األمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طلب عشوائي ا ممن يمتلكون سيارات وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم. اأعمال صيفية: تبين في دراسة سابقة أن 90% من طلب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية لكن منذرا ا قد ر أن النسبة أقل من ذلك لذا قام بدراسة مسحية شملت 00 طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أال يكون أكثر من 8 من الطلب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي )مثلل ( رخ صة قيادة: اعتمادا ا على إحدى الدراسات المسحية السابقة إذا علمت أن 85% من طلب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة فما احتمال أن يكون طلب على األقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائي ا لديهم رخص قيادة سيارة كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم 75.7% من مبارياته. أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على األقل من بين مبارياته العشر القادمة. ريا صيون: وفق بعض الدراسات الحديثة إذا علمت أن 80% من طلب المدارس الثانوية شاركوا في رياضة واحدة على األقل في مدرستهم إذا اختير طلب عشوائي ا وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على األقل. a( فأوجد االحتماالت المرتبطة بعدد الطلب الذي يمارسون رياضة واحدة على األقل. b( فما احتمال أال يزيد عدد الذين شاركوا في رياضة عن طالبين غ صيل صيارات: يقوم بعض األشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين. وقد أفادت دراسة مسحية أن 5% من الزبائن يدفعون أكثر من الحد األدنى ألجرة غسيل سياراتهم. ما احتمال أن يدفع أربعة على األقل من خمسة زبائن مبلغا ا أكثر من الحد األدنى لألجر. حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن 0% من علب العصير تربح علبة مجانية وقد اشترت سعاد 10 علب. مث ل باألعمدة البيانية التوزيع االحتمالي لتوزيع ذات الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة. برامج دينية: بناءا على دراسة مسحية سابقة إذا علمت أن 70% من األشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامجا ا ديني ا على األقل في التلفاز. إذا استطلع خليل رأي 00 شخص تحت سن 0 سنة فما احتمال أن 1 شخصا ا منهم على األقل يتابعون برنامجا ا ديني ا على األقل إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذات حدين 0% ويوجد 18 محاولة فأجب. ما احتمال أال توجد أي محاولة ناجحة ) 1 ما احتمال أن توجد 1 محاولة فاشلة ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 10 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

121 تن س طاولة: كسب العب 85% من مبارياته التي لعبها خلل مسيرته الرياضية. أوجد االحتماالت اآلتية: a( أن يكسب مباريات من بين 5 مباريات قادمة. b( أن يكسب مبارتين على األقل من بين المباريات الخمس القادمة. c( أن يخسر مباراة واحدة على األقل في مبارياته الخمس القادمة. لكل من توزيعات ذات الحدين اآلتية يدل الرمز n على عدد المحاوالت ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة. أوجد احتمال الحصول على s من النجاحات. حد د ما إذا كانت المعادلة في كل ممايأتي تمثل دائرة أو قطعا ا مكافئا ا أو قطعا ا ناقصا ا أو قطعا ا زائدا ا دون كتابتها على الصورة القياسية. وبرر إجابتك: )مملرة سلبقة( + = = = 0 ) 8 ) 9 ) 0 ) 1 صرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس إذا توز عت هذه السرعات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 7 mi/h وانحراف معياري mi/h فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن mi/h في عينة حجمها 5 سيارة )تا ر س -5( n = 8, P = 0., s n = 10, P = 0., s > ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 ) اختبار: تقد مت سمر الختبار من عشرة أسئلة من نوع االختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل لكنها أجابت عن األسئلة من خلل التخمين )دون معرفة علمية بالموضوع( ما احتمال أن تحصل على: )تا ر س -( a( 7 أسئلة صحيحة اإلجابة n =, P = 0., s n = 9, P = 0.5, s 5 n = 10, P = 0.75, s 8 n = 1, P = 0.1, s < ) 0 ) 1 ) ) b( 9 أسئلة صحيحة اإلجابة c( 0 سؤال صحيح اإلجابة ) تحد : في تقريب توزيع ذات الحدين إلى التوزيع الطبيعي إذا علمت أن احتمال وجود - 0 نجاحا ا يساوي % وكان = 0 واحتمال النجاح % فكم كان عدد المحاوالت تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. فس ر تبريرك. «من األفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح «. م صاألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها توزيع ذات الحدين وحد د المكو نات الرئيسة للحالة ثم اربطها بتوزيع ذات الحدين. اكتب: فس ر العلقة بين التجربة ذات الحدين وتوزيع ذات الحدين. d( أسئلة صحيحة اإلجابة درا صة جامعي ة: أوضح استطلع في إحدى المدارس الثانوية أن 88% من الطلب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطلع أراء 150 طالبا ا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أن يكون في العينة 1 طالبا ا على األقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية )تا ر س -5( ) ) 5 ) ) 7 الدر س - تاج ز ملا ذتا تا ن 11

122 دليل الدرا صة والمراجعة مفاهيم اأ صا صية العينة والمجتمع الكلي الدر صان -,-1( نة مم ن ت ا سلا هت ه س تكذت تام نة من لزة ن نل ل ه ن ه تج ة تكذت إلنت اتس ت من لزة تام نة ن المجتمع الكلي االنحرا المعياري العينة ÇÇÇÇÇ n ( k - ) k = 1 n - 1 ÇÇÇÇÇ n ( k - µ ) k = 1 n االحتمال الم صرو الدر س -( تهرجهلل تاهتس ا ترجهلل رلافة مم نة تكذت ا رلافة تج تات ت ل تاج تثق ة ست تال لنلا ب نج ان رلها مه نة مخج اة نجل مه نة مخج اة التوزيعات االحتمالية الدرو س -,-5,-( المجتمع الكلي ا ا م ا من تان ت تاهه نة ا ا م ا من تان ت تاهه نة من ن لا مجهلف ة من ن لا مجهلف ة ن تان ت تر ة من ب ن رلافج ن ب س اج ن العينة منا س مج س ل م م ج ذتا تا ن المفردات تا رت سة تاه س ة س 88 تاهتجه تا س 88 م تا ال س 88 تام نة س 88 تاهن لزة س 88 تاهن لزة س 88 تا رت سة بلاهير ة س 89 تا رت سة تاجت ل ة س 89 تاهته اة تاجت ل ة س 89 تاهته اة تا سلباة س 89 تهر للا س 90 تا سلل ة س 90 تاهجغ س 9 ب لنلا ث مجغ تر س 9 مق ل س تانزاة تاه إز ة س 9 تاه م هة س 9 تهكر سل س 9 لمتس الج تاهمل نة س 95 مقل س تاجتسجت س 95 تاجلل ن س 95 تهن تف تاهم لر س 95 اختبر مفردات ) 1 ) ) ) تهرجهلل تاهتس ا س 99 تات ل تاج تثق س 100 تاج تر تان سل س 100 تهرجهلل س 10 تانتل س 10 تااتس س 10 ث سلض تام نة س 10 تاهجغ تامتس ت س 105 تاهجغ تامتس ت تاهنا س س 105 تاج ز تهرجهلا تاهنا س س 105 تهرجهلل تان س 10 تهرجهلل تاجت ل س 10 تاق هة تاهج مة س 10 تاج ز تهرجهلا تاهج س س 110 تاج ز تاال م س 110 تاج ز تاه ج س 110 ت بة ذتا ر ن س 11 ز ذتا تا ن س 117 اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي من القائمة أعاله: ) 5 لمتغير عشوائي معين هو دالة تربط فضاء العينة باحتماالت نواتج فضاء العينة. عندما توجد علقة بين حادثتين فإنه يوجد بينهما. الدراسة المسحية معينة. إذا ص م مت لصالح نواتج إذا أ عطيت مجموعة معالجة شكلية ال أثر لها في النتيجة فإن هذه المجموعة ت سم ى. ي حد د بين العينة والمجتمع الكلي. الفترة التي تبين الفرق في االستجابة 1 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

123 دليل الدرا صة والمراجعة حدد ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبني عينة منحازة أو غير منحازة ثم فس ر إجابتك: يتم اختيار كل عاشر متسو ق يخرج من مجمع تجاري لمعرفة إن كان مرتاحا ا أو مطمئنا ا لشرائه من المجمع. يتم اختيار كل عاشر طالب يخرج من المدرسة لمعرفة أحب المواد الدراسية إليه في المدرسة. 1-1 ) ) 7 الدرا صات التجريبية والم صحية وبالمالحظة ال صفحات ( اختار صاحب وكالة للسيارات 100 زبون عشوائي ا قاموا بإجراء الصيانة الدورية لسياراتهم في الوكالة حديثا ا وطرح سؤاالا عليهم حول نوعية الخدمة التي ت قد مها الوكالة. هل ي مث ل الزبائن الذين تم اختيارهم عينة منحازة أم غير منحازة فس ر إجابتك. غير منحازة ألن لكل شخص من زبائن الوكالة الفرصة نفسها ألن يكون من بين العينة. يطلب أحد مطاعم الوجبات السريعة إلى زبائنه أن يكملوا استبانة حول أفضل مطعم للوجبات السريعة. حدد ما إذا كانت كل حالة تحتاج إلى دراسة مسحية أو دراسة بالمالحظة أو دراسة تجريبية. اختر 100 طالب نصفهم يعمل جزئي ا بعد الدراسة وقارن بين األوساط لدرجاتهم. اختر 100 شخص وقس مهم إلى نصفين عشوائي ا ودع إحدى المجموعتين تتناول وجبات قليلة الدسم بينما تتناول األخرى وجبات اعتيادية. وقارن النتائج لمعرفة أثر الوجبات القليلة الدسم على صحة الجسم. طب ق معلم الرياضيات اختبارا ا على طالبه الموزعين على مجموعتين فأعطى االختبار إلحدى المجموعتين بعد أداء تمارين رياضية فيما لم تؤد المجموعة الثانية أي تمارين رياضية قبل االختبار وقارن نتائجهم في االختبار. هل هذه الدراسة دراسة مسحية أم دراسة بالمالحظة أم دراسة تجريبية فس ر إجابتك. دراسة تجريبية: المجموعة التجريبية هي األولى والضابطة هي الثانية والدراسة التجريبية منحازة ألن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي اليها. ) 8 ) 9 ) 1 0 ف صول ال صنة: في دراسة مسحية عشوائية شملت شخصا ا ذكر % منهم أن الربيع هو أفضل فصول السنة لديهم. ما هامش الخطأ في المعاينة صباحة: في أثناء تمرين السباحة قاس خالد األزمنة التي استغرقها في كل مرة لقطع مسافة 00 m وسجل النتائج الممثلة في الجدول أدناه. أوجد االنحراف المعياري لألزمنة التي حققها. قال 1% من عينة حجمها 5 شخصا ا: إن كرة القدم هي األكثر تفضيالا لديهم. ما هامش خطأ المعاينة 1 = ± هامش خطأ المعاينة n Ç = ± 1 ÇÇ 5 ± التحليل االإح صائي ال صفحات - 98 )9 ) 1 1 ) 1 الزمن بالثواني هامش خطأ المعاينة ±1.9% تقريبا ا الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 1

124 دليل الدرا صة والمراجعة كرة طائرة: يحصل طارق على نقطة في 5% من مرات قيامه بضربة اإلرسال ما احتمال أال يحصل على أي نقطة في 5 مرات متتالية قام فيها بضربة اإلرسال في الجدول أدناه إذا اختير طالب عشوائي ا فأجب عما يأتي: االأول الثانوي الثاني الثانوي يلب س نظارات ال يلب س نظارات 15 5 a( ما احتمال أن يكون الطالب من األول الثانوي علما ا بأنه يلبس نظارات b( ما احتمال أن يكون من الذين ال يلبسون النظارات علما ا بأنه من الثاني الثانوي درا صة: أوجد احتمال أن يأخذ طالب اختير عشوائي ا حصة إضافية علما ا بأنه طالب جديد. طالب جديد (N) طالب قديم () ياأخذ ح ص ص ا اإ صافية (E) 1 ال ياأخذ ح ص ص ا اإ صافية (X) P(E N) = P(E N) P(N) = تهرجهلل تاهتس ا P(E N) = , P(N) = 80 بلاجل س = 1 10 = 5 - االحتمال الم صرو ال صفحات - 10 )99 ) 1 ) 1 قرعة االألعاب: خلط يوسف بطاقات األلعاب جميعها في صندوق حيث تشك لت البطاقات من 1 بطاقة لكرة القدم 8 بطاقات لكرة الطائرة 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. إذا تم اختيار بطاقات بصورة عشوائية فأوجد احتمال كل من: ( بطاقات للكرة الطائرة( P ) بطاقات لكرة القدم( P )بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطائرة( P )بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم( P بطاقات: مجموعة بطاقات مرق مة مكو نة من بطاقات عليها الرقم 9 عليها العدد 5 10 عليها الرقم عليها الرقم 5 بطاقتان على كل منها الرقم بطاقة عليها الرقم. إذا سحبت بطاقة عشوائي ا من مجموعة البطاقات فما القيمة المتوق عة لهذه البطاقة لدى حمزة 5 كتب في حقيبته هي الرياضيات والكيمياء واللغة اإلنجليزية واللغة العربية والتاريخ. إذا قام بترتيبها على رف في صف واحد عشوائي ا فما احتمال أن تأتي كتب اللغة اإلنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار الخطوة 1 حد د عدد تراتيب الكتب الممكنة التي تحقق المطلوب. P P م لن تا ج تاثيفة تكا تا سلر تجم نة تا جلب ن ته ن الخطوة استعمل قانون العد األساسي إليجاد عدد النجاحات. P P =!! = 1 الخطوة أوجد المجموع الكلي s + f إلمكانات ترتيب الكتب. s + f = 10 5 P 5 = 5! = 10 الخطوة أوجد االحتمال. P = s s + f = 1 10 = ) 1 5 ) 1 ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 االحتمال والتوزيعات االحتمالية ال صفحات ( احتمال وضع كتب اللغة اإلنجليزية واللغة العربية والرياضيات في أقصى اليسار يساوي 0.1 أو 10%. 1 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

125 دليل الدرا صة والمراجعة 8 σ في كل من السؤالين اآلتيين توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري. أوجد االحتمال المطلوب في كل منهما. µ = 11, σ = 9, P( > 10) µ = 181, σ = 1, P( > 19) زمن الرك س: أزمنة الركض لمسافة 0 m لفريق كرة القدم المدرسي تتوزع توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط.7 s وانحراف معياري s ما نسبة اللعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن. s تتوز ع مجموعة من البيانات توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 78 وانحراف معياري. 5 أوجد احتمال أن تزيد قيمة ل عشوائيا ا عن σ 1.5% % 88 9 σ 0.5% بما أن = = σ µ + لذا فإن االحتمال المطلوب يكون مساويا ا 1% = 0.5% + % + 1.5% -5 التوزيع الطبيعي ال صفحات - 11 )110 ) 0 ) 1 ) ) اأ صخا س م صهورون: في إحدى الدراسات ت بي ن أن % من الشباب يفضلون أداء أحد الرياضيين المشهورين. إذا اختير 5 من الشباب عشوائي ا وتم سؤالهم عما إذا كانوا يفضلون أداء هذا الرياضي أو ال a( إذا مث ل المتغير العشوائي X عدد الشباب الذين يفض لون أداء هذا الرياضي فكو ن جدول التوزيع االحتمالي لذات الحدين للمتغير X ومث له باألعمدة. b( أوجد احتمال أن يكون أكثر من من الشباب يفض لون أداء هذا الرياضي. ر صم هند صي: أ جريت دراسة في إحدى المدارس ف تبي ن أن 5% من الطالب يستطيعون رسم مخروط. إذا تم اختيار 5 منهم بشكل عشوائي ومث ل المتغير العشوائي X عدد الطالب الذين لديهم مقدرة على رسم مخروط فأجب عم ا يأتي: a( كو ن جدول التوزيع االحتمالي لذات الحدين للمتغير X ومث له باألعمدة. في هذه المسألة = = q. n = 5, p = 0.5, P( ) التوزيعات ات الحدين ال صفحات ( P(X) X ) صاعات: أشارت دراسة مسحية للكبار أن ما نسبته 7% من البالغين يلبسون ساعة يد.وقد قام بكر باستطلع رأي 00 شخص من البالغين عشوائي ا. ما احتمال أن يكون 10 شخصا ا على األقل ممن شملهم االستطلع يلبسون ساعة يد b( أوجد المتوسط الوسط واالنحراف المعياري والتباين للتوزيع. µ = np = 5 (0.5) =.5 = npq = 5 (0.5)(0.55) = 1.75 σ = Ç σ σ = ÇÇÇ الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 15

126 دليل الدرا صة والمراجعة تطبيقات وم صائل حدد ما إذا كان كل موقف مما يأتي يمثل دراسة تجريبي ة أو دراسة بالملحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كل من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبي ة ثم بي ن إن وجد تحيز أو ال: )تا ر س 1- ) ) 9 صكةحديد: إذا كانت الفترات الزمنية للنتظار التي يقضيها 1000 مسافر في إحدى محطات سكك الحديد موز عة توزيعا ا طبيعي ا بمتوسط 7 min وانحراف معياري 15 min فأوجد نسبة المسافرين ال ذين ينتظرون أكثر من min )تا ر س 5- ) ) 5 ) 0 a( اختر 100 طالب نصفهم يأتي إلى المدرسة مبكرا ا وقارن بين تحصيلهم في مادة معينة. b( اختر 100 موظف واقسمهم نصفين وأخضع إحدى المجموعتين إلى دورة في اللغة اإلنجليزية أما األخرى فل تخضعها ألي دورة تدريبية. اإجازات: في دراسة مسحية سابقة وجد أن ما نسبته 70% من العاملين يأخذون إجازاتهم السنوية في الصيف لكن محسن يعتقد أن هذا الرقم مبالغ فيه فقام باستطلع رأي 50 موظفا ا عشوائي ا. ما احتمال أال يأخذ أكثر من 0 عاملا إجازاتهم في الصيف )تا ر س - ) ) اختير 10 طلب بصورة عشوائية من الصف الثالث الثانوي وقيست أطوالهم بالسنتمترات فكانت كما يلي: 170, 15, 155, 18, 177, 180, 18, 17, 10, 11 احسب االنحراف المعياري لهذه األطوال. )تا ر س - ) ) 7 على فرض أن 0% من طلب معهد في السنة األولى وأن 0% في السنة الثانية وكان 5% من طلب السنة األولى عيونهم زرقاء و 1% من طلب السنة الثانية عيونهم زرقاء. إذا اختير طالب من المعهد عشوائي ا فما احتمال أن يكون من طلب السنة الثانية وعيونه زرقاء )تا ر س - ) رميت قطع نقد مرة واحدة. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الشعار فاكتب جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X ثم مث له باألعمدة. )تا ر س - ) ) 8 1 الف صل تهرجهلل تهكر سلض

127 اختبار الف صل حد د ما إذا كانت العبارات اآلتية تصف ارتباطا ا أو سببية ثم فس ر إجابتك: ) 1 عندما يرى محمود البرق فإنه يسمع الرعد بعد ذلك. ) عندما يركض نايف عند مدخل المدرسة فإنه يكون متأخرا ا عن المدرسة. اختبارات: أعطى المعلم أيمن طلبه الفرصة إلعادة أحد االختبارات كما عقد درس مراجعة اختياري يوم الخميس قبل إعادة االختبار لمن يرغب. بعض الطلب تحس ن أداؤهم والبعض اآلخر لم يتحسن والجدول أدناه يبين ذلك. إذا اختير طالب عشوائي ا فأوجد: ) 1 1 حد د ما إذا كانت كل من المسوحات اآلتية تتبنى عينة منحازة أو غير منحازة ثم فس ر إجابتك: استطلع صاحب مخزن يبيع من خلل الشبكة العنكبوتية زبائنه عن المبالغ التي ينفقونها في الشراء اإللكتروني في الشهر. تح صن لم يتح صن 1 ح صر المراجعة لم يح صر المراجعة ) ) 1 يختار معلم 5 أسماء لطلب يدرسهم إللقاء كلمة الصباح بعد أن يقوم بوضع األسماء جميعها في سلة ويخلطها. أي مقاييس النزعة المركزية يناسب كال من البيانات اآلتية بصورة أفضل ولماذا درجات اختبار a( احتمال أن يكون قد تحس ن علما ا بأنه حضر المراجعة. b( احتمال أنه لم يحضر المراجعة علما ا بأنه لم يتحس ن. جوائز: شارك 10 طلب من الصف األول الثانوي و 1 طالبا ا من الصف الثاني الثانوي في السحب على 5 جوائز. إذا كان السحب عشوائي ا فما احتمال أن يكون الرابحون من الصف األول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي 5 5 ) ) 5 0.% A تقريبا ا 0.5% B تقريبا ا 5 70% C تقريبا ا ) الطول بالبو صة 0% D تقريبا ا ) 1 ) فيما يأتي المتوسط واالنحراف المعياري لمجموعة من البيانات تتوزع توزيعا ا طبيعي ا أوجد االحتمال المطلوب في كل منها: سحبت كرتان معا ا من صندوق يحتوي على كرات زرقاء وكرتين حمراوين. إذا كان المتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة فكون جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي. X طق س: أخبر الراصد الجوي أن احتمال سقوط المطر في كل يوم من األيام السبعة القادمة 0%. أوجد احتمال أن يسقط المطر في يومين من هذه األيام على األقل. µ = 5, σ = 5, P( > ) µ = 5, σ =., P( < 7.) ) 7 ) 8 ) 1 5 يحتوي كيس على 10 كرات زجاجية زرقاء و 8 كرات حمراء و 1 خضراء وجميعها متماثلة سحبت كرتان واحدة تلو األخرى أوجد االحتمال لكل من: الكرة الثانية حمراء علما ا بأن الكرة األولى زرقاء دون إرجاع. حديقة: يخطط يعقوب لزرع زهرة في حديقته. إذا علمت أن األزهار التي أحضرها من اللونين األبيض واألزرق وأنها لم تزهر بعد ولكنه يعلم أن احتمال الحصول على زهرة زرقاء 75% فما احتمال حصوله على 0 زهرة زرقاء على األقل ) 9 ) 1 0 الكرة الثانية زرقاء علما ا بأن الكرة األولى خضراء مع اإلرجاع. الف صل ت جللر الدر س - تاا س 17

128 النهايات واال صتقاق Limits and Differentiation ار ست تانمل لا م م ها تاجغ. تج ر س نمل لا ا تل إث تا تا ا تا تل تان سل ة تج ج م م ها تاجغ تا ة تج ج متسجقلا ا تل إث تا تا ا تجر س همل تج تاه سلرة ت من ن اتاة ب ل سجمهل ل تاج لم تاه ا تج تا تاة تهج س ة تج سجمه تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم تك تلا ث تاج لم تاه ا االأفعوانية: م تهيسجقلا ان ممهة ثلا ة ة س ارت سة م م ها تاجغ تاثلبجة ثلكذت رإلت تهجثم تن ة سلرا ثلكن س اج ل م جغ تن بل سجه تر م تازمن بلهاجهلا ا م م تاا س ث ت سج ر س م سل ج م ت متسلبمة قراءة صابقة: ت سجمه بل جللر منج س تاا س ا جلبة فيفة تج س ة ر ل تا ر س تاثيفة تهج ا اج سلا ا م ج تان س تهج ل من تاا س 18 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

129 للف صل التهي ة اال صتعداد: نل ب ين ا جلجإ من تاهجا للا ت صخي س تا سلبقة 1 ان تج س ة ته جللر تا س ته تج مراجعة المفردات النهاية (limit) مام ته ج ت من هة ا ن تا س ل تكا مل بلا س رة خطو التقارب (asmptotes) س تجن ا ن من تا تاة من ن قج تجثق تج رتج س f() = 1 الدالة المت صلة function) (continuous تج تنقال تال لن تج مل ث هث ن تكذت ا مج س ة تا تاة ن ازة = f(). f() الفجوات (hols) نقلا ا ت سلل لب ة ايكزتاة ان مل ن ب ن ب س متسج إة ة ا تم تان سل تا تاة مقل متو صط معدل التغير change) (average rate of مج س مم ل تاجغ ب ن نقاج ن ا من ن تا تاة f () م تاه سجق تاهلر بمل ن تانقاج ن ( 1, f( 1 )) (, f( )) استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: f() = 7 m() = ) q() = - )1 ) p() = ) 5( صناعة: يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال إلنتاج قطعة من 1700 = A(). صف سلوك منتج ما باستعمال الدالة الدالة عندما تقترب من موجب ماالنهاية. أوجد متوسط م عدل تغي ر كل دال ة مما يأتي على الفترة المعطاة: g() = + - 1, [-, 1[ ) f() = , [-, -1[ )7 f() = , [-, [ )8 9( اأفعوانيات: يمكن تمثيل جزء من مسار عربة أفعوانية بالدالة + 5 f () = + 1 حيث أوجد متوسط معد ل تغي ر موقع العربة في الفترة ]5,0]. أوجد معادالت خطوط التقارب الرأسية واألفقية (إن وجدت) لكل دالة مما يأتي: h() = - 8 )11 f() = ) g() = - 1 )1 f() = ( - 1)( + 5) ( - )( + ) ( + )( - ) )1 أوجد الحدود األربعة التالية في كل متتابعة مما يأتي: 8,, -, -7, )15, 7, 11, 15, )1 -, 1, -, 108, )17 5, -1, -7, -1, )1-8, -1, -1, -7, )19 5, -10, 0, -0, )18 1 = f() أسئلة تهيئة إضافية على الموقع تج س ة م ة تك سلث ة ا تاه الف صل تاجم ة ا ا س 19

130 النهايات بياني ا تقدير Estimating Limits Graphicall هل هناك نهايات لألرقام المسجلة في المسابقات الرياضية ال يمكن تجاوزها لقد كان الرقم القياسي المسجل في دورة األلعاب المقامة في بكين عام 008 م لمسابقة الوثب بالزانة m ويمكن استعمال الدالة: 5. = f() لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في (.7) هذه الرياضة لألعوام بين 199 م و 008 م حيث عدد السنوات منذ عام 1900 م يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب من الماالنهاية للتنبؤ بأكبر رقم يمكن تسجيله. تقدير النهايات عند قيم محددة: يتمحور علم التفاضل والتكامل حول مسألتين أساسيتين: إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني لدالة والمحور. وت عد مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت في درس سابق أنه إذا اقتربت قيم f() من قيمة وحيدة L كلما اقتربت قيم من العدد c من كل الجهتين فإن نهاية f() عندما تقترب من c هي L وتكتب على الصورة. lim f() = L c يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية f() عندما تقترب من العدد c أو f() lim وذلك من خلل تمثيل الدالة بياني ا أو إنشاء c جدول لقيم f(). قد ر (1 + - lim ( باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة f() = المجاور أنه كلما اقتربت من العدد فإن قيم f() المقابلة تقترب من العدد - 5 لذا فإن بإمكاننا تقدير أن :. lim ( - + 1) = -5 التعزيز عددي ا: كو ن جدوالا لقيم () f وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. f( 1 ) f( ) L f( ) f( ) = f () lim f () = L c 1 c 1 قج من قج من f() ار ست ق تانمل لا اج ت سلل تا تاة س تال لن مل هث ث تج ر نمل ة تا تاة ان م اة تج ر نمل ة تا تاة ان تاهلهنمل ة تانمل ة من جمة تر ة تقدير النهاية النهاية ت صاوي قيمة الدالة( 5 f () = + 1 one - sided limit تانمل ة من جمج ن two - sided limit يبي ن نمط قيم f() أنه كلما اقتربت من العدد من اليمين أو من اليسار فإن قيم f() تقترب من العدد 5- وذلك يعز ز تحليلنا البياني. قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. lim ( - 1) )1B lim (1-5) )1A 1-10 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

131 في المثال 1 الحظ أن (1 + -) lim هي نفسها ()f إال أن نهاية الدالة ال تساوي دائما ا قيمة الدالة. lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدو ل قي م. - 9 قد ر - التحليل بياني ا: f() = - 9 المجاور أنه كلما اقتربت من ي بي ن التمثيل البياني للدالة - العدد فإن قيمة () f المقابلة لها تقترب من العدد لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim = تقدير النهاية النهاية ال ت صاوي قيمة الدالة( f() = جداول هكنتسلض ج ل بل سجمهلل تا ل سلة تال لن ة TI - nspire تجا تا تاة تكا تا ل سلة بل سجمهلل ل هة ف ت ج لر تات ل بلا سغ ا ف تإج اي ج ت من هة م اة التعزيز عددي ا: كو ن جدوالا لقيم f() وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. قج من قج من f() ي بي ن نمط قيم () f أنه كلما اقتربت قيم من العدد فإن قيم () f تقترب من العدد وذلك يعز ز تحليلنا البياني. قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك من خالل جدول قيم. lim )B lim )A في المثال الحظ أن نهاية f() تقترب من العدد عند اقتراب قيم من العدد على الرغم من أن () f. - 9 غير معرف عندما =. وهذه الملحظة توض ح مفهوما ا مهم ا في النهايات. فالعبارة - التعبير اللفظي: ه مجه نمل ة f () ان مل قج من تام ا c ا هة تا تاة ان c االأمثلة: = h() n = g() = f() عدم اعتماد النهاية على قيمة الدالة عند نقطة L c L c L c lim h() = L lim g() = L lim f() = L c c c h(c) = L g(c) = n مم ثة f(c) إن النهاية عند عدد ال تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد وإنما قيمة الدالة عندما تقترب من ذلك العدد. الدر س - 1 ق تانمل لا ب لن ل 11

132 الحظ أننا عندما نقد ر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم فإننا نبحث عن قيمة f() عندما تقترب من c من كل الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النهاية من جه ة واحدة. النهاية من الي صار تكذت ت ج بت f () من هة ر ة L ان ت ج ت من تام ا c من تا سلر ثلكن ق تج lim c - f() = L نمل ة ( f(ان مل قج من c من تا سلر L النهايات من جهة واحدة النهاية من اليمين تكذت ت ج بت f () من هة ر ة L 1 ان ت ج ت من تام ا c من تا ه ن ثلكن ق تج lim f() = L c + 1 نمل ة ( f(ان مل قج من c من تا ه ن L 1 يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النهاية من جهتين وما يعنيه كونها موجودة. النهاية عند نقطة ن نمل ة f () م ج اة ان مل قج من c تكذت ثق تكذت إلنت تانمل جلن من تا ه ن تا سلر م ج ا ن مج سل ج ن تج تجن تكذت إلنت lim f() = lim f() = L - c c + ثلكن f() = L lim c = g() f () = g() =, - -, = - قد ر كال من النهايات اآلتية إذا كانت موجودة: lim, lim, lim )a ي بي ن التمثيل البياني للدالة f () = أن: lim = -, lim = وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين فإن lim غير موجودة. 0 lim g() lim g() lim g() )b حيث ي بي ن التمثيل البياني للدالة g() أن: موجودة lim g() =, lim g() = وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان فإن g() lim - وتساوي. قد ر كال من النهايات اآلتية إذا كانت موجودة: تقدير النهاية من جهة واحدة ومن جهتين و صف النهاية اإ ا كان النهايتان من الي صار ومن اليمين غير مت صاويتين وال يمكن التعبير عنهما با صتعمال + اأو - فاإننا نقول: اإن النهاية غير موجودة lim حيث: - g() lim - g() lim g() )B حيث: lim g() = , < - -, - 1 f() lim 1 f() = f() lim f() )A , < 1 + 1, 1 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

133 إن عدم وجود نهاية للدالة f عند االقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجا ا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين إذ من الممكن أن تزداد قيم f() بشكل غير محدود عند اقتراب قيم من c وفي هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز أما إذا تناقصت قيم f() بشكل غير محدود عند اقتراب قيم من c فإننا نشير إلى النهاية بالرمز -. قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim 1 ( - ) = f() المجاور أن : التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة 1 ( - ) lim 1 - ( - ) =, lim 1 + ( - ) = فكلما اقتربت قيم من العدد ازدادت قيم f() بشكل غير محدود )a وبما أن كلتا النهايتين من اليسار ومن اليمين غير موجودتين. لذا فإن lim غير موجودة إال أنه وبسبب كون كلتا النهايتين. lim 1 ( - ) 1 ( - ) فإننا نصف سلوك () f عند العدد بكتابة = التعزيز عددي ا: قج من قج من النهاية غير المحدودة f() نق سلن تج ز لاة من ب س رة م اة ان مل c تجن بل ج لر هة ا لة من c بلاق ر تا ن ثلكن ه ننل تا س ل ا هة إل ة ا ( f( بلاق ر تا ن c من لة إلنت إ هل إلنت f() تجإل النهايات وال صلوك غير المحدود f () = 1 ( - ) f() ي بي ن نمط قيم f() أنه كلما اقتربت قيم من العدد من اليسار أو من اليمين فإن قيم f() تزداد بشكل غير محدود وذلك يعزز تحليلنا البياني. f () = 1 lim 0 1 = f() المجاور أن: التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة lim 1 = -, lim = فكلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليسار قل ت قيم f() بشكل غير محدود في حين تزداد قيم f() كلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليمين. lim غير موجودة لذلك ال يمكننا وصف إن كلتا النهايتين من اليسار واليمين غير موجودتين. لذا فإن 1 0 lim وذلك بسبب سلوك سلوك الدالة عندما = 0 بعبارة واحدة بمعنى أنه ال يمكن أن نكتب = 1 0 الدالة غير المحدود من اليمين واليسار. التعزيز عددي ا: قج من قج 0 من 0 1 )b النهايات عند الماالنهاية من تا س ر تجن نام تجن تامللر ن lim f() = -, - 0 lim f() = 0 + هل ثق س ا لاة تاج ب سللمل f() lim 0 م ج اة تكذ ه هث تا مزتن رق ق ن ا ا ن f() ي بي ن نمط قيم f() أنه كلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليسار أو من اليمين فإن قيم( f( إما أن تنقص أو تزداد بشكل غير محدود وذلك يعزز تحليلنا البياني. قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )B lim - )A الدر س - 1 ق تانمل لا ب لن ل 1 lim - 0 -

134 ال تكون النهاية موجودة أيضا ا عندما تتذبذب قيم f() بين قيمتين مختلفتين باقتراب قيم من العدد c. 5 cos 1 قد ر lim إذا كانت موجودة. 0 1 f() = cos المجاور أن قيم f() تتذبذب ي بي ن التمثيل البياني للدالة بشكل مستمر بين العددين كلما اقتربت قيم من العدد 0 مما يعني أنه ألي قيمة قريبة من الصفر 1 بحيث = 1 ) 1 f ( يمكنك إيجاد قيمة قريبة جد ا من الصفر مثل بحيث 1- = ) f ( وبالمثل ألي قيمة قريبة من الصفر بحيث -1 = ) f ( يمكنك إيجاد قيمة مثل قريبة جد ا من الصفر بحيث = 1 ).f ( lim cos غير موجودة. 1 0 أي أن قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim ( sin ) )5B lim sin )5A التذبذب الالنهائي ن ه ت سجمهلل ل س ة TRACE ث تا ل سلة تال لن ة ث ق نمل ة تا تاة تكه تجن ه ن ه تا ف ا ات ه ل بلا ل سلة تال لن ة ثا مثلل 5 سجمه تا ل سلة تال لن ة ا ا ت م ا ت من تانقلا ث هث تاهن ن ث ر ن تجن ا تاة ا ا ت هنمل ل من تاج ب بلا بلاق من تام ا. 0 النهايات وال صلوك التذبذبي 1 f () = cos نلخ ص فيما يأتي أهم ثلثة أسباب تجعل نهاية الدالة عند نقطة غير موجودة. اأ صباب عدم وجود نهاية عند نقطة ة ته ث تا لها م ج اة lim f() ن c ان مل قج f() من هج ن مخج اج ن ان ت ج ت من تام ا c من تا سلر من تا ه ن ان مل زاتا f() تج جنل س بتس م ا ان ت ج ت من تام ا c من تا سلر تج من تا ه ن تج من إي تاتمج ن ان مل ب ج f() ب ن هج ن مخج اج ن ان ت ج ت من تام ا. c تقدير النهاية عند الماالنهاية: درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك f() عندما تقترب قيم من عدد ثابت c و تستعمل النهايات أيضا ا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخ ص لرموز هذه النهايات. النهايات عند الماالنهاية 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا تكذت ت ج بت f() من ا ا ر L 1 ان تزا لا بتس م ا ثلكن» L 1 ملهنمل ة م ج من قج «نمل ة ( f(ان مل ق تج lim f() = L 1 تكذت ت ج بت f() من ا ا ر L ان نق سلن بتس م ا ثلكن» L ملهنمل ة سلا من قج «نمل ة ( f(ان مل ق تج lim - f() = L درست سابقا ا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من أو - عند اقتراب قيم من عدد ثابت c فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة كما درست أن خط التقارب األفقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم من أو - بمعنى: المستقيم = c هو خط تقارب رأسي للدالة f إذا كانت ± = f() lim أو ± = f() lim أو كليهما. + - c c lim f() = c أو lim المستقيم = c هو خط تقارب أفقي للدالة f إذا كانت f() = c -

135 تقدير النهاية عند الماالنهاية f() = 1 = 0 قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 1 )a lim 1 = f() المجاور أن التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة lim فكلما زادت قيم اقتربت قيم f() من العدد 0. 1 = 0 قج من التعزيز عددي ا: خطو التقارب a ث تاهثلل تانمل ة تس تكا ج ا قلر تجثق = 0 تس تانمل ة ث مثلل b تكا ج ا. = تجثق قلر f() = f() = - + ي بي ن نمط قيم f() أنه كلما زادت قيم فإن قيم f() تقترب من العدد 0. lim - ( - + ) )b - = f() المجاور أن التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة + lim فكلما قل ت قيم اقتربت قيم f() من العدد. - ( - + ) = قج من - التعزيز عددي ا: f() ي بي ن نمط قيم () f أنه كلما قل ت قيم فإن قيم f() تقترب من العدد. f() =(.7) sin π lim (.7) sin π, lim (.7) sin π )c - التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة f() = (.7 ) sin π المجاور أن: فكلما قل ت قيم lim (.7) sin π = 0 - تذبذبت قيم f() مقتربة من العدد. 0 في حين يبي ن التمثيل البياني أن lim (.7) sin π غير موجودة فكلما ازدادت قيم تذبذبت قيم f() متباعدةا. التعزيز عددي ا: قج من قج من f() يتضح من نمط قيم f() أنه كلما قل ت قيم فإن قيم f() تقترب من العدد 0 في حين تتذبذب قيم f() متباعدة كلما زادت قيم. ال صلوك المتذبذب تكن ب تا تاة ه من بلا س رة ا ج ا تانمل ة ان مل قج من تج ثلكذت إلن تاج ب - م ا ب ن هج ن مخج اج ن ثلانمل ة م ج اة تجمل تكذت إلن تاج ب مجقلرب ل ن ا ا مم ن ثلانمل ة م ج اة الدر س - 1 ق تانمل لا ب لن ل 15

136 قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim sin )C lim 5 )B lim - ( 1 - ) )A يمكنك استعمال التمثيل البياني أو الطريقة العددية لتقدير النهايات عند الماالنهاية في كثير من المواقف الحياتية. 7 تقدير النهاية عند الماالنهاية θ a( هيدرولي : تستعمل نوابض إلغالق األبواب الثقيلة وآلية هيدروليكية للتحكم في سرعة حركتها إذا ف تح باب بزاوية π ثم ت رك لتغلقه النوابض = θ(t) π تمثل زاوية فتحته θ بعد t ثانية. فإن الدالة -t (1 + t)(.7) قد ر θ(t) lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. t سجمه تهجن هة تام ر ا ة ث تام من تاهتلها منمل ث تم تا س لرتا تهجب ت تاثق ة ل قد ر النهاية: م ث ل الدالة θ(t) = π (1 + t) (.7)-t بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه عندما = 0 t فإن π.θ(t) = الحظ أنه كلما زادت قيم t فإن قيم الدالة (t) θ تقترب من العدد 0. أي أن = 0 θ(t).lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع وضع اإلغلق مع مرور الزمن هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول فإن الباب سيقترب من وضع اإلغلق التام. b( دواء: ي عطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعالقة C(t) = t 0.18t- حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. قد ر C(t) lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. t قد ر النهاية: م ث ل الدالة C(t) = t 0.18t- بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة t فإن منحنى الدالة يقترب من 0 أي أن = 0 C(t). lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية هي 0 وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن فإن تركيز الد واء سيصبح قريبا ا من الصفر في دم المريض. t حيث V(t) = 15 sin 10πt كهرباء: يزو د مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي يعطى بالعلقة 7A( الزمن بالثواني. قد ر V(t) lim إذا كانت موجودة وفس ر معناها. t t اأحياء: عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبا ا وفاكهةا وخميرةا فإن عدد الذبابات بعد 7B( 0 = P(t) قد ر P(t) lim إذا كانت موجودة وفسر معناها. يوم ي عطى بالعلقة t (.7) -0.7t 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

137 lim lim cos 1 0 ) lim cos ) 1 ) lim sin 0 ) قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. )تاهثلهن,1( lim ( ) 8 lim lim - Ç lim lim 0 - lim ) lim 5 ( - 10) ) 1 ) lim ( ) ) - ) lim [5 (co s - cos )[ ) 5 0 ) 8 lim ( + sin ) ) 7 قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )مثلل ( lim lim lim ) 1 0 lim sin ) 1 lim ) 1 lim ) 9 ) 1 1 ) 1 ) 1 lim ( 0 ÇÇ - - 7) ) ) 1 8 lim 0 lim f(), f() = - 5, < , 0 lim f(), f() = - +, < 0 0, 0 ) 1 7 ) 1 9 ) 0 استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )تهجمث ة )1- ) 5 دواء: تم توزيع لقاح للحد من عدوى مرض ما. وي بي ن التمثيل البياني أدناه عدد الحاالت المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح. )مثلل 7( f (w) lim f(w) lim f(w) استعمل التمثيل البياني لتقدير )a w w 1 b( استعمل التمثيل البياني لتقدير f(w) lim إذا كانت موجودة w وفس ر النتيجة. ) برامج تلفزيونية: ي قد ر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة - 1 d p(d) = 1(1.501 ) حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. )مثلل 7(.0 d بياني ا في الفترة 0 p(d) م ث ل الدالة )a b( قد ر عدد مشاهدي البرنامج في اليوم: الخامس العاشر العشرين. ما عدد مشاهدي البرنامج بعد شهرين) = 0 d ( c( قد ر p(d) lim إذا كانت موجودة وفس ر النتيجة. d ) 7 كيمياء: تتسر ب مادة سامة من أنبوب غاز تحت األرض كما في الشكل أدناه. ويعب ر عن المسافة األفقية باألمتار التي تقطعها المادة المتسربة بالدالة 1 t d(t) = 000(0.7 ) t - 1, حيث t عدد السنوات منذ بدء التسرب. )مثلل 7( w 8 g() 8 8 f() m 100 m 980 m.1 t م ث ل الدالة بياني ا في الفترة 15 )a.t عندما = 5, 10, 15 d استعمل التمثيل البياني إليجاد قيم )b lim lim lim - lim - lim قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )تهجمث ة (. lim d(t) استعمل التمثيل البياني لتقدير c( t d( هل من الممكن أن تصل المادة المتسربة لمستشفى يقع على ب عد 7000 m من موقع التسريب تذك ر أن مجموع المتسلسلة الهندسية هو. a r lim - 5 ( - ) + - lim - 1 ) lim ) 8 lim ) 5 ) 7 ) 0 lim ( ) ) 9 - الدر س - 1 ق تانمل لا ب لن ل 17

138 للدالة الممث لة بياني ا أدناه قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim f() ) lim f() ) lim f() ) 0 0 lim f() ) 1 - lim f() ) + lim f() ) 1 حا صبة بيانية: حد د ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: lim lim ) 5 lim ) ) 7 lim cos π 0 ) ) 8 اكت صف الخطاأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممثلة بياني ا في الشكل أدناه عندما تقترب من - هي -. في حين قال محمد: إنها. هل أي منهما إجابته صحيحة بر ر إجابتك. f() ) 9 م صاألة مفتوحة: أعط مثاالا على f() بحيث تكون f() lim 0 موجودة و (0)f غير معرفة ومثاالا على دالة أخرى g() بحيث تكون (0)g معرفة ولكن g() lim غير موجودة. 0. f() = + 1 فقد ر كل من ) 5 0 تحد : إذا كان + 1-1, g() = - g(a) = 0, f(a) وإذا كان 0. lim f(), lim g() 1 f() فماذا يمكنك القول عن lim بر ر إجابتك. a g() ) 5 1 تبرير: ح د د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك. إذا كان f(c) = L فإن. lim f() = L c ) 5 م صاألة مفتوحة: م ث ل بياني ا دالة تحقق كل مما يأتي: = 5 f() lim f() = -, f(0) =, و f() lim غير موجودة. 0 ) 5 تحد : قد ر كل من النهايات اآلتية للدالة f إذا كانت موجودة: lim f() )c lim + 0 +, < -1-1, -1 0 f() =, 1 < -, > f() )b lim -1 f() )a ) 5 اكتب: وض ح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة ثم ب ي ن الفرق بين هذه الطريقة وطريقة تقدير نهاية دالة غير متصلة. ) 5 5 أثبت صحة المتطابقة. مملرة سلبقة 1 sin θ ( sin θ - cos θ cot θ ) = cos θ. = - 5, عندما = 5 h() = ابحث في اتصال + 5 ) وإذا كانت الدالة h غير متصلة فحد د نوع عدم االتصال وهل هو عدم اتصال ال نهائي أو عدم اتصال قفزي أو عدم اتصال غير قابل لإلزالة مملرة سلبقة ) 5 7 أوجد متوسط م عد ل تغ ير - f() = ÇÇÇ في الفترة ]1,8] مملرة سلبقة أوجد قياس الزاوية بين كل زوج متجهات مما يأتي: )تا ر س -5( u =, 9, -, v = -, 7, ) 5 8 m = i - 5j + k, n = -7i + 8j + 9k ) 5 9 ) 0 باستعمال التمثيل البياني للدالة f() = أدناه ما قيمة f() lim )إن وجدت( 0 f() C 0 A D 1 B النهاية غير موجودة ) 1 أي مما يأتي يصف التمثيل البياني للدالة 1 = g() للدالة نقطة عدم اتصال ال نهائي. I II للدالة نقطة عدم اتصال قفزي. III للدالة نقطة عدم اتصال نقطي. I A فقط II C فقط I, III B فقط I D و II فقط f() الف صل تانمل لا تهيسجقلا

139 النهايات جبري ا ح صاب Evaluating Limits Algebraicall d() = إذا أ عطيت اتساع البؤبؤ بالملمترات لعين حيوان بالعلقة حيث االستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس (lu) فإنه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب من 0 أو إليجاد اتساع البؤبؤ عندما تكون االستضاءة في حدها األدنى أو األعلى. ار ست إ ا ة ق تانمل لا ب لن ل ل ا ا تج نمل لا ا تل إث تا تا ا تا تل تان سل ة ان م اة تج نمل لا ا تل إث تا تا ا تا تل تان سل ة ان تاهلهنمل ة ح صاب النهاية عند نقطة: تعلمت في الدرس 1-8 تقدير النهايات بياني ا وباستعمال جداول قيم. وستكتشف في هذا الدرس طرائق جبرية لحساب النهايات. k f () = k c نهايات الدوال الثابتة التعبير اللفظي: نمل ة تا تاة تاثلبجة ان تج نقاة c تاق هة تاثلبجة ا تاة الرموز: lim k = k c تاجم س تاهلليس نهايات الدوال direct substitution تا س غة تاه اة indeterminate form نهايات الدالة المحايدة c f () = التعبير اللفظي: نمل ة تا تاة تاه ل ة ان تانقاة c c الرموز: lim = c c c تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصائص النهايات. ن م ج ا lim g (), lim f () تانمل جلن إلنت ل c c تكذت إلن k, c ا ا ن رق ق ن n ا ا ت س ل م جل ثلكن إي من تاخ سل س ته ة س ة lim c lim c [ f() + g()] = lim f () + lim c c [ f() - g()] = lim f () - lim lim c c c [ k f()] = k lim c lim [ f() g()] = lim f () lim c c c lim c g() 0 ر lim ز ج ا ا n ان مل lim f() تكذت إلن > 0 lim c f () c g() = lim f() c lim g() c lim [ f () ] n = c lim f () c c n ÇÇ f () = n ÇÇÇ lim c خا صية المجمو : g () خا صية الفرق: g() خا صية ال صرب في ثاب : f () خا صية ال صرب: g() خا صية الق صمة: خا صية القوة: n خا صية الجذر النوني: f () خ صائ س النهايات الدر س - ر سل تانمل لا جل ل 19

140 lim ( - + ) استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: ل س جل تاهته تاا ا = lim - lim lim ( - + ) )a + lim ل س = ( lim ) - lim + lim جل تاق ة تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة = - + بلاجل س = - 5 يعزز التمثيل البياني للدالة + f () = - هذه النتيجة. تحق 1 ا صتعمال خ صائ س النهايات خ صائ س النهايات لق سل س تانمل لا س ة ث رلل إ ن تانمل لا من جمة تر ة ث رلل إ نمل ان تاهلهنمل ة يس اة تانمل لا ج ا 5 f() = - + ل س ة تاق سهة ل س جل تاهته تاا ا ل س جل تاق ة تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة قج من - بلاجل س lim lim ( + 1) - lim + 1 = - 5 lim ( - 5) - - lim + lim = lim - lim ( lim - ) + lim 1 - = lim - lim = (- ) = 1 7 تحق كو ن جدوالا لقيم التي تقترب من - من الجهتين. قج من f() )b lim ÇÇÇ 8 - )c lim ÇÇÇ 8 - = ÇÇÇÇÇ lim (8 - ) = ÇÇÇÇÇÇ lim 8 - lim 10 الف صل تانمل لا تهيسجقلا ل س ة تات ر تان ن ل س ة تاا ا = نمل جل تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة بلاجل س lim ÇÇÇ + )1C lim ÇÇÇ 8 - = Ç 5 استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: )1B lim ( - + ) )1A الحظ أن نهاية كل دالة في المثال أعله عندما تقترب من c تساوي قيمة (c). f ومع أن هذه الملحظة ليست صحيحة في جميع الدوال إال أنها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية كما هو موضح فيما يأتي:

141 . lim r() = r(c) = p(c) c نهايات الدوال نهايات دوال كثيرات الحدود lim p() = p(c) ثلكن ل c تكذت إلنت p() اتاة إث ة ر ا إلن c ا ا ت رق ق نهايات الدوال الن صبية تكذت إلنت p() r() = اتاة ن سل ة إلن c ا ا ت رق ق ل ر q(c) q(c) 0 ثلكن q() وبشكل مختصر فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلل التعويض المباشر شريطة أال يساوي مقام الدالة النسبية صفرا ا عند النقطة التي ت حسب عندها النهاية. احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: الدوال جيدة ال صلوك مث تاهج س ة تا تل م ا تل إث تا تا ا ا تل ج ة تا س تكذ ه ن ر سل نمل ل مل من يل تاجم س تاهلليس ه ن تك تلا نمل ة تا تل من يل تاجم س تاهلليس تكن ا تا س ج ة تا تاة ن بتس ا تجن ن مج س ة ان تانقاة تاج س ان ل تانمل ة ا صتعمال التعوي س المبا صر لح صاب النهايات lim ( ) )a -1 بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) -1 f() = = - (-1 ) + 5(-1 ) - (-1 ) + (-1) + = = - 7 يعز ز التمثيل البياني للدالة f () = هذه النتيجة. تحق 1 lim - )b - بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقام ها ليس صفرا ا عندما = فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim - - = ( ) - - () = 8 - = - 8 lim )c 1 بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما = 1 فل يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: lim ÇÇÇ + )C lim )B lim ( ) )A lim بشكل خاطي. - 1 لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية سل تاهقل نمل ة هجن ل س ا س ت lim lim ( - 1) - 1 = 1 lim ( - 1) = = الدر س - ر سل تانمل لا جل ل 11

142 f() = ي سمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0 الصيغة غير المحددة ألنه ال 0 يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية أو غير موجودة أو متباعدة نحو أو - وي بي ن lim موجودة وتساوي. - 1 أن - 1 f () = - 1 التمثيل البياني للدالة على الرغم من أن الصيغة غير المحددة تظهر من خلل تطبيق خاطي لخصائص النهايات إال أن دراسة هذه الصيغة قد ترشدنا إلى الطريقة األنسب إليجاد النهاية. إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية ووصلت إلى الصيغة غير المحددة 0 فبس ط العبارة جبري ا من خلل تحليل كل من 0 البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة. لذا فإن علينا تحليل المقدار جبري ا واختصار أي (-) - (-) احسب كل نهاية مما يأتي : lim = 0 ينتج عن التعويض المباشر 0 عوامل مشتركة بين البسط والمقام. ا صتعمال التحليل لح صاب النهايات بج تال س بل ج سلر تاملم تاهتسج بلاجل س بلاجم س تاهلليس تاجل س ( - 5)( + ) lim = lim ( - 5)( + ) = lim - + = lim - ( - 5) = (-) - 5 = -9 )a تحق يعز ز التمثيل البياني للدالة = f() هذه النتيجة f() = lim )b -. ي نتج عن التعويض المباشر 0 = 1 + 7() - ) ( تاهقل بج lim = lim ( - 7)( - ) بل ج سلر تاملم تاهتسج بلاجل س بلاجم س تاهلليس تاجل س = lim - ( - 7)( - ) = lim 1-7 = 1 () - 7 = 1 احسب كل نهاية مما يأتي: lim )B lim )A التحليل ان ت ج سلر تال س بلجإه ثلكن سل ا 1 س 0 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

143 ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ففي المثال a ينتج عن االختصار بين بسط ومقام الدالة f دالة جديدة g حيث: f () = - - 0, g() = إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم إال عندما - = فإذا تساوت قيم دالتين إال عند نقطة وحيدة c في مجالهما فإن نهايتيهما عندما تقترب من c متساويتان ألن قيمة النهاية ال تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي. lim = lim ت حسب النهاية عندها لذا فإن (5 - - ( والطريقة األخرى إليجاد نهايات ناتج التعويض فيها صيغة غير محددة هي إنطاق البسط أو المقام أوالا ثم اختصار العوامل المشتركة. ا صتعمال اإنطاق الب صط اأو المقام لح صاب النهايات Ç احسب. lim - Ç 9 لذا أنطق البسط ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. ي نتج عن التعويض المباشر 0 = = lim Ç Ç + lim Ç - ب س إ من تال س تاهقل ث + تا Ç هث م تث Ç Ç بلاجل س = lim 9 ( - 9)( Ç + ) بل ج سلر تاملم تاهتسج بلاجل س بلاجم س تاهلليس بلاجل س = lim ( - 9)( Ç + ) = lim 9 1 Ç + = 1 Ç 9 + = 1 f() = ÇÇÇ + lim 0 تحق f () = Ç - يعز ز التمثيل البياني للدالة - 9 في الشكل المجاور هذه النتيجة. احسب كل نهاية مما يأتي: - 5 )B lim 5 Ç - 5 )A ح صاب النهايات عند الماالنهاية: درست سابقا ا أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه وكذلك الدوال الفردية لها جميعا ا سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه. نهايات دوال القوى عند الماالنهاية ل ز ج ا ا ت n تكذت إلن ث ا ل ا ا ت n تكذت إلن نمو f() = f() = هج ا ا س م ج n lim n = lim n = - lim n = - - إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الرئيس في كثيرة الحدود وهو الحد ذو القوة الكبرى ويمكننا وصف ذلك أيضا ا باستعمال النهايات. الدر س - ر سل تانمل لا جل ل 1

144 تكذت إلنت p() = a n n + + a 1 + a 0 اتاة إث ة ر ا ثلكن lim p() = lim a n n, lim - p() = lim - a n n يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند الماالنهاية. تذك ر أن كون نهاية الدالة أو - ال يعني أنها موجودة ولكنه وصف لسلوك منحناها فإما أن يكون متزايدا ا بلحدود أو متناقصا ا بل حدود. احسب كل نهاية مما يأتي: نمل ة اتاة إث ة تا ا ان تاهلهنمل ة نمل ة اتاة تاق ة ان تاهلهنمل ة نمل ة اتاة إث ة تا ا ان تاهلهنمل ة ل س ة تا س ث فلبت نمل ة اتاة تاق ة ان تاهلهنمل ة نمل ة اتاة إث ة تا ا ان تاهلهنمل ة ل س ة تا س ث فلبت نمل ة اتاة تاق ة ان تاهلهنمل ة lim ( ) - lim ( ) )a - lim ( + - ) lim (5 - ) - = lim - = - lim ( + - ) )b = lim - = - lim = - lim (5 - ) )c - = lim 5 - = 5 lim - = 5 = احسب كل نهاية مما يأتي: نهايات دوال كثيرات الحدود عند الماالنهاية ال صرب في الماالنهاية lim c f() = من تجن تا تاة لج ه ل م جلة مجزت ة بتس م ا إ هل ت ج بت من تام ا c ا ت ثلكن س تاق ث ا ا م ج ه غ ت تا س تجمل س بمل ث ا ا سلا ثلكن م س تكيسلرت مل ا ب قج تانمل ة من - ر -1( )= - 5 نهايات دوال كثيرات الحدود عند الماالنهاية lim ( ) )5C lim ( ) )5B lim ( ) )5A - - ولحساب نهاية دالة نسبية عند الماالنهاية نحتاج إلى خصائص أخرى للنهايات. نهايات دالة المقلوب عند الماالنهاية التعبير اللفظي: تكن نمل ة اتاة تاهق ان م ج تج سلا ملهنمل ة سا 1 الرموز: = 0 lim 1 = lim - دالة المقلوب تجن اتاة تاهق إ 1 = () f ر a() اتاة a().a() 0 ة ا f() = 1 f() = 1 lim ± 1 n نتيجة: هج ا ا س م ج n ثلكن = 0 ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند الماالنهاية وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة. 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

145 احسب كل نهاية مما يأتي: بق سهة إ ر ا تجا ة بلاجل س سل س تاق سهة تاهته تاا ا تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة اتاة تاهق ان تاهلهنمل ة f()= lim 8 - )a = lim + 5 lim = lim = lim + 5 lim 1 lim 8 - lim 1 = = 1 يعز ز التمثيل البياني للدالة + 5 f () = المجاور 8 - هذه النتيجة. lim - - = lim تحق بق سهة إ ر ا تجا ة بلاجل س سل س تاق سهة تاهته تاا ا تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة اتاة تاهق ان تاهلهنمل ة بق سهة إ ر ا تجا ة سل س تاق سهة تاهته تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة اتاة تاهق ان تاهلهنمل ة lim = lim - lim )b lim - - lim - = lim + lim = 0-0 = = lim 5 lim lim = 5 9 lim 1 + lim 1 = = 5 0 وحيث إن نهاية المقام صفر فإننا نكون قد طبقنا خطأا خاصية القسمة إال أننا نعلم أنه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة تقترب من الصفر فإن الناتج سيكون كبيرا ا بشكل غير محدود أي أن النهاية هي. lim )C lim )c احسب كل نهاية مما يأتي: نهايات الدوال الن صبية عن الماالنهاية )B lim )A ح صاب النهايات ه م ت سجمهلل تا ل سلة تال لن ة lim f () ل هك تلا c إلث تج تكنهل lim f () ه ن ± ت سجمهلامل ثق ا سل f() الم س تاق لة من c تج تا ل ة تكذ من تاهه ن تجن م تاجهث تال لن تا تاة س إ ل مج ان مل قج من c تج ان مل زاتا تج نق س بتس م ا ا ت ت تجن سجمه تاا ت تاتل ة ث ر سل تانمل لا الدر س - ر سل تانمل لا جل ل 15

146 درست سابقا ا أن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من األعداد الطبيعية ومداها مجموعة من األعداد الحقيقية لذا فإن نهاية المتتابعة هي نهاية دالة عندما n. إذا كانت النهاية موجودة فإن قيمة هذه النهاية هي العدد الذي 1 = (n) f حيث n عدد صحيح n ب a n = 1, 1, 1 تقترب منه المتتابعة. فمثلا يمكن وصف المتتابعة, 1, a n (1) + 1 lim فإن المتتابعة تقترب من الصفر. n 1 موجب. وبما أن = 0 n اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة مما يأتي ثم أوجد نهايتها إن و جدت: 1 + 5, () , () , () , (5) lim n + 1 n n + 5 a n = n+ 1 n n a n = n + 1 )a n + 5 الحدود الخمسة األولى هي أو بصورة تقريبية هي.,0.7,1,1.5,1. 1. لحساب نهاية المتتابعة أوجد n ة تجا ا ر إ بق سهة lim n + 1 = lim n + 5 n n + 1 n n lim n = + lim 1 n n سل س تاق سهة تاهته تا س ث فلبت lim lim 1 n n n + 0 نمل جل تا تاة تاثلبجة اتاة تاهق ان تاهلهنمل ة = = أي أن نهاية المتتابعة هي بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من. a n المجاور هذه النتيجة. يعز ز التمثيل البياني للدالة + 1 n = n + 5 b n = 5 n تحق n ( n + 1 ) )b الحدود الخمسة األولى بصورة تقريبية هي.,5,.81,., واآلن أوجد نهاية المتتابعة بج ب فنل ة تا بلا س بق سهة إ ر ا تجا ة n ف ت سجمهلل سل س تاق سهة تاهته تا س ث فلبت نمل جل تا تاة تاثلبجة اتاة تاهق ان تاهلهنمل ة lim n 5 n = lim 5 n ( n + n + 1) n (n + 1 ) n n 5 n + 10 n + 5 n n n = lim lim lim 1 n n n + 5 lim 1 n n = lim n = 5 = 1.5 أي أن نهاية المتتابعة هي 1.5 بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 1.5. تحق نهايات المتتابعات كو ن جدول قيم واختر قيما ا كبيرة ل. قيم b n في الجدول أدناه مقربة إلى أقرب منزلتين عشريتين قج n من n b n التحق من معقولية الناتج ا ج ق من ممق ا ة تانل ث تاهثلل 7 تج ج إي من ر تاه ة تهجا تامتس ة ت هف ا تاج تا ل تجنمل قج س ت م من تام ا ا ت ثلكن ر ا تاهججلبمة جقلر من تام ا 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا اكتب الحدود الخمسة األولى لكل متتابعة مما يأتي ثم أوجد نهايتها إن و جدت: c n = 9 n(n + 1)(n + 1) n )7C b n n = n + 8 )7B a n = n + 1 )7A

147 استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: )مثلل ) 1 lim ) lim (5-10) ) 1 - lim [ ( + 1) + [ ) lim ( Ç ) ) lim - - ) lim ÇÇÇ + احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: )مثلل ) lim ( ) ) 8 lim lim ÇÇÇ - ) 1 0 lim Ç lim ( Ç ) ) 1 lim ( ) ) ) 1 فيزياء: حسب نظرية آينشتاين النسبية فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v ت عطى بالعلقة = m حيث c سرعة الضوء m 0 ÇÇÇ 1 - v m 0 كتلة الجسم االبتدائية أو كتلته عند السكون. )مثلل ). ووض ح العلقة بين هذه النهاية و m 0 lim m أوجد a( v 0 b( ماذا يحدث لكتلة جسم يسير بسرعة تقترب من سرعة الضوء lim 0 ÇÇÇ lim 0 - ÇÇÇ + 9 ÇÇÇ + - lim - lim lim lim c ) 5 ) 7 ) 9 احسب كل نهاية مما يأتي: )تاهثلهن ), ) 1 5 lim ) 1 7 lim ) 1 9 lim ) 1 ) 1 ) 1 8 احسب كل نهاية مما يأتي: )تاهثلهن ) 5, ) اإ صفنج: تحتوي مادة هلمية على حيوان اإلسفنج وعند وضع المادة الهلمية في الماء فإن حيوان اإلسفنج يبدأ بامتصاص الماء l(t) = 105 t والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة t حيث l طول حيوان اإلسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في الماء. )مثلل ) l l l t = 0 t = t 1 t = t n a( ما طول حيوان اإلسفنج قبل وضعه في الماء b( ما نهاية الدالة عندما t c( وض ح العلقة بين نهاية الدالة l وطول حيوان اإلسفنج. ) 7 حيوانات: ي عطى وزن حيوان w بالكيلوجرام بعد d يوما ا من والدته = w(d). )مثلل ) 50 بالدالة ) d 98( a( ما وزن الحيوان عند والدته b( ما نهاية الوزن الذي سيصل ه الحيوان )الوزن عندما d ( احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة: )مثلل ) 7 a n = - n + n - 1 n + n a n = 8 n + 5n + + n a n = 1 n(n + 1)(n + 1) n ) 9 a n = 8n + 1 n - ) 1 a n = 1 n + n - 1 ) a n = 1 n (n + 1 ) lim - n ) 8 ) 0 ) احسب كل نهاية مما يأتي: lim ( - ) + 1 lim -, -, > - ), 0, > 0 ) 5,, > ) ) 1 lim ( ) ) 0 ) lim ( ) ) ) 5 lim ) الدر س - ر سل تانمل لا جل ل 17

148 احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim ( cos ) ) 8 lim sin 0 π ) lim Ç ) 0 lim tan 0 ) 9 ) 1 اأحياء: ي عطى اتساع البؤبؤ بالملمترات لعين حيوان بالعلقة = d() حيث االستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس.(lu) a( اكتب نهاية لوصف اتساع البؤبؤ عندما تكون االستضاءة في حدها األدنى ثم احسب النهاية وف س ر معناها. b( اكتب نهاية لوصف اتساع البؤبؤ عندما تكون االستضاءة في حدها األعلى ثم احسب النهاية وفس ر معناها. lim لكل دالة مما يأتي: h 0 f ( + h) - f () h أوجد f() = 7-9 ) f () = - 1 ) f() = ÇÇÇ + 1 ) 5 f() = Ç ) f() = ) 7 f () = ) ) 8 فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقةا ت سمى الطاقة الحركية ألن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وت عطى الطاقة الحركية 1 = k(t) حيث v(t) سرعة لجسم متحرك بالعلقة (v(t)) m الجسم عند الزمن t و m كتلته بالكيلوجرام. إذا كانت سرعة جسم 50 = v(t) لكل 0 t وكتلته 1 kg فما الطاقة الحركية التي 1 + t يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100 s ) 9 برهان: استعمل خصائص النهايات إلثبات أنه ألي كثيرة حدود p() = a n n + a n - 1 n a + a 1 + a 0 وألي عدد حقيقي c فإن p(c) lim p() = c ) 5 0 برهان: استعمل االستقراء الرياضي إلثبات أنه إذا كان n فإنه ألي عدد صحيح lim f () = L c. lim c [ f() [ n = [ lim c f () [ n = L n ) 5 1 تحد : احسب النهاية اآلتية إذا كانت 0 m : a n 0, b lim a n n + a n - 1 n a + a 1 + a 0 b m m + b m - 1 m b + b 1 + b 0 ( إرشاد:افترض كل من الحاالت (m < n, n = m, m > n 5 تبرير: إذا كانت r() دالة نسبية فهل العلقة (c) lim r() = r c ) صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو غير صحيحة أبدا ا بر ر إجابتك ) 5 اكتب: استعمل جدوالا لتنظيم خصائص النهايات وضم نه مثاالا على كل خاصية. p(). lim تد عي ليلى أن قيمة هذه 5 اكتب: افترض أن = q() a ) النهاية هي. 1 وض ح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية إذا كانت موجودة f() استعمل التمثيل البياني للدالة f () أدناه إليجاد كل مما يأتي: )تا ر س -1 ) f (-) lim f () ) f (0) lim f () ) 5 0 f () lim f () ) 5 7 ) لكل زوج من f g أوجد g)() )() (f.g)() (f - g)() (f + الدوال اآلتية ثم حد د مجال الدالة الناتجة: مملرة سلبقة f() = + 1 ) 5 9 f() = - ) 5 8 g() = - 1 g() = + 9 lim h - h + 5h ) 0 ما قيمة h 0 h 5 H F J G غيرموجودة + π = g() عندما cos ( + π) ) 1 ما القيمة التي تقترب منها تقترب من 0-1 π C -π A 0 D - B ) باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه ما قيمة () lim f + 1 f() 1 J 5 G 1 H 0 F غير موجودة 18 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

149 معمل الحا صبة البيانية: ميل المنحنى The Slope of a Curve.1 يعتبر ميل المستقيم بوصفه معدالا ثابتا ا للتغير مفهوما ا واضحا ا إال أن الميل ليس واضحا ا بالنسبة للمنحنيات بصورة عامة إذ يتغير ميل المنحنى عند كل نقطة عليه. وبشكل عام فإن التمثيلت البيانية لمعظم الدوال تبدو خطيةا عند تفح صها على فترة قصيرة جد ا. اله د ت سجمهلل تا ل سلة تال لن ة م اجق TI - nspire من ن وبالنظر إلى القواطع المتتالية يكون من الممكن تطبيق فكرة الميل على المنحنيات خطو القاطع قد ر ميل منحنى الدالة + 1 ) - ( = عند النقطة ).(, خطوة 1 أدخل + 1 ) - ( = في f1 ثم احسب ميل القاطع المار بمنحنى + 1 ) - ( = عندما =. =, ميل القاطع يساوي. خطوة احسب ميل القاطع المار بمنحنى + 1 ) - ( = عندما =.5. =.5, ميل القاطع يساوي.5. خطوة احسب ميل القاطع المار بمنحنى + 1 ) - ( = عندما =.. =.8, ميل القاطع يساوي.0. خطوة أوجد ميل قواطع أخرى في فترات متناقصة حول النقطة (,). كلما نقص طول الفترة حول النقطة (,) فإن ميل القاطع يقترب أكثر من العدد لذا فإن ميل منحنى ) ( = عند النقطة ) (, هو تقريبا ا. ا صتك صا - ممه تا ل سلة تال لن ة م الدر س - تاهن ن 19 تمارين : قد ر ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند النقطة المعطاة: = - 5, (, ) ) = ( + 1 ), (-, 9) ) 1 = Ç, (1, 1) ) = -, (0.5, 0) ) حلل النتائج ) 5 ) حلل: صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة (b,a) على المنحنى. خم ن: ص ف كيف يمكنك إيجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطاة عليه.

150 وال صرعة المتجهة المما س Tangent Lines and Velocit عندما يقفز المظلي من ارتفاع ft فإن سرعته في اتجاه األرض تزداد مع مرور الزمن بسبب تسارع الجاذبية األرضية وتستمر سرعته في االزدياد حتى يفتح مظلته عند ارتفاع 500 ft أو عندما يصل إلى السرعة المتجهة الحدية وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي ويحدث هذا عندما تصبح محصلة القوى عليه صفرا ا. المما صات: تعلمت سابقا أن م ع دل تغي ر منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة إلى أخرى عليه ويمكن حساب متوسط م عدالت تغي ر الدالة غير الخطية على فترة باستعمال القاطع. ففي التمثيلت البيانية أدناه للدالة = والقاطع الذي يقطعه مار ا بالنقطة (1,1) وبنقطة أخرى مثل (9,) أو (,) أو (1.1,1.1) تجد أن القاطع يتخذ أوضاعا ا مختلفة يتغير خللها ميله. m =.1 (1.1, 1.1) (1, 1) (, ) (1, 1) m = ال صكل 1 ( ال صكل ( ال صكل ( (1, 1) (, 9) m = الحظ أنه كلما قص ر طول الفترة بين نقطتي التقاطع زادت د ق ة تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة. إذا واصلنا تقصير الفترة إلى درجة تكون فيها نقطتا التقاطع متطابقتين كما في الشكل () أعله فإننا نحصل على مماس للمنحنى وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى ولكنه ال يعبره عند نقطة التماس. ويمثل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس. ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة f()),) فإنه يمكننا الرجوع إلى صيغة ميل القاطع المار بالنقطتين ()) (, f و h)) ( + h, f ( + كما في الشكل المجاور ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة: f ( + h) - f () m = = f ( + h) - f () ( + h) - h وت س م ى هذه الصيغة قسمة الفرق. h 0 فكلما اقتربت النقطة (+h)) (+h, f من النقطة f()),) أي كلما اقتربت قيمة h من الصفر فإن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة ((),) f لذا يمكننا حساب ميل المماس وهو م ع دل التغي ر اللحظي للدالة عند تلك النقطة على أنه نهاية ميل القاطع عندما 0 h. م م ل تاجغ تا ا تاة f ان تانقاة f()),) م تاههل س m ان تانقاة f ()),) f ( + h) - f () م ج اة تانمل ة تجن ن بتس ا m = lim ما بلا س غة = f() ( + h, f( + h)) (, f()) + h h ار ست تك تلا مج س م م ها تاجغ بل سجمهلل تاقل تج م م ل تاجغ تا ا تاة ا ة ان نقاة ب سل م مهل س من ن تا تاة ان تانقاة تج تا س اة تاهج ساة تاهجتمة تا س اة تاهجتمة تا ة تاههل س tangent line م م ل تاجغ تا instantaneous rate of change سهة تاا ا difference quotient تا س اة تاهجتمة تا ة م عدل التغي ر اللحظي instantaneous velocit الف صل تانمل لا تهيسجقلا

151 (1, 1) يمكنك استعمال مفهوم معدل التغي ر اللحظي إليجاد ميل مماس منحنى عند نقطة عليه. أوجد ميل مماس منحنى = عند النقطة( 1,1). تا تاجغ م ل غة م س = 1 f(1 + h) = (1 + h ), f(1) = 1 بلا س بلاجل س f( + h) - f() m = lim h 0 h f(1 + h) - f(1) = lim h h 0 = lim (1 + h ) - 1 h 0 h = lim 1 + h + h - 1 h 0 h h( + h) = lim h h 0 h ا بلاق سهة = lim ( + h) h 0 = +0= سل س تاهته ا نمل لا نمل ة تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة م ع دل التغي ر اللحظي ان ر سل نمل ة م تاه سجق تاقل ان مل 0 h ثلكن تا ا تالل ة بم تكج تض ته ج سلرتا تاج ج تاهجغ سج سل h تج سالر ت ميل منحنى عند نقطة علي 1 أي أن ميل منحنى = عند النقطة (1,1) هو. أوجد ميل مماس كل منحنى مما يأتي عند النقطة المعطاة: = +, (-, 8) )1B =, (, 9) )1A كما يمكنك استعمال صيغة م عدل التغي ر اللحظي إليجاد معادلة لميل مماس المنحنى عند أي نقطة f()) ), عليه. أوجد معادلة ميل منحنى = عند أي نقطة عليه. f( + h) - f() تا تاجغ م ل غة م س m = lim h 0 h - + h f( + h) = m = lim + h, f() = h 0 h - h ( + h) تاجل س ف ث تال س تا س ن بته m = lim h 0 h -h بلاجل س m = lim h( + h) بلاق سهة ا h ف تا س سل س تاهته تاق سهة ا نمل لا نمل ة تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة m = m = - 8 (-, -1) 8 (1, ) (8, 0.5) 8 بلاجل س m h 0 = lim - h 0 + h - m = + (0) m = - أي أن ميل المنحنى عند أي نقطة f()),) عليه هو - = m كما هو مبي ن في الشكل المجاور. ميل المنحنى عند اأي نقطة علي أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: m =- 1 = )B = - + )A الدر س - تاههل س تا س اة تاهجتمة 151

152 ال صرعة المتجهة اللحظية: تعلمت سابقا طريقة حساب السرعة المتوسطة المتجهة لجسم يسقط إلى األسفل من خلل قسمة المسافة المقطوعة على الزمن الذي استغرقه الجسم لقطع تلك المسافة ويمكنك استعمال الطريقة نفسها لحساب السرعة المتوسطة المتجهة بإضافة االتجاه. فاإلشارة الموجبة للناتج تعني اتجاه األمام أو األعلى أما اإلشارة السالبة فتعني اتجاه الخلف أو األسفل. تكذت تج اا م ج س مج ب سا اتاة ث تازمن f(t) ثلكن تا س اة تاهج ساة تاهجتمة ا ت س v ث تااج ة تازمن ة من a تكا ما b بلا س غة تاه سلثة avg تاجغ ث = v = f(b) - f(a) avg ث تازمن تاجغ b - a جري: تمث ل المعادلة f(t) = 1.- t + 1t المسافة باألميال والتي قطعها عد اء بعد t ساعة. ما سرعته المتوسطة المتجهة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق أوجد أوالا المسافة الكلية التي قطعها العد اء عند الزمن = b. a =, f(t) =-1. t + 1t ة تاهملااة تهج س f(t) = -1. t + 1t ال صرعة المتو صطة المتجهة ال صرعة المتو صطة المتجهة f() = -1.( ) + 1() a =, b = f() = -1.( ) + 1() f()= 18.8 بلاجل س f()=. استعمل اآلن صيغة السرعة المتوسطة المتجهة. f(b) - f(a) = avg س v غة تا س اة تاهج ساة تاهجتمة b - a f(b) =., f(a) = 18.8, b =, a = بلاجل س = - = 5.5 أي أن السرعة المتوسطة المتجهة للعد اء بين الساعتين الثانية والثالثة هي 5.5 mi/h إلى األمام. ( بالون: تمث ل h(t) = 5 + 5t - 1 t االرتفاع باألقدام بعد t ثانية لبالون يصعد رأسي ا ما السرعة المتوسطة المتجهة للبالون بين t = s t = 1 s تجر ز تام تض تا سم ا م ه يسل ن ذ ل ة سللا 1500 m ث ا رة تجامل ت س ل تاهقلمة ث تا س ن ال 010 إ مج م سلثة ا ثق بلاهج س ل ل ق قة :: ا يل f(t) (,.) 0 (, 18.8) t إذا أمعن ا النظر في إجابة المثال نجد أنهتم حساب السرعة المتوسطة المتجهة من خلل إيجاد ميل القاطع الذي يمر بالنقطتين (18.8,) (.,) كما في الشكل المجاور. والسرعة المتجهة التيتمحسابهاهي السرعة المتوسطة المتجهةخللفترة زمنية وليست السرعةالمتجهةاللحظية والتيتساويسرعةالجسمالمتجهةعندلحظة زمنيةمحددة. وإليجاد سرعة العد اء المتجهة عند لحظة زمنية محددة t فإننا نجد م عد ل التغي ر اللحظي لمنحنى (t) f عند تلك اللحظة. تكذت تج اا ت تاه سلثة تاج قاممل ج س ا س رة f (t) ب هاة تازمن t ثلكن تا س اة تاهجتمة تا ة v(t) ا ا تات س ان تازمن ما t بلا س غة بتس ا تجن ن تانمل ة م ج اة f(t + h) - f(t) v (t) = lim h h 0 ال صرعة المتجهة اللحظية 15 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

153 ال صرعة المتجهة اللحظية عند لحظة زمنية معينة سقطت كرة من قمة بناية ارتفاعها 000 ft وتمثل الدالة h(t) = t ارتفاع الكرة عن سطح األرض باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للكرة بعد 5. s إليجاد السرعة المتجهة اللحظية افترض أن = 5 t وطبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. س غة تا س اة تاهجتمة تا ة f(t + h) = 000-1(5 + h ), f(t) = 000-1(5 ) بلا س ف تاجل س بلاج f(t + h) - f(t) v (t) = lim h h (5 + h ) = lim - [000-1(5 ) ] v (5) h h 0 = lim -10h - 1 h h 0 h h(-10-1h) = lim h h 0 h ا بلاق سهة = lim ( -10-1h) h 0 تاثلبجة تا تاة نمل ة ا نمل لا ة تاا ا ل س 10-= - (0)1 = 10- تا تاة تاه ل ة أي أن سرعة الكرة بعد 5 s هي 10 ft/s أما اإلشارة السالبة فتعني أن الكرة تهبط ألسفل. ( سقطت علبة مادة التنظيف من يد عامل في أثناء قيامه بتنظيف نافذة بناية على ارتفاع 100 ft عن سطح األرض وتمثل الدالة h(t) = t ارتفاع العلبة باألقدام بعد t ثانية. أوجد السرعة المتجهة اللحظية للعلبة v(t) بعد. 7 s التعوي س إ تجن ز تهكيسلرة تا سلالة تكا سلر f(t) ا إ ر ث مل يمكن إيجاد معادلة للسرعة المتجهة الل حظية عند أي زمن. ت عطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة - 1. s(t) = 18t - t أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن. v (t) s(t + h) - s(t) = lim h h 0 طب ق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. س غة تا س اة تاهجتمة تا ة s(t + h) = 18(t + h) - (t + h ) - 1 s(t) = 18t - t - 1 ال صرعة المتجهة اللحظية عند اأي لحظة زمنية بلا س ف تاجل س بلاج بلاق سهة ا h ل س ة تاا ا ا نمل لا نمل ة تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة بلاجل س 18(t + h) - (t + h ) = lim [18t - t - 1] h h 0 18h - 9 t = lim h - 9t h - h h h 0 h(18-9 t - 9th - h = lim ) h h 0 = lim h 0 (18-9 t - 9th - h ) = 18-9 t - 9t(0) - (0 ) = 18-9 t 5 أي أن سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند أي زمن هي v. (t) = 18-9 t 5( تمث ل الدالة s(t) = 90t - 1 t ارتفاع صاروخ بعد t ثانية من إطلقه رأسي ا من مستوى سطح البحر حيث االرتفاع باألقدام. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية (t) v للصاروخ عند أي زمن. الدر س - تاههل س تا س اة تاهجتمة 15

154 أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )مثلل 1( = - 5, (1, -), (5, 0) ) 1 = -, (-, 1), (, -1) ) =, (1, ), (, 1) ) = + 8, (-, 0), (1, 9) ) أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: )مثلل ( تمث ل h(t) في كل مما يأتي ب عد جسم متحرك باألقدام بعد t ثانية. أوجد السرعة المتجهة الل حظية لهذا الجسم عند الزمن الم عطى: )مثلل ( h(t) = t, t = ) 1 7 h(t) = 8t - 1 t, t = 0.8 ) 1 8 h(t) = -1 t - 00t , t =.5 ) 1 9 h(t) = t, t =.8 ) 0 h(t) = 7t - 1 t, t =.1 ) 1 h(t) = -1 t , t = 1.8 ) تمث ل s(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن : )مثلل 5( s(t) = t - t ) s(t) = 1 t - 7 ) s(t) = 18 - t + t ) s(t) = 5t + 8 ) 5 = - + ) = - ) 5 = 1 ) 8 = 8 - ) 7 = - ) 1 0 = 1 Ç ) 1 1 تزلج: تمث ل الدالة p(t) = 0.0 t t موقع متزلج على سفح جليدي بعد t ثانية من انطلقه. )مثلل ( p(t) ) 9 s(t) = t t ) 8 s(t) = 1 t - t ) 7 h a( أوجد معادلة ميل السفح الجليدي عند أي زمن..t = s, 5 s, 7 s أوجد الميل عندما )b تمث ل s(t) في كل مما يأتي ب عد جسم متحرك باألميال بعد t دقيقة. أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم بالميل لكل ساعة في الفترة الزمنية المعطاة. (تذكر بأن تحو ل الدقائق إلى ساعات) :)مثلل ( s(t) = 0. t t, t 5 ) 1 t s(t) = 1.08t - 0, t 8 ) 1 s(t) = 0.01 t t, t 7 ) 1 s(t) = -0.5(t - 5 ) +, t.5 ) w(t) = 10 t - عدد الكلمات التي طبعها ) 1 طباعة: تمث ل t خالد بعد t دقيقة. )مثلل ( a( ما متوسط عدد الكلمات لكل دقيقة بين الدقيقتين الثانية والرابعة b( ما متوسط عدد الكلمات لكل دقيقة بين الدقيقتين الثالثة والسابعة ) 9 قفز مظلي: يمكن وصف ارتفاع مظلي باألقدام عن سطح األرض بعد t ثانية بالدالة. h(t) = t )مثلل )5 a( أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للمظلي بين الثانيتين الثانية والخامسة من القفز. b( كم بلغت السرعة المتجهة اللحظية للمظ ل ي عند الثانية الثانية وعند الثانية الخامسة c( أوجد معادلة سرعة المظلي المتجهة اللحظية عند أي زمن. ) 0 غو س: ي بي ن الجدول أدناه ارتفاع غواص d باألمتار عن سطح الماء بعد t ثانية من قفزه من مكان مرتفع نحو الماء. t d a( احسب السرعة المتوسطة المتجهة للغواص في الفترة الزمنية.0.5 t 1.0 b( إذا كانت معادلة المنحنى التقريبي لنقاط الجدول هي -0.0t+5.0.d(t) = -.91 t فأوجد سرعة الغواص المتجهة اللحظية v(t) بعد t ثانية ثم استعمل v(t) لحساب سرعته بعد. s 15 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

155 ) 5 تحد : أوجد معادلة ميل مماس منحنى f() = + - عند أي نقطة عليه. ) 1 كرة القدم: ركل سلمان كرة بسرعة رأسية قدرها 75. ft/s افرض أن ارتفاع الكرة h باألقدام بعد t ثانية م عطى بالدالة. h(t) = -1 t + 75t +.5 h t. v(t) أوجد معادلة سرعة الكرة المتجهة اللحظية a( b( ما سرعة الكرة المتجهة بعد 0.5 s من ركلها c( إذا علمت أن السرعة المتجهة اللحظية للكرة لحظة وصولها إلى أقصى ارتفاع هي صفر فمتى تصل إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة ) فيزياء: تعطى المسافة التي يقطعها جسم يتحرك على مسار مستقيم بالمعادلة + +8t d(t) = t حيث t الزمن بالثواني و d المسافة باألمتار. a( أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للجسم v(t) عند أي زمن. b( استعمل v(t) لحساب سرعة الجسم المتجهة عندما t = s, s, s ) تمثيالت متعددة: ستستكشف في هذا التمرين نظرية القيمة المتوسطة والتي تنص على أنه إذا كانت f دالة متصلة على الفترة ]b,a] فإنه توجد نقطة ((c),c) f على منحنى الدالة يساوي الميل عندها متوسط م عد ل تغي ر الدالة على الفترة نفسها. f() = عددي ا: أوجد متوسط م عد ل تغي ر الدالة )a في الفترة ],1] وأوجد معادلة القاطع على هذه الفترة. b( عددي ا: أوجد معادلة ميل مماس منحنى الدالة عند أي نقطة على منحنى f(). c( عددي ا: أوجد نقطةا على منحنى f() بحيث يكون الميل عندها مساويا ا لمتوسط م عد ل تغي ر الدالة الذي أوجدته في الفرع a وأوجد معادلة مماس منحنى f() عند هذه النقطة. d( لفظي ا: خم ن العلقة بين قاطع f() على الفترة ],1] والمماس عند النقطة التي أوجدتها في الفرع. c e( بياني ا: استعمل حاسبة بيانية لتمثيل كل من f() القاطع المماس على الشاشة نفسها. هل يعزز التمثيل البياني تخمينك فسر إجابتك. ) اكت صف الخطاأ: س ئل علي وجميل أن يصفا معادلة ميل مماس منحنى الدالة الممثلة بياني ا في الشكل المجاور عند أي نقطة على منحناها. فقال علي: إن معادلة الميل ستكون متصلة ألن الدالة األصلية متصلة في حين قال جميل: إن معادلة الميل لن تكون متصلة. أيهما كانت إجابته صحيحة فس ر إجابتك. ) تبرير: هل العبارة اآلتية صحيحة أو خاطئة " يقطع المماس منحنى الدالة عند نقطة التماس فقط". بر ر إجابتك. ) 7 تبرير: صح أم خطأ: إذا أ عطيت المسافة التي يقطعها جسم بعد t ثانية ب s(t) = at + b فإن السرعة المتجهة اللحظية للجسم تساوي a دائما ا. بر ر إجابتك. ) 8 اكتب بين لماذا تكون السرعة المتجهة اللحظية صفرا ا عند نقطة القيمة العظمى أو الصغرى. احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت) :)تا ر س -( lim ( + - ) ) 9 lim ( ) ) 0-1 lim ( + sin ) ) 1 0 احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): )تا ر س -( lim lim ) ) ) ما معادلة ميل منحنى = عند أي نقطة عليه G F - J H ) 5 سقطت كرة بشكل رأسي فكانت المسافة التي تقطعها باألقدام بعد d() lim d(t) - تمثل t ثانية تعطى بالدالة.d(t) = 1 t إذا كانت t - سرعة الكرة بعد s فكم سرعتها بعد s ft/s C ft/s A 7 ft/s D 58 ft/s B ) ماميل مماس منحنى + 7 = عند النقطة ), ) 7 G -9 F J 9 H f() = الدر س - تاههل س تا س اة تاهجتمة 155

156 اختبار منت صف الف صل الدرو س من - 1 اإلى - lim (.7) 1 1 lim 0 + lim cos lim ÇÇÇ + 1 lim - Ç قد ر كل نهاية مما يأتي: )تا ر س -1( sin ) lim ) lim - 18 ) ) - - ) lim ) ÇÇÇ + 0 ) 8 lim ) 7 - ) 9 تزداد قيمة تحفة فنية فريدة سنوي ا بحيث تصبح قيمتها با الف الرياالت بعد t سنة + 00t. v(t) = )تا ر س )-1 t t بياني ا في الفترة 10 v(t) مث ل الدالة )a b( استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة التحفة الفنية عندما.t =, 5, 10. lim v(t) استعمل التمثيل البياني لحساب c( t d( وض ح العلقة بين النهاية وسعر التحفة الفنية. احسب كل نهاية مما يأتي بالتعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب. )تا ر س -( lim ( + - 8) - حياة بري ة: يمكن تقدير عدد الغزالن بالمئات في محمية بالعلقة = P(t) وذلك بعد t سنة حيث.t و ي بي ن 10 t - 0t + t + 1t + 1 الشكل أدناه أعداد الغزالن على مدى 5 سنوات. ما أكبر عدد للغزالن Ç يمكن أن يوجد في هذه المحمية )تا ر س -( احسب كل نهاية مما يأتي: )تا ر س -( اختيار من متعدد : ما قيمة )تا ر س -1( B غير موجودة A - D C أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )تا ر س -( = -, (, -), (-1, ) = - 5, (-, 1), (, -1) = -, (1, -), (, -9) األعاب نارية: انطلقت قذيفة ألعاب نارية رأسي ا ألعلى بسرعة 90 ft/s وتمثل الدالة +. 90t h(t) = -1 t + االرتفاع الذي تبلغه القذيفة بعد t ثانية من إطلقها. )تا ر س -( a( أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للقذيفة. b( ما السرعة المتجهة للقذيفة بعد 0.5 s من اإلطلق c( ما أقصى ارتفاع تبلغه القذيفة اختيار من متعدد: أي مما يأتي يمثل ميل منحنى = 7 - عند أي نقطة عليه. )تا ر س )- m = 7 - G m = 7 F m = 1 - J m = 1 H ت عطى المسافة التي يقطعها جسم متحرك باألميال بعد t دقيقة بالدالة s (t). أوجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم في كل مما يأتي بالميل لكل ساعة على الفترة الزمنية المعطاة. تذك ر بأن تحول الدقائق إلى ساعات. )تا ر س -( s(t) = t, t 5 s(t) =.05t - 11, 1 t 7 s(t) = 0.9t - 5, t s(t) = 0.5 t - t, t 8 أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) لجسم ي عطى موقعه عند أي زمن بالعالقة h(t) في كل مما يأتي: )تا ر س -( h(t) = t - 9t h(t) = t - 1 t h(t) = t - 5 t h(t) = t - t ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 lim + 1 ) ) 1 1 ) 1 lim - - ) 1 lim ) 1 lim lim ) 1 ) الف صل تانمل لا تهيسجقلا

157 الم صتقات Derivatives ركل أحمد كرةا رأسي ا إلى أعلى من ارتفاع ft فانطلقت بسرعة. 5 ft/s يمكنك استعمال معادالت الحركة بتسارع ثابت التي درستها في الفيزياء لكتابة دالة تصف ارتفاع الكرة بعد t ثانية ومن ثم اشتقاق الدالة لتحديد ما إذا كانت الكرة سوف تبلغ ارتفاع 8 ft أم ال. قواعد اأ صا صية: استعملت النهايات في الدرس - لتحديد ميل مماس منحنى الدالة () f عند أي نقطة عليه وت سمى هذه النهاية مشتقة الدالة ويرمز لها بالرمز () f وت عطى بالصيغة: f ( + h) - f () f () = lim h h 0 بشرط وجود هذه النهاية وت سم ى عملية إيجاد المشتقة باالشتقاق وت سم ى النتيجة معادلة تفاضلية. أوجد مشتقة f () = - ثم احسب قيمة المشتقة عندما = 1, 5. س غة تاهتسجقة f ( + h) = ( + h ) - 5( + h) + 8, f () = بلاجل س بلاج بلاق سهة ا h ل س جل تاهته تاا ا ا نمل لا نمل جل تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة f( + h) - f() f () = lim h h 0 ( + h ) = lim - 5( + h) ( ) h h 0 8h + h = lim - 5h h h 0 h(8 + h - 5) = lim h h 0 = lim (8 + h - 5) h 0 = [8 + (0) - 5] = 8-5 أي أن مشتقة () f هي f () = احسب () f عندما =1, 5. ار ست ر سل م تاههل سلا هك تلا م م ل تاجغ تا تج م من ن اتاة ا ة بل سجمهلل تاهتسجقلا تج سجمه لن ن تا س تاق سهة هك تلا تاهتسجقلا تاهتسجقة derivative تهيسجقلا differentiation تاهملااة تاجال س ة 1 م صتقة دالة عند اأي نقطة differential equation تاه ف تاجال س differential operator الم صتقات ق تج تا مز () f متسجقة f بلان سلة ا هجغ f prime of تج f () = 8-5 ة تاهملااة تهج س f () = 8-5 f (1) = 8(1) - 5 = 1, =5 f (5) = 8(5) - 5 f (1) = بلاجل س f (5) = 5 أوجد مشتقة f () ثم احسب قيمة المشتقة عند قيم المعطاة: f () = , = 1, )1B f () = + 7, =, 5 )1A فإن ذلك يعني إيجاد d d df, وإذا سبق الدالة المؤثر التفاضلي d, d d ي رمز لمشتقة () = f أيضا ا بالرموز مشتقة الدالة. الدر س - تاهتسجقلا 157

158 استعملت حتى هذه اللحظة النهاية عندما تقترب من الصفر إليجاد كل من المشتقة وميل المماس والسرعة المتجهة اللحظية. وت عد قاعدة مشتقة القوة من أكثر القواعد فعالية إليجاد المشتقات دون اللجوء إلى استعمال النهايات مما يجعل عملية إيجاد المشتقات أكثر سهولةا ودقة. التعبير اللفظي: ة ث تاهتسجقة تج ب تر من ة ث تا تاة تهج س ة مملم ث تاهتسجقة ة تهج س ة سل الرموز: تكذت إلن n f () = ر n ا ا رق ق ثلكن - 1 n f ( ) = n أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: قاعدة م صتقة القوة قاعدة م صتقة القوة تا تاة تاهمالة لا ة متسجقة تاق ة بلاجل س f () = 9 f () = = 9 8 f () = 9 )a تا تاة تاهمالة بلكالاة إجلبة تا تاة إق ن سل ة لا ة متسجقة تاق ة بلاجل س تا تاة تاهمالة g() g() g () h() = 5 Ç 7 = = = = 7 5 = 1 8 g() = 5 Ç 7 )b 5 Ç h() = 1 8 )c m() = 1 5 بلكالاة إجلبة تا تاة إق سلالة لا ة متسجقة تاق ة بلاجل س h() = -8 h () = = = أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )C k() = Ç )B j() = )A هناك العديد من قواعد االشتقاق األخرى المهمة التي تفيد في إيجاد مشتقات الدوال التي تحوي أكثر من حد. قواعد اأخرى لال صتقاق م صتقة الثاب : متسجقة تا تاة تاثلبجة سل سا ت تج تجن تكذت إلنت f () = c ر c ا ا فلبت ثلكن = 0 f () تكذت إلنت f () = c n ر c فلبت n ا ا رق ق ثلكن - 1 n f () = c n م صتقةم صاعفاتالقوى: تكذت إلنت h() f () = g() ± ثلكن h () f () = g () ± م صتقة المجمو اأو الفرق: م صتقات القوى ال صالبة متسجقة - f () = ا ست إ f () = - - بلجننل ت تجن نا تر ت من ت جه س ان س ا = - + (-1) ا ت ثلكن -5 f () = الف صل تانمل لا تهيسجقلا

159 f() = 5 + أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: تا تاة تاهمالة تاهته سلاالا تاق م تاثلبت متسجقلا تا بلاجل س تا تاة تاهمالة ة تاج ز ل س تاهته متسجقج م سلاالا تاق لا ل بلاجل س تا تاة تاهمالة بق سهة إ ر ث تال س ا 5-1 = تا متسجقلا تاثلبت م سلاالا تاق تاهته تاا ا بلاجل س f () = = 15 g() = 5 ( + ) g() = f () = 5 + )a g() = 5 ( + ) )b g () = = h() = Ç 5 )c = Ç h() 5 h() h() h () = Ç 5 = = = = Ç - 1 قواعد اال صتقاق أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: h() = )C g() = ( + ) )B f() = )A الم صتقات تكذت إلنت f () ثلكن = 1 f () = تكذت إلنت f () = c ثلكن. f ( ) = c اآلن وبعد أن درست القواعد األساسية للشتقاق يمكنك حل المسائل التي تتطلب حساب ميل مماس المنحنى أو إيجاد السرعة المتجهة اللحظية بخطوات أقل. في مثال 5 من الدرس - أوجدنا معادلة السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك وستلحظ اآلن سهولة حل المسألة نفسها بتطبيق قواعد االشتقاق. ت عطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة - 1 s(t) = 18t - t أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم. الدر س - تاهتسجقلا 159 السرعة المتجهة اللحظية للجسم هي s (t). تا تاة تاهمالة تا متسجقلا تاثلبت م سلاالا تاق تاا ا بلاجل س ال صرعة المتجهة اللحظية s(t) = 18t - t - 1 s (t) = 18 1 t t = 18-9 t أي أن سرعة الجسم المتجهة اللحظية هي. v(t) = 18-9 t الحظ أن هذه اإلجابة مكافئة لتلك التي حصلت عليها في المثال 5 من الدرس - 8. ( تمث ل الدالة h(t) = 55t - 1 t االرتفاع باألقدام بعد t ثانية لكرة ق ذ فت رأسي ا إلى أعلى. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للكرة عند أي زمن.

160 ت سم ى النقطة التي تكون عندها مشتقة الدالة صفرا ا أو غير م عرفة نقطةا حرجةا للدالة. والنقطة الحرجة قد تشير إلى وجود نقطة قيمة عظمى أو صغرى للدالة وتحدث عندما يكون ميل مماس منحنى الدالة صفرا ا أو غير م عرف. = f() a b نظرية القيمة الق صوى تكذت إلنت f () مج س ة ا تااج ة تاهغ قة [b,a] ثلكن امل هة ا ه سغ ا تااج ة [b ذا,a] تكمل ان تكر ث تااج ة تج ان تكر تانقلا تا جة لتعيين نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة على فترة مغلقة فل بد من حساب قيم الدالة عند أطراف الفترة وعند النقاط الحرجة في تلك الفترة. 1 ارتفاع إبراهيم باألقدام في أثناء ركوبه أفعوانية حيث t 11 h (t) = - اأفعوانية: تمث ل الدالة + t + t الزمن بالثواني في الفترة الزمنية [1,1]. أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه إبراهيم. تا تاة تاهمالة تا تيسجقلا تاثلبت م سلاالا تاق تاهته تاا ا بلاجل س h(t) h (t) 5 أوجد مشتقة h(t). = - 1 t + t + 11 = - 1 t t = - t + 8t تزاتاا س اة تهجثم تن لا ر ث ل اج س تكا ا إ 10 mi/h تزاتاا تر الال مل اجل 50. ft أوجد النقاط الحرجة بحل المعادلة = 0 h (t). القيمتان العظمى وال صغرى لدالة ب جلبة تاهملااة h (t) = - t + 8t بلاج 0 = h (t) = - t + 8t = -t(t - 8) أي أن لهذه الدالة نقطتين حرجتين عندما = 0, 8 t وحيث إن = 0 t ال تقع في الفترة ]1,1] فإننا نحسب قيم. t عندما = 1, 8, 1 h(t) هة ا ه هة سغ h(1) h(8) h(1) = - 1 (1 ) + (1 ) = - 1 (8 ) + (8 ) + 11 = 89 = - 1 (1 ) + (1 ) أي أن أقصى ارتفاع يبلغه إبراهيم هو 89 ft وذلك بعد 8 s في حين أن أدنى ارتفاع هو.7 ft تقريبا ا بعد 1. s h(t) = h(t) المجاور 89) (8, التحق من الحل يعز ز التمثيل البياني للدالة 11 + t + t على الفترة [1,1] هذه النتيجة حيث يبي ن التمثيل البياني أن أعلى ارتفاع يساوي 89 ft ويكون عندما.t = 8 s 8 1 t 5( ريا صة القفز: تمث ل الدالة t h(t) = 0 t - ارتفاع سعد باألقدام في أثناء مشاركته في قفزة البنجي حيث t الزمن بالثواني في الفترة ],0]. أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه سعد في هذه الفترة الزمنية. 10 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

161 قاعدتا م صتق تي ال صرب والق صمة: تعلمت في هذا الدرس أن مشتقة مجموع دال تين تساوي مجموع مشتقتي الدال تين فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساويةا لناتج ضرب مشتقتي الدالتين افترض أن. f () =, g() = م صتقة ال صرب d d [ f() g()[ = d d [ [ = d d ( ) = 1 صرب الم صتقات d d f() d d g () = d d () d d ( ) = 1 9 = 9 يتضح من هذا المثال أن مشتقة ناتج ضرب دال تين ال تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتقتي الدالتين ويمكننا استعمال القاعدة اآلتية إليجاد مشتقة ناتج ضرب دال تين. d d قاعدة م صتقة ال صرب تكذت إلنت متسجقة إ من تا تاج ن g f م ج اة ان ث كلن g () [ f () g()] = f () g() + f () سجل ن لا ة متسجقة تا س ث تاجه ن 8 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: h() = ( - + 7)( - 5) )a افترض أن - 5 f () = - + 7, g() = أي أن f()g(). h() = من تاا س + 7 f () = - تا متسجقلا تاق ة م سلاالا تاق تاثلبت تاهته تاا ا f () = - من تاا س g() = - 5 تا متسجقلا م سلاالا تاق تاثلبت تاا ا g () = استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). متسجقة تا س لا ة h () = f () g() + f() g () بلاجم س 7)() ( - )( - 5) + ( - + = ة تاج ز ل س = بلاجل س = h() = ( )( - - ) )b افترض أن -. f () = , g() = - من تاا س - 8 f () = - + تا متسجقلا تاق ة م سلاالا تاق تاثلبت تاهته تاا ا f () = - من تاا س - g() = - تا متسجقلا م سلاالا تاق تاق ة تاثلبت تاا ا g () = استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). متسجقة تا س لا ة h () = f () g() + f() g () بلاجم س 1) - )(1 ( )( - - ) + ( = أوجد مشتقة كل دال ة مما يأتي: قاعدة م صتقة ال صرب قاعدة م صتقة ال صرب نج ان لا ة متسجقة تا س مق تر ه ن إ ل س تج ن ه ا ل س ا رلا ا ن ل س مل ا ا ل س تكا ب لجة ن h() = ( + + )(8 + ) )B h() = ( )( ) )A الدر س - تاهتسجقلا 11

162 يمكنك بطريقة التبرير نفسها في مشتقة الضرب ملحظة أن مشتقة ناتج قسمة دالتين ال تساوي ناتج قسمة مشتقتي الدالتين ويمكن استعمال القاعدة اآلتية لحساب مشتقة قسمة دالتين. تكذت إلنت متسجقة إ من تا تاج ن f, g م ج اة ان إلن 0 g() ثلكن d d f() g() f () g () - f () g () = [ g() ] أوجد مشتقة كل دال ة مما يأتي: قاعدة م صتقة الق صمة سجل ن لا ة متسجقة تاق سهة ث تاجه ن 50 قاعدة م صتقة الق صمة h() = 5 - )a -. h() = f() افترض أن - f () = 5 -, g() = أي أن g() من تاا س تا متسجقلا م سلاالا تاق تاثلبت تاا ا من تاا س f () = 5 - f () = 10 g() = - تا g () = متسجقلا تاق ة تاثلبت تاا ا استعمل () f (), f (), g(), g إليجاد مشتقة h(). لا ة متسجقة تاق سهة f () g () - f() g () h () = [ g() [ 7 بلاجم س ة تاج ز ل س بلاجل س = 10( - ) - (5 - )() ( - ) = ( - ) - 5 = ( - ) h() = )b افترض أن -. f () = + 8, g() = من تاا س تاهته تاثلبت تاق ة متسجقلا تا من تاا س تا متسجقلا تاق ة تاثلبت تاا ا f () = + 8 f () = g() = - g () = استعمل g () f (), f (), g(), إليجاد مشتقة h(). لا ة متسجقة تاق سهة بلاجم س با تهج ت س ف تاجل س k() = + f () g() - f () g () h () = [ g() [ = ( - ) - ( + 8) ( - ) = ( - ) أوجد مشتقة كل دال ة مما يأتي: 7-10 )7B j() = )7A قاعدة م صتقة الق صمة م ل س نل متسجقة تاق سهة ممه ل ث إث من تاجهلر ن تكه تجن ا س من تا س ر ث تج ت س تاهقل مل ا نج ان ذا ل س تجإث 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

163 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة: )مثلل ) 1 f() = -, =, -1 ) 1 g(t) = - t + t + 11, t = 5, ) m( j) = 1j - 1, j = -7, - ) v(n) = 5 n + 9n - 17, n = 7, ) r(b) = b - 10b, b = -, - ) 5 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي : )تاهثلهن ), z(n) = n + 7n ) 7 ( f ) = -11 f ) b(m) = m - m ) 9 g(h) = h h - h ) 8 f () = ) 1 1 n(t) = 1 t + t + t + ) 1 0 p(k) = k k.8 + k ) 1 q(c) = c 9 - c c - c ) 1 ) 1 درجات الحرارة: ت عطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في أحد األيام بالدالة : f (h) = h h +.0 h + 5 حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم. )مثلل ) a( أوجد معادلة تمثل م ع دل التغي ر الل حظي لدرجة الحرارة. b( أوجد م عد ل التغي ر اللحظي لدرجة الحرارة عندما:. h =, 1, 0 0 h أوجد درجة الحرارة العظمى في الفترة c( استعمل االشتقاق إليجاد النقاط الحرجة ثم أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة. )مثلل ) 5 f() = + 8, [-5, 0[ ) 1 5 r(t) = t + t -, [ 1, [ ) 1 t(u) = u + 15 u + 75u + 115, [-, -[ ) 1 7 f() = -5-90, [-11, -8[ ) 1 8 z(k) = k - k + k, [0, [ ) 1 9 c(n) = 1 n + 1 n - n + 8, [-5, 5[ ) 0 ) 1 ريا صة: ع د إلى فقرة لماذا في بداية الدرس. تمثل الدالة h(t) = 5t - 1 t + ارتفاع الكرة h باألقدام بعد t ثانية عندما t 0. )مثلل ) 5. h (t) أوجد )a b( أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لمسار الكرة في الفترة ],0]. c( هل يمكن ألحمد ركل الكرة لتصل إلى ارتفاع 8 ft أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )مثلل ) f () = ( + )( + 9) ) g() = ( + )(5 - ) ) s(t) = ( t Ç + )( t 11 - t) ) g() = ( + ) (0.5 - ) ) 5 c(t) = ( t + t - t 7 )( t + t - t) ) q(a) = ( a a - 1 )( a 5-1a) ) 7 f () = ( )( ) ) 8 استعمل قاعدة مشتقة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: )مثلل ) 7 r(t) = t + - t f () = Ç ) 0 f (m) = - m + m ) 9 ) m(q) = q + q + q - ) 1 t(w) = w + w ) q(r) = 1.5 r r ) Ç w r ) 5 قام بائع ملبوسات بإيجاد العلقة بين سعر قميص وعدد القطع المبيعة منه يومي ا فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d رياالا فإن عدد القطع المبيعة يومي ا يساوي d a( أوجد (d) r التي تمثل إجمالي المبيعات اليومية عندما يكون سعر القميص d رياالا.. r (d) أوجد )b c( أوجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية أكبر ما يمكن. أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي ثم م ث ل الدالة والمشتقة بياني ا على المستوى اإلحداثي نفسه. f () = ) g() = Ç + ) 7 f () = ) 8 g() = 1 ) 9 ) 0 الم صتقات العليا: لتكن () f مشتقة () f إذا كانت مشتقة () f موجودة فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة f وي رمز لها بالرمز () f أو الرمز () f () وكذلك إذا كانت مشتقة () f موجودة فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f ويرمز لها بالرمز () f أو (). f () وتسمى المشتقات على هذا النحو بالمشتقات العليا للدالة. f أوجد كل مما يأتي: f () = 5 - المشتقة الثانية للدالة + )a g() = المشتقة الثالثة للدالة )b h() = المشتقة الرابعة للدالة )c الدر س - تاهتسجقلا 1

164 م ث ل منحنى دالة لها الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: ) 1 المشتقة تساوي 0 عندما -1, 1 =. ) المشتقة غير معر فة عندما =. ) المشتقة تساوي - عندما -1, 0, =. ) المشتقة تساوي 0 عندما -1,, =. ) 5 تمثيالت متعددة: ستستكشف في هذا التمرين علقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال. a( تحليلي ا: أوجد مشتقة صيغة مساحة الدائرة ومشتقة صيغة حجم الكرة بالنسبة لنصف القطر r. a. لفظي ا: وض ح العلقة بين المعادلة األصلية ومشتقتها في الفرع b(. a. ومكعبا ا طول ضلعه a بياني ا: ارسم مربعا ا طول ضلعه c( d( تحليلي ا: اكتب صيغةا تمث ل مساحة المربع وأخرى تمث ل حجم المكعب بداللة. a ثم أوجد مشتقتي الصيغتين. d. لفظي ا: و ض ح العلقة بين المعادلة األصلية ومشتقتها في الفرع e( ) اكت صف الخطاأ: قام كل من أحمد وعبدالله بإيجاد ]() [ f للدالة. f () = + حيث كانت إجابة عبد الله: في حين كانت إجابة أحمد: أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. ) 7 تحد : أوجد ) f ( علما ا بأن f ( ) = z z 7 ) 8 برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب بإثبات أن: f ()g() + f()g () = lim f ( + h)g( + h) - f()g() h 0 h )إرشاد: ابدأ بالطرف األيمن وأضف (h f ()g( + إلى البسط واطرحه منه(. ) 9 تبرير: بي ن ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أو خاطئة وبر ر إجابتك. "إذا كانت + 5n f () = فإن + n " f () = (5n + ) 5 ) 5 0 برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة وذلك بإثبات أن: f () g() - f() g () = lim f ( + h) g() - f () g( + h) h 0 h g( + h) g() [ g() [ )إرشاد: ابدأ بالطرف األيمن وأضف g() f () إلى البسط واطرحه منه(. ) 5 1 اكتب: هل من الممكن أن يكون لدال تين مختلفتين المشتقة نفسها عز ز إجابتك بأمثلة. أوجد ميل مماس منحنى كل دال ة مما يأتي عند النقاط المعطاة: )تا ر س - ) = -, (0, 0), (, 0) ) 5 = -, (-, 8), (, -8) ) 5 = + 9, (, 18), (, 5) ) 5 احسب كل نهاية مما يأتي: )تا ر س - ) lim lim lim ) 5 5 ) 5 ) 5 7 قد ر كل نهاية مما يأتي: )تا ر س -1 ) lim ) 5 8 lim ( Ç + + ) ) ) 0 ما مشتقة (-) h () = (-7 + ) -1 A 1 B C D ) 1 ما ميل مماس منحنى = عند النقطة ), 1 ) H 1 F 8 J G ) ما مشتقة f () = 5 Ç 8 f () = 5 5 H f () = 0 5 f () = 5 8 J f () = 0 8 F G 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

165 تح المنحنى والتكامل الم صاحة Area Under the Curve and Integration التكلفة الحدية )الهامشية( هي التكلفة اإلضافية المترتبة على إنتاج وحدة إضافية واحدة من منتج ما ويمكن إيجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. ت مثل الدالة f () = التكلفة الحدية لطباعة نسخة من كتاب ما بالريال. الم صاحة تح منحنى سبق أن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات األشكال األساسية كالمثلث والمستطيل والمضلع المنتظم كما درست حساب مساحات بعض األشكال المركبة التي تتكون من أشكال أساسية إال أن العديد من األشكال المركبة ال تتكون من أشكال أساسية مما يستدعي الحاجة إلى طريقة عامة لحساب مساحة أي شكل ثنائي األبعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلل استعمال شكل أساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمثلا يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = والمحور على الفترة 1] [0, باستعمال مستطيلت متساوية العرض. قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = والمحور على الفترة [1,0] باستعمال 1 مستطيالا على الترتيب. استعمل الطرف األيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. باستعمال األشكال أدناه الحظ أن ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة () f عند طرف قاعدة المستطيل األيمن فمثلا ارتفاعات المستطيلت في الشكل (1) أدناه هي (1) f. f (), f (), f (9), ويمكننا استعمال ارتفاعات المستطيلت وأطوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة. ار ست ر سل تانمل لا جل ل بل سجمهلل سل سمل تج تاه سلرة ت من ن اتاة بل سجمهلل م سجا يا تج تاه سلرة ت من ن اتاة بل سجمهلل تاج لم تاه ا تاجتز ض تاهنج regular partition تاج لم تاه ا definite integral تا تهجان lower limit تا تهجا upper limit مته ر هلن تهج هن 1 الم صاحة تح منحنى با صتعمال م صتطيالت right Riemann sum تاج لم integration ال صكل 1 ( المساحة باستعمال مستطيلت ال صكل ( المساحة باستعمال مستطيلت ال صكل ( المساحة باستعمال 1 مستطيلا R 1 = 1 f (1) = 11 R = 1 f () = 0 R = 1 f () = 7 R = 1 f () = R 5 = 1 f (5) = 5 R = 1 f () = R 7 = 1 f (7) = 5 R 8 = 1 f (8) = R 9 = 1 f (9) = 7 R 10 = 1 f (10) = 0 R 11 = 1 f (11) = 11 R 1 = 1 f (1) = 0 المساحة الكلية 8 وحدة مربعة R 1 = f () = 0 R = f () = R = f () = 7 R = f (8) = R 5 = f (10) = 0 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 80 وحدة مربعة R 1 = f () = 81 R = f () = 108 R = f (9) = 81 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 70 وحدة مربعة التكلفة الحدية الهام صية( هي الم صتقة االأولى للتكلفة الحقيقية عند اإنتا وحدة من منتج ما أي أن المساحة التقريبية باستعمال 1 مستطيلا هي بالترتيب: 70 وحدة مربعة 80 وحدة مربعة 8 وحدة مربعة. الدر س - 5 تاه سلرة ت تاهن ن تاج لم 15

166 )1 قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = - + والمحور على الفترة [ [0, باستعمال 1 8 مستطيلا على الترتيب.استعمل الطرف األيمن لكل مستطيل لتحديد ارتفاعه. الحظ أن المستطيلت األقل عرضا ا تمثل المساحة المطلوبة بصورة أفضل وتعطي تقريبا ا أدق للمساحة الكلية. وكما استعملنا األطراف اليمنى لكل مستطيل لتحديد ارتفاعاتها فإنه يمكننا أيضا ا استعمال أطرافها اليسرى لتحديد ارتفاعاتها ما قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. إن استعمال األطراف اليمنى أو اليسرى للمستطيلت لتحديد ارتفاعاتها قد يؤدي إلى إضافة أجزاء ال تقع بين المنحنى والمحور أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى والمحور. ومن الممكن الحصول على تقريب أفضل للمساحة في بعض األحيان باستعمال كل من األطراف اليمنى واليسرى للمستطيلت ثم أخذ الوسط للتقريبين. قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f() = والمحور في الفترة [,0] باستعمال مستطيالت عرض كل واح د منها وحدة واحدة. استعمل األطراف اليمنى ثم اليسرى للمستطيالت لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. إن استعمال مستطيلت عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه مستطيلت سواء أكانت األطراف اليمنى أو اليسرى للمستطيلت هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) أدناه المستطيلت باستعمال األطراف اليمنى في حين يوضح الشكل () أدناه المستطيلت باستعمال األطراف اليسرى. جداول ا س ل ا تر الالا مجم اة ا ه سجا يا ا تا ل سلة تال لن ة TI-nspire تجا تا تاة بلا سغ ا ف ت ج لر مهل سه ا بلا س ل ا ج ل اه ل هة من تهر الالا ام ة من ن ه تج س ل م ثج تا ث ج ل. Spreadsheet الم صاحة تح المنحنى با صتعمال االأطرا اليمنى والي صرى للم صتطيالت ال صكل ( المساحة باستعمال األطراف اليسرى R 1 = 1 f (0) = 0 R = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 المساحة الكلية 1 وحدة مربعة 1 ال صكل 1 ( المساحة باستعمال األطراف اليمنى R 1 = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 R = 1 f () = 1 المساحة الكلية 0 وحدة مربعة 1 الف صل تانمل لا تهيسجقلا أي أن المساحة الناتجة عن استعمال األطراف اليمنى هي 0 وحدة مربعة بينما المساحة الناتجة عن استعمال األطراف اليسرى هي 1 وحدة مربعة وهذان تقديران تقع المساحة بينهما وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب أفضل للمساحة وهو وحدة مربعة. 1 = () f والمحور في الفترة 5[ [1, باستعمال مستطيلت ( قر ب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل األطراف اليمنى ثم اليسرى للمستطيلت لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه إال أن النقاط األكثر شيوعا ا هي نقطتا الطرفين األيمن واأليسر ونقطة المنتصف. التكامل الحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيلت فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى ومن ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلت عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر.

167 f( 1 ) f() a... b 1 n - 1 في الشكل المجاور ق س مت الفترة من a إلى b إلى n من الفترات الجزئية المتساوية الطول وت سم ى هذه التجزئة التجزيء المنتظم. إن طول الفترة الكلية من a إلى b هو b - a وبذلك يكون طول كل فترة جزئية )عرض كل مستطيل ويرمز له بالرمز. وبما أن b - من المستطيلت التي عددها n( هو n a ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف األيمن للمستطيل فإن ارتفاع المستطيل األول هو ) 1 f ( وارتفاع المستطيل الثاني هو ) f ( وهكذا يكون ارتفاع المستطيل األخير ) n. f ( يمكن اآلن حساب مساحة كل مستطيل من خلل ضرب في ارتفاع ذلك المستطيل أي أن مساحة المستطيل األول هي f ( 1 ) ومساحة المستطيل الثاني هي f ( ) وهكذا. وت عطى المساحة الكلية A للمستطيلت بمجموع مساحاتها ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع. رمز المجمو n ت قرأ العبارة f ( i ) i =1 كاآلتي مجموع حواصل ضرب ) i f ( في من.i = n إلى i = 1 بته تاه سلرلا بلك ت تاملم تاهتسج بل سجمهلل رمز تاهته تاخل س ة تهكب تا ة ا س A = f ( 1 ) + f ( ) + + f ( n ) A = [ f( 1 ) + f( ) + + f ( n )[ n A = f ( i ) n i =1 A = f ( i ) فبما أن عرض أي من المستطيلت هو. i ولتسهيل الحسابات مستقبلا فإنه يمكننا اشتقاق صيغة إليجاد أي. i وبالنظر إلى خط األعداد أدناه: ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم 1 i n a a + a + a + a + i a + n. i ولهذه العلقة أهميتها عند إيجاد المساحة تحت منحنى أي دالة الحقا ا. يمكننا ملحظة أن = a + i الحظ أنه كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر فإن عدد المستطيلت يقترب من الماالنهاية وت سم ى هذه النهاية التكامل المحدد ويعب ر عنها برمز خاص. a ي عبر عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور في الفترة ] b [,a بالصيغة n n i =1 b f ()d = lim i =1 التكامل المحدد f ( i ), = b - n a, i = a + i ر a تا تهجان b تا تهجا سه تاا قة مته ر هلن تهج هن س مي مجموع ريمان بهذا االسم نسبةا للعالم األلماني بيرنارد ريمان (18 18). والذي ي عزى إليه إيجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال األطراف الي سرى أو نقاط المنتصف لتحديد ارتفاعات المستطيلت. n وتسمى عملية حساب التكامل تكامالا وست سه ل صيغ المجاميع اآلتية حساب التكامل المحدد. c = c n, عدد ثابت c i =1 n n(n + 1) i = i =1 n i i =1 n(n + 1)(n + 1) = n i i =1 n i i =1 n i 5 i =1 = n (n + 1 ) = n n + 10 n - n 0 = n + n n - n 1 المجمو تكن مته ا ا فلبت ا c n c س سا ت n i =1 تج ثهثي = 5 n 5 الدر س - 5 تاه سلرة ت تاهن ن تاج لم 17

168 1 1 8 = n ت ستعمل خاصيتا المجموع اآلتيتان لحساب بعض التكاملت: ( a i ± b i ) = a i ± b i, ci = c i, عدد ثابت c i =1 1 n i =1 d 0 n i =1 n i =1 n i =1 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [0, أو والمحور = 0. i ابدأ بإيجاد = غة س b - n a = - n 0 = b =, a = 0 n i غة س i = a + i = i n n i =1 n n i =1 n = lim a = 0, = n = 0 + i n احسب التكامل المحدد الذي ي عطي المساحة المطلوبة. م تاج لم تاه ا f( i ) = i i = i n, = n تاهته سل س بج ز تاق ة تاهته سل س n i n(n + 1)(n + 1) = i=1 بلا س تاج ز بلا س بلاق سهة بلاج بلاق سهة ا n سل س تانمل لا = lim = lim n = lim n = lim n i =1 n n f ( i ) i=1 n n i=1 ( i ) ( i n ) ( n ) ( n i) 1 i n = lim n n ( 1 n i n ) i =1 = lim n n ( 1 n(n + 1)(n + 1) n ) = lim n n ( 1n ( n + n + 1) ) n = lim n( n + n + 1) n n = lim ( n + n + 1) n n = lim n ( ( n + n + 1) ) n = lim n ( + n + 1 n ) = ( lim n ) lim + n ( lim n )( lim n 1 n) + lim n = [ + (0) + 0[ 1. أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 1. وحدة مربعة تقريبا ا. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في n 1 n كل مما يأتي: الم صاحة تح منحنى با صتعمال التكامل النهايات ر إ مته ب ج سهن تامللرتا تالل ة تكمل تجا تا ت فلبجة تج i ثق ف ل س غة تاهته تاهنل سلة 1 d )B d )A الف صل تانمل لا تهيسجقلا

169 i = 1 + i n = 1 d 1 f( i ) = ( i ), = n يمكننا أيضا ا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة األصل ليست حد ا أدنى لها. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [1, أو والمحور = 1. i ابدأ بإيجاد = غة س b - n a = - n 1 = b =, a = 1 n i س غة i = a + i a = 1, = n = 1 + i n = 1 + n i احسب التكامل المحدد والذي ي عطي المساحة المطلوبة. م تاج لم تاه ا تاهته سل س (1 + i n ) ما بلاجل س تاهته سل س تاهته سل س تاهته س ة تاج ز ل س بلاجل س n = lim f ( n i ) i =1 n = lim ( n i ) i =1 n = lim (1 + n n i ) ( n ) i =1 n = lim 8 n n (1 + i) n i =1 n = lim 8 n n 1 + ( i i =1 n = lim 8 n n ( 1 + i i =1 n + 1 i n n n n = lim 8 n n ( 1 + i i =1 i =1 ) n + ( n i) + ( i + 8 i ) n ) n n + 1 i n + 8 i i =1 n i=1 n ) n = lim 8 n n ( 1 + n n i + 1 n i + 8 n i i =1 i =1 n i =1 n ) i =1 = lim 8 n n ( n + n(n + 1) + 1 n n n(n + 1)(n + 1) + 8 n n (n + 1 ) ) = lim n ( 8n + 8n(n +1) + 9n( n + n + 1) + n ( n + n + 1) n ) n n n (n + 1) = lim n ( ( n + n + 1) + 1( n + n + 1) n ) n n = lim n الم صاحة تح منحنى با صتعمال التكامل بلاق سهة سل س تانمل لا 8 + ( n) + 1 ( + n + 1 n ) + 1 ( 1 + n ) n + 1 = lim 8 + lim n n ( 1 + n) lim n ( + n + 1 n ) + 1 lim n ( 1 + n + 1 n ) النهايات ان ق م سلرة تاهناقة ت تاهن ن بل سجمهلل تانمل لا تج ج متلم ل i ز تج تج ف تبت تج = 80 0) 1( ) 1( ) (1 + = 8 + بلاجل س أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: الدر س - 5 تاه سلرة ت تاهن ن تاج لم 19 d )B d )A 1

170 10 f()= بال : يكل ف تبليط القدم المربع الواحد من فناء منزل بالجرانيت. رياالا. إذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت وكانت 10 ( فكم مساحة أي من الممرين ت عطى بالتكامل ) d 0 تكلفة تبليط الممرين علما ا بأن مقيسة باألقدام. 10 ( ) d 0. i ابدأ بإيجاد غة س = b - n a a = 0, b = 10 = 10 n - 0 = 10 n i غة س i = a + i a = 0, = = 0 + i n = 10 n i n احسب التكامل المحدد والذي ي عطي المساحة المطلوبة. م تاج لم تاه ا f( i ) = i i = 10i 10 n, = n بلاجل س تاهته سل س تاهته سل س تاهته س ة تاج ز ل س بلاق سهة ا n بلاق سهة ا n سل س تانمل لا بلاجل س الم صاحة تح منحنى n n i =1 n n i =1 n n i =1 = lim = lim = lim = lim 10 n n = lim 10 n 5 f ( i ) ( i ) ( 10 n i ) 10 n n i =1 n ( n ( i =1 10 i 10 -) n i =1 n 10 i n ) n = lim 10 n n ( n i i =1 n ) i =1 = lim n n ( 10n - n(n + 1)(n + 1) n ) = lim n ( 100n - 100n( n + n + 1) n ) n = lim n ( ( n + n + 1) ) n = lim n ( + n + 1 n ) = lim n n ( lim + n + 1 n ) = ( ).7 أي أن مساحة أي من الممرين تساوي.7 ft تقريبا ا لذا فإن تكلفة تبليط الممرين هي ) (.7. ريال أو 98.8 رياالا تقريبا ا. الجراني تات تن ت سخ نلر جه ز بن س تسن سل م م ت ث ت ا ا تهجإ س ة ام تم مقل لا تهجر س ل ث سجمه 170 الف صل تانمل لا تهيسجقلا طالء: لدى عبد الله كمية من الطلء تكفي لطلء 0 ft هل تكفي هذه الكمية لطلء جزأين من جدار 5 (5-0. حيث مقيسة باألقدام بر ر إجابتك. مساحة كل منهما ت عط ى بالتكامل )d 0 ) 5

171 = ) 9 العرض 0.5 ) 8 العرض = قر ب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعمالا الطرف المعطى لتحديد ارتفاعات المستطيالت المعطى عددها في كل من األشكال أدناه: )مثلل 1( ) مستطيلت ) 1 5 مستطيلت الطرف األيمن الطرف األيسر = = ) 5 مستطيلت ) 8 مستطيلت الطرف األيمن الطرف األيمن = = 10 اأر صيات: يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل نصف دائرة تمثله ) f() = (- + )مثلل )1 a( قر ب مساحة المنطقة نصف الدائرية باستعمال األطراف اليسرى لمستطيلت عرض كل منها وحدة واحدة. b( إذا قر ر أحمد تقريب المساحة باستعمال األطراف اليمنى واليسرى معا ا كما في الشكل أدناه فكم تكون المساحة f() = ( + 10) c( أوجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الدائرة. أي التقريبين أقرب إلى المساحة الحقيقية فس ر إجابتك. قر ب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة في كل من األشكال اآلتية مستعمالا األطراف اليمنى ثم اليسرى لتحديد ارتفاعات المستطيالت المعطى عرض كل منها ثم أوجد الوسط للتقريبين: )مثلل ) استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: )تاهثلهن (, 0 d ) 1 1 d ) ( - ) d ( ) 1 + ) d ) 1 ( ) d ( - ) ) d ) d ( ) ) d ) طباعة: ارجع إلى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. إذا زاد عدد الكتب المطبوعة يومي ا من 1000 كتاب إلى 1500 كتاب. فأوجد قيمة تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل = ( ) d )مثلل ) يمكن حساب التكاملت المحددة عندما يكون أحد حدي التكامل موجبا ا واآلخر سالبا ا. a( أوجد طول قاعدة وارتفاع المثلث ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث. b( أوجد مساحة المثلث بحساب التكامل. ( + ) d - استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: -1-1 = 0 1 ( + ) d ) 1 d ) d ( - ) - ) d ) ( - ) d ) 5 ( + ) d ) - ) 1 8 ) 1 9 ) 7 العرض 0.5 ) العرض 0.5 = + 5 = - 1 ) 5 الدر س - 5 تاه سلرة ت تاهن ن تاج لم 171

172 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والم عطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: 0-1 (- ) d ( - ) 7-7) d ) - -1 (- 1 + ) d ) 9 d ) تمثيالت متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. )a بياني ا: م ث ل منحنيي f () = - +, g() = في المستوى اإلحداثي نفسه وظل ل المساحتين اللتين يمثلهما 0 1 ( - + ) d, التكاملن d 1 1. ( - + ) d, d تحليلي ا: احسب b( 0 0 c( لفظي ا: وض ح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساويةا ل 1 1. ( - ثم احسب هذه القيمة + ) d - d 0 0 باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع. b 1 [ f() -g()[ d ثم احسب f () - g() تحليلي ا: أوجد )d 0 e( لفظي ا: خم ن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. اكت صف الخطاأ: س ئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلت فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلت اليمنى فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائما ا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين أجاب خالد: إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلت اليسرى تكون أكبر دائما ا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. تبرير: افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق ي عطى بالدالة. f d اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال f () d حيث 0 d عرض النفق إذا كان طوله معلوما ا. بر ر إجابتك اكتب: اكتب ملخصا ا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور على فترة معطاة. t. ( تحد : أوجد ) d + 0 اكتب: وض ح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. أي الشكلين يعطي تقريبا ا أفضل برأيك أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: )تا ر س -( j() = ( + 11)( 8-1 ) f(k) = ( k 15 + k + k)(k - 7 k ) s(t) = ( t Ç - 7)( t 8-5t) أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عندما = 1 : )تا ر س -( = = = ( + 1)( - ) أوجد كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): )تا ر س -( ما مساحة المنطقة المحصورة بين + = - - والمحور في الفترة ],] 9. A وحدة مربعة تقريبا ا 90 B وحدة مربعة تقريبا ا 8.7 C وحدة مربعة تقريبا ا 5 D وحدة مربعة تقريبا ا = ( n(a a - 5 a + أي مما يأتي يمث ل مشتقة a + a n (a) = 8a - 5a + a F n (a) = a - 5a + a + H n (a) = - a + 5 a - a + G 5 n (a) = - a + 10 a - 1 a + J 5 lim ما قيمة H 1 15 F 15 J 15 G ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 1 lim + ) 0 lim - + ) 1-1 lim - 9 ) - 7 ) 5 ) ) 7 ) 0 ) 1 ) ) ) ) 5 17 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

173 االأ صا صية في التفا صل والتكامل النظرية The Fundamental Theorem of Calculus سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادا ا فهوى نحو األرض. إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية ت عطى ب v(t) = - t فإنه من الممكن إيجاد االرتفاع الذي سقط منه القلم. الدوال االأ صلية والتكامل غير المحدد تعلمت في الدرسين - و - أن ه إذا أ عط يت موقع جسم ب f () = + فإن العبارة التي تمثل سرعة الجسم هي مشتقة () f أو + f () = لكن إذا أ عطيت عبارة تمث ل السرعة المتجهة وط ل ب إليك إيجاد الصيغة التي تم إيجاد السرعة المتجهة منها فل بد من وجود طريقة للعمل عكسي ا والعودة إلى الدالة األصلية وإلغاء االشتقاق. وبمعنى آخر فإننا نبحث عن F() بحيث إن (). F () = f وت سم ى F() دالة أصلية للدالة. f 1 أوجد دالة أصلية لكل دالة مما يأتي: f() = )a لنبحث عن دالة مشتقتها. تذكر أن قوة في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة في الدالة. وعليه فإن قوة المتغير في F() ستكون وبما أن معامل في مشتقة الدالة يساوي قوة في الدالة فإن F() = تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة هي - 1 أو. إن ليست الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب فمثلا + 10 G() = تحقق المطلوب أيضا ا ألن G () = = وكذلك - 7 H() = تحقق المطلوب. 8 f () = - )b 9 أعد كتابة () f بقوى سالبة لتحصل على 9- f () = - 8 وبما أن قوة في مشتقة الدالة أقل بواحد من قوة في الدالة فإن قوة في F() ستكون 8- وعليه تكون 8- F =() دالة أصلية للدالة f فمشتقة -8 هي = -8. الحظ أن كل من + -8 H() = -8-1 G() = تمث ل دالة أصلية للدالة. f ار ست ت سجمهلل تانمل لا اجق تاه سلرة ت من ن اتاة تج ا تل تج س ة تج سجم ه تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم هج تاج لم تاه ا تا تاة تهج س ة اإيجاد الدوال االأ صلية أوجد دال تين أصليتين مختلفتين لكل دالة مما يأتي: antiderivative تاج لم تاه ا indefinite integral تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم Fundamental Theorem of Calculus )1B )1A في المثال 1 الحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدال ة أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى وبشكل عام فإن إضافة أو طرح ثابت C لدالة أصلية ي نتج دالة أصلية أخرى ألن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددا ا النهائيا ا من الدوال األصلية ألي دالة. والشكل العام للدالة األصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت. C الدر س - تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم 17

174 كما في المشتقات فإن هناك قواعد إليجاد الدالة األصلية. F() = n + 1 تكذت إلن f () = n ر n ا ا ن سل ه سل -1 ثلكن n C قاعدة القوة تكذت إلن f () = k n ر n ا ا ن سل ه سل k -1 ا ا ت فلبج ل ثلكن F() = k n + 1 n C قاعدة صرب دالة القوة في عدد ثاب قاعدة المجمو والفرق قواعد الدالة االأ صلية تكذت إلن ا g() f() اتاجلن تج س جلن هل F() G() ا تاج ثلكن F () ± G () اتاة تج س ة ا. f() ± g() أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: تا تاة تاهمالة لا ة س اتاة تاق ة ث ا ا فلبت بلاجل س تا تاة تاهمالة بلكالاة إجلبة تا تاة بق ة سلالة لا ة س اتاة تاق ة ث ا ا فلبت بلاجل س قواعد الدوال االأ صلية تا تاة تاهمالة بلكالاة إجلبة تا تاة ب هاة f () = 7 F() f () F() = C = C = = - f () = 7 )a f() = = C =- - + C = - + C f () = = )b f() = )c الدوال االأ صلية F () =k اتاة تج س ة ا f () k= ثهثي تكذت إلن = f () ثلكن F () = تا تا تاة تهج س ة بلاجل س F() = C = C أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: f() = )C f() = 10 )B f() = )A ي عطى الشكل العام للد الة األصلية باسم ورمز خاص ين. التكامل غير المحدد f () ا ة اتاة تج س F() ر f () d = F() + C غة بلا س f ا تاة تاه ا تاج لم ما فلبت C 17 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

175 فيزياء: أجرى طالب الصف الثاني الثانوي في إحدى المدارس الثانوية تجربة فيزيائية تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل التي تعلوا عن سطح األرض ب 0 ft وتمثل t- v(t) = سرعة الكرة المتجهة اللحظية باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. a( أوجد دال ة موقع الكرة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. إليجاد دالة الموقع أوجد الدالة األصلية ل v(t). s(t) = v(t) dt التكامل غير المحدد تامي ة ب ن تاه تا س اة تاهجتمة v(t) = -t = -t dt = - t C = -1 t + C لا ة س اتاة تاق ة ث ا ا فلبت بلاجل س أوجد C بتعويض 0 ft للرتفاع االبتدائي s 0 للزمن االبتدائي. s(t) = -1 t + C 0 =-1(0 ) + C تا تاة تهج س ة ا v(t) s(t) = 0, t = 0 بلاجل س 0 =C أي أن دالة موقع الكرة هي + 0. s(t) = -1 t b( أوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة حتى تصل إلى سطح األرض. ح ل المعادلة = 0 s(t). s(t) = -1 t = -1 t + 0 اتاة م تا ة s(t) = 0-0 = -1 t t 1.9 t ال صقو الحر ل تجربمهل ة ال ل ل ق ت سجنج جلا جلا تجن اته تهج سل تاج سق سق ل ر ت تاج سلر نا س بلك هلل لجف تام تض تجن ت تاج سلر ه جلجف بلج من ملاة تات س تا سل تج زن تج تهر ال تا سق من با 0 من إي تاا ث ن بق سهة إي تاا ث ن ا 1- بلج تات ر تاج ب م تاه ج ا ي تاا ث ن أي أن الكرة ستستغرق 1.9 s تقريبا ا حتى تصل إلى سطح األرض. ( صقو ح ر: عند قيام فن ي بإصلح نافذة برج على ارتفاع 10 ft سقطت محفظت ه نحو األرض وتمثل v(t) = - t سرعة المحفظة المتجهة اللحظية باألقدام بعد t ثانية من سقوطها. A( أوجد دالة موقع المحفظة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. B( أوجد الزمن الذي تستغرق ه المحفظة حتى تصل إلى سطح األرض. النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل الحظ أن الرمز الم ستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبيها ا بالرمز الذي است عمل للتكامل المحدد في الدرس -5 إذ إن الفرق الوحيد هو عدم ظهور حد ي التكامل األعلى واألدنى في رمز التكامل غير المحدد. إن إيجاد الدالة األصلية لدالة ما: هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان. وهذه العلقة بين التكاملت المحددة والدوال األصلية ذات أهمية كبيرة وت سمى النظرية األساسية في التفاضل والتكامل. تكذت إلنت F() اتاة تج س ة ا تاة تاهج س ة f () ثلكن b f () d = F (b) - F (a) a F() b a النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل ه ن تاجمل ان تاا ف تهج هن من تامللرة بلا مز الدر س - تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم 175

176 من نتائج النظرية األساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكاملت والمشتقات فالتكامل هو عملية إيجاد دوال أصلية في حين أن االشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات. لذا فإن عمليتي التكامل واالشتقاق هما عمليتان عكسيتان ويمكننا استعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملت المحددة دون الحاجة إلى استعمال النهايات. الم صاحة تح منحنى استعمل النظرية األساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي والمحور على الفترة المعطاة: = 1 لا ة س اتاة تاق ة ث ا ا فلبت بلاجل س. d على الفترة ] [1, أو = )a 1 أوالا أوجد الدالة األصلية. d = C = + C اآلن احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ثم أوجد الفرق. = + C d 1 1 a = 1, b = = (() + C) - ((1) + C) تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم بلاجل س = 81-1 = 80 ماريا اأجن صن ( ) الاهة تك الا ة ب ات ث تا غلا تاا ساة تا ل س لا م إجلبمل إجل تج ل Analtical Institutions نل تس ر سلب تاجال س تاج لم مم ل أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى = والمحور على الفترة ],1] هي 80 وحدة مربعة. 8 = (- + + ) d على الفترة ] [0, أو = )b 0 أوالا أوجد الدالة األصلية. (- + + ) d = C = C 17 الف صل تانمل لا تهيسجقلا تا تا تاة تهج س ة بلاجل س اآلن احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ثم أوجد الفرق. تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم a = 0, b = بلاجل س ( ) d 0 = C 0 = (- () + ( ) + () + C) - (- (0) + (0 ) + (0) + C) أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى + = - + والمحور على الفترة ] [0, هي.7 وحدة مربعة تقريبا ا. احسب كل تكامل محدد مما يأتي: (1-5 ) d )B d )A 1 الحظ أنه عند حساب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل وحساب الفرق بين القيمتين فإن C لن تظهر في الناتج وذلك ألن C موجودة في كلتا الدالتين األصليتين فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفرا ا. لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C وعدم كتابته في الدالة األصلية.

177 قبل حساب التكامل حد د ما إذا كان محددا ا أو غير محدد. احسب كل تكامل مما يأتي: (9 - ) d )a هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة األصلية لحسابه. تا تا تاة تهج س ة بلاجل س (9 - = ) d C = C (9 - ) d )b هذا تكامل محدد. احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى. تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم a =, b = بلاجل س التكامالت المحددة وغير المحددة = ( 9 - ) (9 - ) d = ( 9 () - () ) - 9 () - () = =.5 5 التكامالت س تجن ه ن ر سل ان C تاثلبت تل تاج لم تاه ا تكه تجن ت تج بم ن تهاجللر ان ر سل تاج لم تاه ا هجن جزض من تا تاة تهج س ة احسب كل تكامل مما يأتي: ( ) d )5B ( ) d )5A 1 الحظ أن التكامل غير المحدد ي عطي الدال ة األصلية في حين ال ي عطي التكامل المحدد الدالة األصلية بصورة صريحة بل هو الفرق بين قيمتي الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى. أي أن التكامل غير المحدد يعطي دالة وهي الدالة األصلية ويمكن استعمالها إليجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدين أعلى وأدنى ليصبح التكامل عندها محددا ا. 0.5 ي عطى الشغل الالزم لشد نابض ما مسافة 0.5 m من موضعه الطبيعي بالتكامل. 0 d 0 ما قيمة الشغل الالزم لشد النابض مقيسا ا بوحدة الجول d 0 احسب قيمة التكامل المحدد. تاج لم ة ث تاجال س تهج سل س تان ة فلبت ث ا ا اتاة تاق ة س لا ة a = 0, b = 0.5 بلاجل س = = 180(0.5 ) - 180(0 ) = 5-0 = 5 أي أن الشغل اللزم هو. 5 J التكامالت المحددة أوجد الشغل الالزم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يأتي: d )B 7 d )A 0 0 الدر س - تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم 177

178 أوجد جميع الدوال األصلية لكل دال ة مما يأتي: )تاهثلهن ) 1, f() = 5 f(z) = z Ç q(r) = r r 1 + r 1 w(u) = u u - 5 u u(d) = 1 d d - d +.5 m(t) = 1 t - 1 t + 0 t - 11 صقو حر: ارجع إلى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. افترض أن القلم قد استغرق s حتى الوصول إلى سطح األرض. )مثلل ). s(t) = -t dt أوجد دالة الموقع )a. s(t) =0 t = s عندما C احسب قيمة )b c( كم ارتفاع القلم عن سطح األرض بعد 1.5 s من سقوطه احسب كل تكامل مما يأتي: )تاهثلهن ), 5 احسب كل تكامل مما يأتي: ( ) d ) 1 7 d ) 1 ( ) d ) ) d ) ( 5 - ( ) d - مقذوفات: ت عطى سرعة مقذوفة ب + 10 t v(t) = - حيث v(t) السرعة المتجهة باألقدام لكل ثانية بعد t ثانية ويبلغ ارتفاعها. s بعد 8 ft a( أوجد أقصى ارتفاع تصله المقذوفة. b( أوجد سرعة المقذوفة عندما تصل إلى سطح األرض. احسب كل تكامل مما يأتي: (10 t - 1 t + 5) dt ( t ) + 8t) dt ) - ( -9 t + t) dt ( t ) t + ) dt ) + ( t + t + 1) dt (1 t ) 7-15 t + 7) dt ) حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلل مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية. R R - ) 0 ) 1 ) ( a - a + ) da ( 1 h + h h ) dh 1 (. t - 1. t +. t ) dt ) 1 ) ) ) ) 5 ) ) 7 (m + 1 m ) dm ) 8 d ) 9 ) 1 0 ) 1 1 ) 1 (1. w w w. + ) dw ) 1 ح صرات: ت عطى سرعة قفز حشرة ب + t v(t) = - حيث t الزمن بالثواني و v(t) السرعة المتجهة باألقدام لكل ثانية. )مثلل ) C للحشرة ثم احسب قيمة الثابت s(t) أوجد دالة الموقع a( بفرض أنه عندما = 0 t فإن = 0 s(t). b( أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح األرض هند صة: صم م مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه - = حيث باألقدام. احسب مساحة المنطقة ب تحت هذه القوس )مثلل ) يبلغ طول نصف قطر كل حلقة ÇÇÇ R - أي أن مساحة كل حلقة هي ). π ( ÇÇÇ R - R (π R لحساب حجم الكرة. أوجد - π ) d -R م صاحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(). 1 في الفترة والمحور g() 9 f() = + 1 g() =- + 9 ) 9 ) 1 ) الف صل تانمل لا تهيسجقلا

179 تمثيالت متعددة: ستستكشف في هذه المسألة العلقة بين قيمة تكامل دالة على فترة ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور وتأثير موقع الدالة بالنسبة لمحور على إشارة التكامل. )a هند صي ا: م ث ل الدالة f() = بياني ا وظل ل المنطقة المحصورة بين f() والمحور في الفترة 0. b( تحليلي ا: احسب كل من: ( - + 8) d, ( - + 8) d 0 c( لفظي ا: أعط تخمينا ا حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور. d( تحليلي ا أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلل حساب ( ثم أوجد المساحة الكلية من خلل - + 8) d 0 حساب ( - + 8) d + 0 ( - + 8) d e( لفظي ا: أعط تخمينا ا حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل في كل مما يأتي: )تا ر س -5 ) ( + ) d 1 ) 9 d ) استعمل قاعدة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: )تا ر س -( k j(k) = 8-7k ) 0 k + 11 k g(n) = n + n n + 1 lim فأوجد قيمة.a )تا ر س - ) إذا كان = 8 ) 1 ( + a أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: )تا ر س -( = + ) 1 ) ) ) 0 = ) إذا كان = d k فما قيمة k 0 1 A B C D r ) 1 تحد : احسب قيمة ÇÇÇ r - d حيث r عدد ثابت. -r تبرير: ح د د ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك: b a f() d = f() d a b b -a f() d = f() d a -b b a f() d = f() d a b برهان: أثبت أنه ألي عددين ثابتين n m فإن b b b. (n + m) d = n d + m d a a a n b تبرير: صف قيم f (), f( i ), f() d عندما يقع i=1 a التمثيل البياني للدالة f تحت المحور في الفترة. a b اكتب: بي ن لماذا يمكننا إهمال الحد الثابت C في الدالة األصلية عند حساب التكامل المحدد. ) ي عطى الشغل المبذول لضخ المياه خارج بركة سباحة أبعادها d بالتكامل 10m 5m m 0 ما قيمة الشغل المبذول بالجول J F J G J H J J ) 5 ) ) ) ) 5 ) ) 7 الدر س - تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم 179

180 دليل الدرا صة والمراجعة مفاهيم اأ صا صية تقدير النهايات بياني ا )تا ر س 1- ) ن نمل ة f () ان مل قج من c م ج اة تكذت ثق تكذت إلنت تانمل جلن من تا ه ن تا سلر م ج ا ن مج سل ج ن f () كتذت ت ج بت م ج اة c من قج ان مل f () نمل ة ن من هج ن مخج اج ن ان ت ج ت من تام ا c من تا سلر من تا ه ن جت ان مل زتا f () تج جنل س بتس م ا ان ت ج ت من تام ا c من تا سلر تج تا ه ن تج إي هل تج ان مل. c من ت ج ت ن ان هج ن مخج اج ب ن f () ب ج ح صاب النهايات جبري ا )تا ر س -( ه ن تك تلا نمل لا إث تا تا ا تا تل تان سل ة الاة من تاهلليس س تاجم يل تكذت س ت تكا تا س غة تاه اة 0 ان ر سل نمل ة اتاة 0 ن سل ة ثل س تامللرة جل ل من يل إ من تال س تام تم ت ج سلر ف تاهقل تج تال س تكنالا تج تاهقل تاهتسج إة المما س وال صرعة المتجهة )تا ر س -( م م ل تاجغ تا ا تاة fان تانقاة f ()),) م تاههل س m ان تانقاة f ()) ما,) بلا س غة = f() ( + h, f( + h)) (, f()) h m = lim h 0 f( h) + f() + h f ( + h) - f () h الم صتقة )تا ر س - ) مز اهتسجقة n f () = بلا مز () ما f بلا س غة رق ق ا ا n ر f () = n n - 1 الم صاحة تح المنحنى والتكامل )تا ر س -5( f () تا تاة ب ن من ن تاهناقة تاه س رة م سلرة ما تاه ر بلا س غة b n ر هل a b f () d = lim f ( a n i ) i=1 تا تن تهجا تهجان ا ج لم = b - n a, i = a + i النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل )تا ر س -( تا تاة تهج س ة ا ما F() f () = n بلا س غة + 1 n F() = ر C ا ا فلبت n C تكذت إلنت F() اتاة تج س ة ا تاة تاهج س ة f () ثلكن المفردات تانمل ة من جمة تر ة س 1 تانمل ة من جمج ن س 1 تاجم س تاهلليس س 11 تا س غة تاه اة س 1 تاههل س س 150 م م ل تاجغ تا س 150 سهة تاا ا س 150 تا س اة تاهجتمة تا ة س 15 تاهتسجقة س 157 تهيسجقلا س 157 تاهملااة تاجال س ة س 157 اختبر مفردات اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي: تاه ف تاجال س س 157 تاجتز ض تاهنج س 17 تاج لم تاه ا س 17 تا تهجان س 17 تا تهجا س 17 مته ر هلن تهج هن س 17 تاج لم س 17 تا تاة تهج س ة س 17 تاج لم تاه ا س 17 تان ة تهج سل س ة ث تاجال س تاج لم س 175 والذي ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو 1( يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. ( يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور باستعمال. ( يمكن إيجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال وذلك إذا كان مقام الدالة النسبية ال يساوي صفرا ا عند النقطة التي ت حسب عندها النهاية. ) إذا كان () F () = f فإن F() ت سمى ل (). f 0 ب 5( ي سمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0. ( ت سمى عملية إيجاد المشتقة ب. 7( إذا س بقت دالة ب الدالة. d فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة d 8( يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة. a b f () d = F(b) - F(a) 180 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

181 الدرو س مراجعة قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قيم: lim ( - 7 ) )9 lim ( ) )10 1 قد ر كل نهاية مما يأتي: lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال 1 - قد ر - جدول قيم. f () = - أدناه أنه التحليل بياني ا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة - كلما اقتربت قيم من العدد فإن قيم () f المقابلة تقترب من lim بالعدد. - لذا فإن بإمكاننا تقدير - -1 تقدير النهايات بياني ا )تا سا لا ) f() = lim )11 التعزيز عددي ا: كو ن جدول قيم باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. قج من قج من f () lim )1 - lim )1 lim )1 - يبي ن نمط قيم () f أنه كلما اقتربت قيم من العدد من اليسار ومن اليمين فإن قيم () f تقترب من العدد. استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: lim )15 5 lim -1 ( ) )1 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب. احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ذلك ممكنا ا وإال فاذكر السبب. lim ( ) )a بما أن هذه نهاية كثيرة حدود لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) = ( ) - + () + 1 = = 1-7 lim - - بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفرا ا عندما - = لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. - 7 lim - - = (-) (-) = = 15 1 )b ح صاب النهايات جبري ا )تا سا لا ) - lim Ç - 5 )17 lim ( ) )18 احسب كل نهاية مما يأتي: lim )19 lim ( - + ) )0 الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 181

182 دليل الدرا صة والمراجعة أوجد ميل مماس منحنى = عند النقطة ) (,. f ( + h) - f () m = lim h 0 h = lim f ( + h) - f () h 0 h = lim ( + h ) - h 0 h = lim + h + h - h 0 h = lim h( + h) h 0 h = lim ( + h) h 0 أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : = -, (-1, 7), (, ) )1 = +, (0, ), (-1, ) ) أوجد معادلة ميل منحنى كل دال ة مما يأتي عند أي نقطة عليه: = - + ) = + ) تمث ل s(t) في كل مما يأتي موقع جسم باألقدام بعد t ثانية. أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: s(t) = 15t - 1 t, t = 0.5 )5 s(t) = -1 t - 5t + 00, t =.5 ) تمث ل h(t) في كل مما يأتي مسار جسم متحرك. أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند أي زمن: تا تاجغ ل م غة م س = f ( + h) = ( + h ), f () = با تهج ت س بلاجل س ف بلاج بلاق سهة ا h سل س تاهته ا نمل لا نمل ة تا تاة تاثلبجة تا تاة تاه ل ة = + 0 = أي أن ميل مماس منحنى = عند النقطة (,) هو. - المما س وال صرعة المتجهة )تا سا لا ) h(t) = 8 - t + t )8 h(t) = 1 t - 5 )7 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. g(t) = - t + 5t + 11, t = -, 1 )9 m( j) = 10j -, j = 5, - )0 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: z(n) = n + 9 n ) p(v) = -9 v + 1 )1 g(h) = h - 8 h ) t() = - 5 Ç ) استعمل قاعدة مشتقة القسمة إليجاد مشتقة كل دالة مما يأتي:. h() = - 5 أوجد مشتقة + افترض أن +. f () = - 5, g () = لذا f (), g() أوجد مشتقة كل من. h() = f ()/g() من تاا س تا متسجقلا تاق ة تا تاة تاثلبجة من تاا س تا متسجقلا تاق ة تا تاة تاثلبجة f () = - 5 f () = g() = + g () = استعمل () f (), f (), g(), g إليجاد مشتقة h(). لا ة متسجقة تاق سهة بلاجم س بلاجل س h () = f ()g () - f() g () [ g() [ = ( + ) - ( - 5) ( + ) = ( + ) m(q) = q - q + 9 q الم صتقات )تا سا لا ) ) f(m) = 5 - m 5 + m )5 18 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

183 قر ب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يأتي باستعمال األطراف اليمنى و 5 مستطيالت: f() = )8 )7 f() = 8 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: استعمل النهايات إليجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [0, أو والمحور = 0. i ابدأ بإيجاد i = i n, = n بلاجل س تاهته س بلاجل س بلك ت الم متسج ف تاق سهة ا n سل س تانمل لا غة س = b - n a = - n 0 = b =, a = 0 n = 0 + i a = 0, = n n n i=1 d = lim 0 = lim n n( i=1 i ( i) n ( ) n n i n ) n = i n = lim n n ( n(n + 1)(n + 1) n ) = lim n ( 8( n + n + 1) ) n = lim 8 n ( + n + 1 n ) = 1 5. d )9 1 ( - 1) d )0 0 ( + ) d )1 0 ( - ) d ) 1 أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: g(n) = 5n - ) r(q) = - q + 9q - ) m(t) = t - 1 t + t - 11 )5 p(h) = 7 h + h 5-1 h - ) 1 احسب كل تكامل مما يأتي: أوجد جميع الدوال األصلية لكل دالة مما يأتي: بلكالاة إجلبة تا تاة تاهمالة بق ة سلالة لا ة س اتاة تاق ة ث ا ا فلبت f () = -5 F() = C f () = 5 = بلاجل س C = C f () = - 7 )b تا تاة تاهمالة بلكالاة إجلبة تا تاة ب هاة تا تا تاة تهج س ة بلاجل س f () = - 7 F() = = C = C 5 )a الم صاحة تح المنحنى والتكامل )تا سا لا ) النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل )تا سا لا ( -5-8 d )7 ( - ) d )8 5 ( ) d )9 ( ) d )50 الف صل اا تا رت سة الدر س - تاه تجمة 18

184 دليل الدرا صة والمراجعة 51( حيوانات: ي عطى عدد الحيوانات P في محمي ة طبيعية بالمئات بعد. t حيث 5 P(t) = 0 t + 8t t سنة بالدالة 5 t - 70t - 95 )تا ر س -1( a( أوجد العدد التقريبي للحيوانات في المحمي ة بعد 5 سنوات. b( أوجد( P(t lim t 5( تحف فنية: لدى سلمان تحفة فنية يزداد سعرها كل سنة. 800t افترض أن الدالة = v(t) تمث ل سعر التحفة بعد t سنة t + 19 بمئات الرياالت. )تا ر س 1- ( تطبيقات وم صائل 55( رماية: أطلق محمد سهما ا بسرعة 5 ft/s باتجاه هدف. افترض أن ارتفاع السهم h باألقدام بعد t ثانية من إطلقه م عطى بالدالة t. h(t) = -1 t + )تا ر س - ). 0 t م ث ل الدالة بياني ا في الفترة 10 )a b( استعمل التمثيل البياني في الفرع a لتقريب سعر التحفة عندما. t =,, 10 استعمل التمثيل البياني في الفرع a لحساب v(t). lim t )c وض ح العلقة بين نهاية الدالة وسعر التحفة. d( e( بعد 10 سنوات قد م أحد المعارض الفنية عرضا ا لشراء التحفة من سلمان بسعر 0000 ريال هل من األفضل بيعها بهذا السعر بر ر إجابتك. 50 5( مبيعات: افترض أن الدالة = v(t) تمث ل سعر سلعة t 5 + 5(0. ) ما بالرياالت بعد t سنة. )تا ر س -( a( أكمل الجدول أدناه: ال صنة ال صعر t م ث ل الدالة بياني ا في الفترة 10 )b يل البياني لتقدير v(t) lim إذا كانت موجودة. استعمل التمث t )c وض ح العلقة بين نهاية الدالة وسعر السلعة. d( 150. ft/s صاروخ رأسي ا إلى األعلى بسرعة أ طلق صواري : 5( افترض أن ارتفاع الصاروخ h(t) باألقدام بعد t ثانية ي عطى بالدالة t. h(t) = -1 t + )تا ر س )- a( أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للصاروخ. b( ما سرعة الصاروخ بعد 1.5 s من إطلقه c( متى يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ a( اكتب معادلة السرعة المتجهة اللحظية( v(t للسهم. b( ما سرعة السهم بعد s/0.5 من إطلقه c( متى يصل السهم إلى أقصى ارتفاع d( ما أقصى ارتفاع يصل إليه السهم 5( ت صميم: يقوم مصمم ألبسة رياضية بعمل شعار جديد يشبه المنطقة المظللة تحت المنحنى أدناه حيث سيقوم بخياطة هذا الشعار على قمصان العبي فريق رياضي ما مقدار القماش الذي يحتاج إليه لعمل 50 شعارا ا إذا كانت بالبوصات )تا ر س -( 8 = ( صفاد : تمثل الدالة + t- v(t) = سرعة قفز ضفدع باألقدام لكل ثانية حيث t الزمن بالثواني. )تا ر س -(.t عندما = 0 s(t) على فرض أن = 0 s(t) أوجد موقع الضفدع )a b( ما الزمن الذي يستغرقه الضفدع في الهواء عند قفزه 58( طيور: سقطت حبة قمح من منقار حمامة تطير على ارتفاع 0 ft وت عطى سرعة سقوط الحبة بالدالة v(t) = t- حيث t الزمن بالثواني v(t) باألقدام لكل ثانية. )تا ر س -( a( أوجد موقع الحبة s(t) عند أي زمن. b( أوجد الزمن الذي تستغرقه الحبة حتى تصل إلى سطح األرض. 18 الف صل تانمل لا تهيسجقلا

185 اختبار الف صل b ( ) 1 (1 lim lim قد ر كل نهاية مما يأتي: ) lim ÇÇÇ ) ) lim ) اإلكترونيات: ي عطى متوسط تكلفة إنتاج جهاز إلكتروني بالريال C() = عند إنتاج جهاز بالدالة a( احسب نهاية الدالة عندما تقترب من الماالنهاية. a. ف س ر الناتج في الفرع b( احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا ا وإال فاذكر السبب: lim ( ) 9 ) 7 lim ) 5 ÇÇÇ - - S(t) = 000 t + عدد المشتركين في ناد ريا صي: ت مث ل الدالة t ناد رياضي بعد t يوم من افتتاحه. lim ( - 8-5) ÇÇÇ lim a( ما عدد المشتركين في البداية b( ما أكبر عدد ممكن لمشتركي النادي احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): ) 1 0 lim ) ) 9 ) 1 lim ) lim C A D 0 B غير موجودة اختيار من متعدد: ما قيمة أوجد ميل مماس منحنى كل دال ة مما يأتي عند النقاط المعطاة: ) = ( + 1 ), (-, 5), (0, 1) أوجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) لجسم ي عطى موقعه عند أي زمن بالدالة h(t) في كل مما يأتي: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: f() = ) 0 b(c) = c 1-8 c + 5 c 5 ) 1 w() = + 1 ) g() = ( - )( - 5) h(t) = t + t + t t صناعة: ت عطى التكلفة الحد ية c بالريال إلنتاج كرة قدم يومي ا بالدالة. c() = a( أوجد دالة تمثل التكلفة الحقيقية. b( أوجد تكلفة زيادة اإلنتاج اليومي من 1500 كرة إلى 000 كرة. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: ( - + ) d ) d 5 ( ) d أوجد جميع الدوال األصلية لكل دال ة مما يأتي: d(a) = a + 9 a - a + 8 ) 9 w(z) = z + 1 z - ) 0 5 احسب كل تكامل مما يأتي: ( ) d ( + - ) d م صاحات: ما مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f() g() في الفترة في الشكل أدناه 0 g() 0 = وحدة مساحة 1 f() = 5 17 وحدة مساحة H 1 F 1 17 وحدة مساحة 1 J وحدة مساحة G ) ) ) 5 ) 7 ) 8 ) 1 ) ) h(t) = 9t + t h(t) = 10 t - 7 t h(t) = t - + t ) 5 ) 8 ) 1 = + - 8, (-5, 7), (-, -8) ) 1 = +, (-1, -), (, 5 ) 1 5 ) 1 ) 1 7 ) 1 8 ) 1 9 الف صل ت جللر الدر س - تاا س 185

186 ال صي المتجه ات a + b = a 1 + b 1, a + b, a + b جمع متجهين في الم صتوى a + b = a 1 + b 1, a + b جمع متجهين في الف صاء a - b = a + (-b) = a 1 - b 1, a - b, a - b طرح متجهين في الم صتوى a - b = a 1 - b 1, a - b طرح متجهين في الف صاء ka = k a 1, k a, k a k a = k a 1, k a صرب متج في عدد حقيقي في الم صتوى صرب متج في عدد حقيقي في الف صاء a b = a 1 b 1 + a b + a b a b = a 1 b 1 + a b ال صرب الداخلي لمتجهين في الم صتوى ال صرب الداخلي لمتجهين في الف صاء w 1 = ( u v v ) v t (u v) = t 1 u 1 v 1 t u v t u v م صقط u على v cos θ = a b a b v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) الزاوية بين متجهين طول متج ال صرب القيا صي للثالثيات a b = ( a b - a b ) i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k ال صرب االتجاهي لمتجهين في الف صاء الم صتقات إذا كان h() f() = g() ± فإن (). f () = g () ± h إذا كان f() = n حيث n عدد حقيقي فإن n-1. f () = n قاعدة م صتقة القوة قاعدة م صتقة المجمو اأو الفرق d d f () g() = f () g() - f () g () [ g() [ d [ f() g()[ = f () g() + f () g () d قاعدة م صتقة ال صرب قاعدة م صتقة الق صمة التكامالت b f() d = F(b) - F(a) a f() d = F() + C التكامل غير المحدد النظرية االأ صا صية في التفا صل والتكامل االإحداثيات القطبية z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 + θ ) + i sin ( θ 1 + θ )[ z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i sin ( θ 1 - θ )[ الق صمة صيغة صيغة ال صرب z n = [r (cos θ + i sin θ) [ n = r n (cos nθ + i sin nθ) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) الم صافة بال صيغة القطبية نظرية ديموافر r 1 n (cos θ + kπ n + i sin θ + kπ n ) الجذور المختلفة االإح صاء والتوزيعات االإحتمالية P(X) = n C p q n - n! = (n - )!! p q n - z = X - µ σ صيغة الدرجة المعيارية قيمة z( صيغة احتمال ات حدين 18 ال صي والرموز

187 ال صي النهايات c lim [ f () - g()[ = lim f () - lim c c g () lim [ f () + g()[ = lim f () + lim خا صية الجمع g() c c c خا صية الفرق c lim [ f () g()[ = lim f () lim c c g() lim [ kf ()[ = k lim c c f () خا صية ال صرب في عدد حقيقي خا صية ال صرب c lim [ f ()[ n = [ lim c f ()[ n lim f () c g() = c lim f (), lim lim g() c g () 0 c خا صية الق صمة خا صية القوة n lim ÇÇ c f () = n ÇÇÇ lim f (), lim خا صية الجذر > 0 f() c c النوني ال صرعة المتجهة ال صرعة ال صرعة المتو صطة المتجهة المتجهة اللحظية f (b) - f (a) v avg = b - a f (t + h) - f (t) v (t) = lim h h 0 الرموز f -1 قل مم س تا تاة f b ايج سل س ا لر ج lo g b ت لا log تاهته اة تاخلا ة تا لر ج تامتس AB تاهجت a, b n تاه ج تا س تام ا م س!n a تاهجت a للا n P r n ملج ذة r ث إ م ة a تث n ملج ذة r ث إ م ة مق تر تاهجت a n C r تاهته من = 1 n تكا k تا س ام نة k n=1 مته اة تهجا تا تان سل ة مته اة تهجا تا تان سل ة Q I µ مته اة تهجا تا تا س ة تا س اهتجه Z S مته اة تهجا تا تا ة تهن تف تاهم لر ام نة W σ مته اة تهجا تا تاال م ة تهن تف تاهم لر اهتجه N f () ملهنمل ة متسجقة تا تاة f() تاج لم تاه ا - سلا ملهنمل ة b a تانمل ة ان مل قج من c اتاة تاق هة تاها قة تاج لم تاه ا f() ا تاة ة تهج س تا تاة F() lim c f() = تا تاة مجم اة تاجم تاهجه تا A f() = { اتاة تجإل ا ا س A ترجهلل تا P(A) f() = A بتس ا B ترجهلل P(B A) i تا ر ة تاجخ ة ال صي والرموز 187